Teorema bisectoarei

Fie triunghiul \(ABC\), unde bisectoarea unghiului \(A\) intersectează latura \(BC\) în punctul \(D\). Conform teoremei bisectoarei, raportul în care bisectoarea împarte latura opusă este proporțional cu lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Exemple rezolvate

Exemplu 1: Fie un triunghi \(ABC\) în care \(AB = 8\;\text{cm}\), \(AC = 6\;\text{cm}\) și \(BC = 10\;\text{cm}\). Dacă bisectoarea \(AD\) împarte latura \(BC\) în segmentele \(BD\) și \(DC\), să se determine lungimile acestor segmente.

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Deci, \(BD = 4x\) și \(DC = 3x\). Deoarece \(BD + DC = BC = 10\;\text{cm}\), rezultă:

\[ 4x + 3x = 10 \quad \Rightarrow \quad 7x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10}{7} \]

Astfel, \(BD = \frac{40}{7}\;\text{cm}\) și \(DC = \frac{30}{7}\;\text{cm}\).

Exemplu 2: Fie un triunghi \(ABC\) cu \(AB = 10\;\text{cm}\), \(AC = 15\;\text{cm}\) și \(BC = 14\;\text{cm}\). Să se determine punctele \(D\) de pe \(BC\) unde bisectoarea \(AD\) împarte \(BC\) în două segmente.

Conform teoremei bisectoarei:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \]

Notăm \(BD = 2x\) și \(DC = 3x\). Știm că \(BC = BD + DC = 2x + 3x = 5x\).

\[ 5x = 14 \implies x = \frac{14}{5} = 2,8\;\text{cm} \]

Atunci segmentele sunt:

\[ BD = 2x = 2 \cdot 2,8 = 5,6\;\text{cm}, \quad DC = 3x = 3 \cdot 2,8 = 8,4\;\text{cm} \]

Răspuns: \(BD = 5,6\;\text{cm}, DC = 8,4\;\text{cm}\).

Exerciții

1
Fie triunghiul dreptunghic \(ABC\), în care \(m(\angle C) = 90^\circ\), \(m(\angle A) = 60^\circ\), iar lungimea ipotenuzei \(AB\) este egală cu \(6 \, \text{cm}\). Determinați lungimea bisectoarei \(AK\) a unghiului \(A\) a triunghiului \(ABC\).
2
În triunghiul dreptunghic \(ABC\), \(m(\angle B) = 90^\circ\), \(m(\angle A) = 60^\circ\), iar bisectoarea \(AK\) este de \(6 \, \text{cm}\). Determinați perimetrul triunghiului \(ABC\).
3
Fie triunghiul ABC cu AB = \(\frac{2}{3}\) · BC și AC = 20 cm. Dacă semidreapta BD este bisectoarea unghiului ABC, D ∈ AC, calculați AD și DC.
4
Fie triunghiul ABC și semidreapta BD bisectoarea interioară a unghiului B, D ∈ AC. Aflați AD și DC, știind că AB = 15 cm, BC = 24 cm și AC = 26 cm.
5
În triunghiul ABC, fie semidreapta AD bisectoarea unghiului A, D ∈ BC, și DE ∥ AB, E ∈ AC. Dacă AC = 12 cm și AB = 8 cm, calculați lungimea segmentelor AE, DE și CE.
Înapoi Următor