Progresie Geometrică

Definiție: O progresie geometrică este un șir de numere în care fiecare termen (începând cu al doilea) este obținut prin înmulțirea termenului precedent cu o constantă numită rație, notată cu \( q \).

Formule Esențiale

  • Termenul general al progresiei geometrice este dat de formula: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1}, \] unde:
    • \( b_1 \): primul termen al progresiei,
    • \( q \): rația,
    • \( n \): numărul termenului dorit.

Exemplu 1: Identificarea Rației

Considerăm progresia: \( b_1 = 1, b_2 = 3, b_3 = 9, b_4 = 27, b_5 = 81, \ldots \). Se cere de aflat rația.

Fiecare termen este obținut prin înmulțirea termenului precedent cu rația \( q \): \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1} = 3, \quad q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{9}{3} = 3. \] Deci, rația este \( q = 3 \).

Exemplu 2: Calcularea Sumei Primilor Termeni

Se dă progresia geometrică \((b_n)_{n \geq 1}\), unde \( b_1 = -2 \) și relația de recurență este: \[ b_{n+1} = 4 \cdot b_n. \] Determinați suma primilor 4 termeni ai progresiei.

Soluție:

Calculăm primii 4 termeni:

  • \( b_1 = -2 \)
  • \( b_2 = 4 \cdot b_1 = 4 \cdot (-2) = -8 \)
  • \( b_3 = 4 \cdot b_2 = 4 \cdot (-8) = -32 \)
  • \( b_4 = 4 \cdot b_3 = 4 \cdot (-32) = -128 \)

Calculăm suma primilor 4 termeni: \[ S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = -2 + (-8) + (-32) + (-128). \] \[ S_4 = -2 - 8 - 32 - 128 = -170. \]

Răspuns final: Suma primilor 4 termeni este \( S_4 = -170 \).

Exerciții

1
Determinați al treilea termen al progresiei geometrice \((b_n)_{n \geq 1}\), dacă \(b_1 = 3\) și \(b_{n+1} = 6b_n\).
2
Aflați al patrulea termen al unei progresii geometrice în care primul termen este \(16\) și rația este \(\frac{1}{2}\).
3
Fie progresia geometrică \((b_n)_{n \geq 1}\), în care \(b_1 = 2\), \(b_2 = 6\). Aflați termenul al șaselea.
Înapoi Următor