Triunghi oarecare
Un triunghi oarecare este o figură geometrică formată din trei laturi și trei unghiuri. Acesta este cel mai general tip de triunghi, fără condiții speciale (cum ar fi unghiuri drepte sau laturi egale).
1. Suma unghiurilor într-un triunghi
Suma unghiurilor în orice triunghi este întotdeauna:
\[ 180° \]
2. Relații între dreptele și unghiurile unui triunghi
Într-un triunghi oarecare, există mai multe relații importante între drepte și unghiuri:
- Inaltime: Dreapta care cade perpendicular pe una din laturi, si formeaza unghiuri drepte.
- Mediane: Dreptele care unesc un vârf cu mijlocul laturii opuse.
- Bisectoarele: Dreptele care împart un unghi al triunghiului în două unghiuri egale.
3. Perimetrul triunghiului
Perimetrul unui triunghi oarecare este suma lungimilor laturilor:
\[ P = a + b + c \]
4. Aria triunghiului (cu inaltime)
\[ A = \frac{a \cdot h}{2} \]
unde h - este inaltimea, iar a - este latura pe care cade inaltimea
unde h - este inaltimea, iar a - este latura pe care cade inaltimea
5. Aria triunghiului (Formula lui Heron)
Aria unui triunghi oarecare poate fi calculată folosind formula lui Heron, dacă sunt cunoscute lungimile laturilor a, b și c:
\[ \displaystyle A = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} \]
unde s este semiperimetrul triunghiului: \(\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}\)
unde s este semiperimetrul triunghiului: \(\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}\)
Exerciții
1
Un triunghi are un unghi de \( 50^\circ \) și un alt unghi de \( 60^\circ \). Calculați măsura celui de-al treilea unghi.
2
Într-un triunghi \( ABC \), lungimile laturilor sunt \( AB = 7 \, \text{cm} \), \( BC = 5 \, \text{cm} \), și \( AC = 8 \, \text{cm} \). Calculați perimetrul triunghiului.
3
Latura \( AB \) a unui triunghi măsoară \( 10 \, \text{cm} \), iar înălțimea corespunzătoare acestei laturi este \( 6 \, \text{cm} \). Determinați aria triunghiului.
4
Laturile unui triunghi oarecare au lungimile \( a = 9 \, \text{cm} \), \( b = 12 \, \text{cm} \), \( c = 15 \, \text{cm} \). Calculați aria triunghiului utilizând formula lui Heron.
5
Într-un triunghi, una dintre mediane împarte latura pe care cade în două segmente egale, fiecare de \( 5 \, \text{cm} \). Dacă lungimea medianei este \( 6 \, \text{cm} \), calculați aria triunghiului, presupunând că înălțimea corespunde aceleiași laturi de \( 10 \, \text{cm} \).