Integrala Definită - Schimb de Variabilă

În unele cazuri, integrarea unei funcții complexe devine mai simplă folosind schimbul de variabilă. Această metodă implică înlocuirea unei părți a funcției inițiale cu o nouă variabilă \( t \), astfel încât integralul să devină mai ușor de rezolvat.

Pașii de rezolvare

  1. Notăm o parte a expresiei cu o nouă variabilă \( t \).
  2. Calculăm derivata noului termen \( t \) pentru a înlocui \( dx \):
    3. \[ dt = f'(x) \, dx \implies dx = \frac{dt}{f'(x)} \]
  3. Schimbăm limitele de integrare în funcție de noua variabilă \( t \):
    4. \[ x = a \implies t = g(a), \quad x = b \implies t = g(b) \]
  4. Reformulăm integralul în termenii noii variabile și îl calculăm.
  5. Revenim la variabila inițială, dacă este necesar.

Exemplu 1 Rezolvat

Calculați integrala definită: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(4 + \sin x)^2} \, dx \]

1. Notăm noua variabilă:

\[ t = 4 + \sin x, \quad \text{deci} \quad dt = \cos x \, dx, \quad dx = \frac{dt}{\cos x}. \]

2. Schimbăm limitele de integrare:

\[ x = 0 \implies t = 4 + \sin 0 = 4, \quad x = \frac{\pi}{2} \implies t = 4 + \sin \frac{\pi}{2} = 4 + 1 = 5. \]

3. Reformulăm integrala:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(4 + \sin x)^2} \, dx = \int_4^5 \frac{1}{t^2} \, dt. \]

4. Calculăm integrala:

\[ \int_4^5 \frac{1}{t^2} \, dt = -\frac{1}{t} \bigg|_4^5 = -\frac{1}{5} + \frac{1}{4}. \]

5. Simplificăm rezultatul:

\[ -\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{-4 + 5}{20} = \frac{1}{20}. \]

Răspuns final:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(4 + \sin x)^2} \, dx = \frac{1}{20}. \]

Exemplu 2 Rezolvat

Să calculăm integrala: $$I = \int_0^1 x(2x - 1)^5 \, dx.$$

Rezolvare:

Efectuăm substituția \(t = 2x - 1\). Exprimând \(x\) în funcție de \(t\), obținem:

$$x = \frac{1}{2}(t + 1), \quad dx = \frac{1}{2} \, dt.$$

Substituind \(x\) și \(dx\) în integrală, obținem:

$$\int x(2x - 1)^5 \, dx = \int \frac{1}{2}(t + 1) \cdot t^5 \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{4} \int (t^6 + t^5) \, dt.$$

Calculând integrala nedefinită:

$$\frac{1}{4} \int (t^6 + t^5) \, dt = \frac{1}{4} \left( \frac{t^7}{7} + \frac{t^6}{6} \right).$$

Revenind la variabila inițială \(x\) folosind substituția \(t = 2x - 1\), obținem una dintre primitivele funcției:

$$f(x) = x(2x - 1)^5, \quad F(x) = \frac{1}{4} \left( \frac{(2x - 1)^7}{7} + \frac{(2x - 1)^6}{6} \right).$$

Simplificând:

$$F(x) = \frac{1}{168} \left( (12x + 1)(2x - 1)^6 \right).$$

Utilizând formula lui Leibniz–Newton, evaluăm integrala definită:

$$I = F(1) - F(0).$$

Substituind valorile:

$$F(1) = \frac{13}{168}, \quad F(0) = \frac{1}{168},$$ $$I = \frac{13}{168} - \frac{1}{168} = \frac{1}{14}.$$

Rezultatul Final:

$$I = \frac{1}{14}.$$

Exerciții

1
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^3}{(x^4 + 1)^5} \, dx\)
2
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} e^x \cdot \sqrt{3 + e^x} \, dx\)
3
Calculați: \(\displaystyle\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln x + 2}}{x} \, dx\)
4
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{2} \frac{6x - 3}{x^2 - x + 2} \, dx\)
5
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^4 \sqrt{x^5 + 1} \, dx\)
6
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx\)
7
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{\operatorname{tg} x}}{\cos^2 x} \, dx\)
8
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arctg} x}{1 + x^2} \, dx\)
9
Calculați: \(\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{(1 + x^2) \operatorname{arctg} x} \, dx\)
10
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x - 4} \, dx\)
Înapoi Următor