Integrala Definită - Schimb de Variabilă

În unele cazuri, integrarea unei funcții complexe devine mai simplă folosind schimbul de variabilă. Această metodă implică înlocuirea unei părți a funcției inițiale cu o nouă variabilă $ t $, astfel încât integralul să devină mai ușor de rezolvat.

Pașii de rezolvare

Notăm o parte a expresiei cu o nouă variabilă $ t $.
Calculăm derivata noului termen $ t $ pentru a înlocui $ dx $:
Schimbăm limitele de integrare în funcție de noua variabilă $ t $:
Reformulăm integralul în termenii noii variabile și îl calculăm.
Revenim la variabila inițială, dacă este necesar.

Exemplu 1 Rezolvat

Calculați integrala definită: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(4 + \sin x)^2} \, dx \]

1. Notăm noua variabilă:

\[ t = 4 + \sin x, \quad \text{deci} \quad dt = \cos x \, dx, \quad dx = \frac{dt}{\cos x}. \]

2. Schimbăm limitele de integrare:

\[ x = 0 \implies t = 4 + \sin 0 = 4, \quad x = \frac{\pi}{2} \implies t = 4 + \sin \frac{\pi}{2} = 4 + 1 = 5. \]

3. Reformulăm integrala:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(4 + \sin x)^2} \, dx = \int_4^5 \frac{1}{t^2} \, dt. \]

4. Calculăm integrala:

\[ \int_4^5 \frac{1}{t^2} \, dt = -\frac{1}{t} \bigg|_4^5 = -\frac{1}{5} + \frac{1}{4}. \]

5. Simplificăm rezultatul:

\[ -\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{-4 + 5}{20} = \frac{1}{20}. \]

Răspuns final:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(4 + \sin x)^2} \, dx = \frac{1}{20}. \]

Exemplu 2 Rezolvat

Să calculăm integrala: $$I = \int_0^1 x(2x - 1)^5 \, dx.$$

Rezolvare:

Efectuăm substituția $t = 2x - 1$. Exprimând $x$ în funcție de $t$, obținem:

$$x = \frac{1}{2}(t + 1), \quad dx = \frac{1}{2} \, dt.$$

Substituind $x$ și $dx$ în integrală, obținem:

$$\int x(2x - 1)^5 \, dx = \int \frac{1}{2}(t + 1) \cdot t^5 \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{4} \int (t^6 + t^5) \, dt.$$

Calculând integrala nedefinită:

$$\frac{1}{4} \int (t^6 + t^5) \, dt = \frac{1}{4} \left( \frac{t^7}{7} + \frac{t^6}{6} \right).$$

Revenind la variabila inițială $x$ folosind substituția $t = 2x - 1$, obținem una dintre primitivele funcției:

$$f(x) = x(2x - 1)^5, \quad F(x) = \frac{1}{4} \left( \frac{(2x - 1)^7}{7} + \frac{(2x - 1)^6}{6} \right).$$

Simplificând:

$$F(x) = \frac{1}{168} \left( (12x + 1)(2x - 1)^6 \right).$$

Utilizând formula lui Leibniz–Newton, evaluăm integrala definită:

$$I = F(1) - F(0).$$

Substituind valorile:

$$F(1) = \frac{13}{168}, \quad F(0) = \frac{1}{168},$$ $$I = \frac{13}{168} - \frac{1}{168} = \frac{1}{14}.$$

Rezultatul Final:

$$I = \frac{1}{14}.$$

Exerciții

Calculați: $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^3}{(x^4 + 1)^5} \, dx$

Calculați: $\displaystyle\int_{0}^{1} e^x \cdot \sqrt{3 + e^x} \, dx$

Calculați: $\displaystyle\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln x + 2}}{x} \, dx$

Calculați: $\displaystyle\int_{0}^{2} \frac{6x - 3}{x^2 - x + 2} \, dx$

Calculați: $\displaystyle\int_{0}^{1} x^4 \sqrt{x^5 + 1} \, dx$

Calculați: $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx$

Calculați: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{\operatorname{tg} x}}{\cos^2 x} \, dx$

Calculați: $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arctg} x}{1 + x^2} \, dx$

Calculați: $\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{(1 + x^2) \operatorname{arctg} x} \, dx$

Calculați: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x - 4} \, dx$

Răspunsuri

$\displaystyle \frac{15}{256} $

$\displaystyle \frac{2}{3} \left( (3+e)^{3/2} - 8 \right) $

$ \displaystyle \frac{2}{3} \left( 3^{3/2} - 2^{3/2} \right) $

$3 \ln 2 $

$ \displaystyle \frac{2}{15} (2^{3/2} - 1) $

$ \displaystyle 2(\sqrt{9} - \sqrt{4}) = 2(3 - 2) = 2 $

$\displaystyle \frac{2}{3} $

$\displaystyle \frac{\pi^2}{32} $

$\ln \left( \displaystyle \frac{4}{3} \right) $

$ \displaystyle -\frac{1}{4} \ln 3 $

Rezolvări

Calculăm: $ \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^3}{(x^4 + 1)^5} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = x^4 + 1 \Rightarrow du = 4x^3 dx \Rightarrow x^3 dx = \displaystyle \frac{1}{4} du $
Când $ \displaystyle x = 0 $, $ \displaystyle u = 1 $
Când $ \displaystyle x = 1 $, $ \displaystyle u = 2 $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^5} \, du = \displaystyle \frac{1}{4} \int_{1}^{2} u^{-5} \, du $
Calculăm primitiva:
$ \displaystyle \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-4}}{-4} = \displaystyle -\frac{1}{16} u^{-4} $
Evaluăm între 1 și 2:
$ \displaystyle -\frac{1}{16} \left( \frac{1}{2^4} - \frac{1}{1^4} \right) = -\frac{1}{16} \left( \frac{1}{16} - 1 \right) = -\frac{1}{16} \cdot \left( -\frac{15}{16} \right) = \displaystyle \frac{15}{256} $

Calculăm: $ \displaystyle \int_{0}^{1} e^x \cdot \sqrt{3 + e^x} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = 3 + e^x \Rightarrow du = e^x dx $
Când $ \displaystyle x = 0 $, $ \displaystyle u = 4 $
Când $ \displaystyle x = 1 $, $ \displaystyle u = 3 + e $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{4}^{3+e} \sqrt{u} \, du = \displaystyle \int_{4}^{3+e} u^{1/2} \, du $
Calculăm primitiva:
$ \displaystyle \frac{u^{3/2}}{3/2} = \displaystyle \frac{2}{3} u^{3/2} $
Evaluăm între 4 și $ 3+e $:
$ \displaystyle \frac{2}{3} \left( (3+e)^{3/2} - 4^{3/2} \right) = \displaystyle \frac{2}{3} \left( (3+e)^{3/2} - 8 \right) $

Calculăm: $ \displaystyle \int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln x + 2}}{x} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = \ln x + 2 \Rightarrow du = \displaystyle \frac{1}{x} dx $
Când $ \displaystyle x = 1 $, $ \displaystyle u = 2 $
Când $ \displaystyle x = e $, $ \displaystyle u = 3 $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{2}^{3} \sqrt{u} \, du = \displaystyle \int_{2}^{3} u^{1/2} \, du $
Calculăm primitiva:
$ \displaystyle \frac{u^{3/2}}{3/2} = \displaystyle \frac{2}{3} u^{3/2} $
Evaluăm între 2 și 3:
$ \displaystyle \frac{2}{3} \left( 3^{3/2} - 2^{3/2} \right) $

Calculăm: $ \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{6x - 3}{x^2 - x + 2} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = x^2 - x + 2 \Rightarrow du = (2x - 1) dx $
Observăm:
$ \displaystyle 6x - 3 = 3(2x - 1) $
Deci $ \displaystyle (6x - 3) dx = 3 du $
Când $ \displaystyle x = 0 $, $ \displaystyle u = 2 $
Când $ \displaystyle x = 2 $, $ \displaystyle u = 4 $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{2}^{4} \frac{3}{u} \, du = 3 \int_{2}^{4} \displaystyle \frac{1}{u} \, du $
Calculăm:
$ \displaystyle 3 \left( \ln u \right) \Bigg|_{2}^{4} = 3(\ln 4 - \ln 2) = 3 \ln 2 $

Calculăm: $ \displaystyle \int_{0}^{1} x^4 \sqrt{x^5 + 1} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = x^5 + 1 \Rightarrow du = 5x^4 dx \Rightarrow x^4 dx = \displaystyle \frac{1}{5} du $
Când $ \displaystyle x = 0 $, $ \displaystyle u = 1 $
Când $ \displaystyle x = 1 $, $ \displaystyle u = 2 $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{5} \sqrt{u} \, du = \displaystyle \frac{1}{5} \int_{1}^{2} u^{1/2} \, du $
Calculăm:
$ \displaystyle \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \displaystyle \frac{2}{15} u^{3/2} $
Evaluăm între 1 și 2:
$ \displaystyle \frac{2}{15} (2^{3/2} - 1) $

Calculăm: $ \displaystyle \int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = x^2 + 4 \Rightarrow du = 2x dx $
Când $ \displaystyle x = 0 $, $ \displaystyle u = 4 $
Când $ \displaystyle x = \sqrt{5} $, $ \displaystyle u = 9 $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = \displaystyle \int_{4}^{9} u^{-1/2} \, du $
Calculăm:
$ \displaystyle \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2} $
Evaluăm între 4 și 9:
$ \displaystyle 2(\sqrt{9} - \sqrt{4}) = 2(3 - 2) = 2 $

Calculăm: $ \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{\operatorname{tg} x}}{\cos^2 x} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = \operatorname{tg} x \Rightarrow du = \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} dx $
Când $ \displaystyle x = 0 $, $ \displaystyle u = 0 $
Când $ \displaystyle x = \pi/4 $, $ \displaystyle u = 1 $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{u} \, du = \displaystyle \int_{0}^{1} u^{1/2} \, du $
Calculăm:
$ \displaystyle \frac{u^{3/2}}{3/2} = \displaystyle \frac{2}{3} u^{3/2} $
Evaluăm între 0 și 1:
$ \displaystyle \frac{2}{3} (1^{3/2} - 0) = \displaystyle \frac{2}{3} $

Calculăm: $ \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arctg} x}{1 + x^2} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = \operatorname{arctg} x \Rightarrow du = \displaystyle \frac{1}{1+x^2} dx $
Când $ \displaystyle x = 0 $, $ \displaystyle u = 0 $
Când $ \displaystyle x = 1 $, $ \displaystyle u = \displaystyle \frac{\pi}{4} $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} u \, du $
Calculăm:
$ \displaystyle \frac{u^2}{2} $
Evaluăm între 0 și $ \pi/4 $:
$ \displaystyle \frac{(\pi/4)^2}{2} = \displaystyle \frac{\pi^2}{32} $

Calculăm: $ \displaystyle \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{(1 + x^2) \operatorname{arctg} x} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = \operatorname{arctg} x \Rightarrow du = \displaystyle \frac{1}{1+x^2} dx $
Când $ \displaystyle x = 1 $, $ \displaystyle u = \displaystyle \frac{\pi}{4} $
Când $ \displaystyle x = \sqrt{3} $, $ \displaystyle u = \displaystyle \frac{\pi}{3} $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{1}{u} \, du $
Calculăm:
$ \displaystyle \ln |u| \Bigg|_{\pi/4}^{\pi/3} = \ln \left( \displaystyle \frac{\pi}{3} \right) - \ln \left( \displaystyle \frac{\pi}{4} \right) = \ln \left( \displaystyle \frac{4}{3} \right) $

Calculăm: $ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x - 4} \, dx $
Substituim $ \displaystyle u = \sin x \Rightarrow du = \cos x \, dx $
Când $ \displaystyle x = 0 $, $ \displaystyle u = 0 $
Când $ \displaystyle x = \pi/2 $, $ \displaystyle u = 1 $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{u^2 - 4} \, du $
Scriem:
$ \displaystyle \frac{1}{u^2 - 4} = \displaystyle \frac{1}{(u-2)(u+2)} $
Descompunem în fracții simple:
$ \displaystyle \frac{1}{(u-2)(u+2)} = \frac{A}{u-2} + \frac{B}{u+2} $
Înmulțim cu $ \displaystyle (u-2)(u+2) $ și obținem:
$ \displaystyle 1 = A(u+2) + B(u-2) $
Dezvoltăm:
$ \displaystyle 1 = (A+B)u + (2A-2B) $
Identificăm coeficienții:
$ \displaystyle A+B = 0 $ și $ \displaystyle 2A-2B = 1 $
Din prima ecuație: $ \displaystyle B = -A $
Substituim în a doua ecuație:
$ \displaystyle 2A - 2(-A) = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = \displaystyle \frac{1}{4} $
Atunci $ \displaystyle B = -\frac{1}{4} $
Prin urmare:
$ \displaystyle \frac{1}{(u-2)(u+2)} = \frac{1/4}{u-2} - \frac{1/4}{u+2} $
Integrala devine:
$ \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \frac{1/4}{u-2} - \frac{1/4}{u+2} \right) du = \displaystyle \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{u-2} - \frac{1}{u+2} \right) du $
Separăm integrala:
$ \displaystyle \frac{1}{4} \left( \int_{0}^{1} \frac{1}{u-2} \, du - \int_{0}^{1} \frac{1}{u+2} \, du \right) $
Calculăm fiecare integrală:
$ \displaystyle \int \frac{1}{u-2} \, du = \ln |u-2| $
$ \displaystyle \int \frac{1}{u+2} \, du = \ln |u+2| $
Deci:
$ \displaystyle \frac{1}{4} \left( \ln |u-2| - \ln |u+2| \right) \Bigg|_{0}^{1} $
Folosim proprietatea logaritmilor:
$ \displaystyle \ln |u-2| - \ln |u+2| = \ln \left| \frac{u-2}{u+2} \right| $
Așadar:
$ \displaystyle \frac{1}{4} \ln \left| \frac{u-2}{u+2} \right| \Bigg|_{0}^{1} $
Evaluăm în capete:
Pentru $ \displaystyle u=1 $:
$ \displaystyle \frac{1-2}{1+2} = \frac{-1}{3} $
$ \displaystyle \ln \left| \frac{-1}{3} \right| = \ln \left( \frac{1}{3} \right) $
Pentru $ \displaystyle u=0 $:
$ \displaystyle \frac{0-2}{0+2} = \frac{-2}{2} = -1 $
$ \displaystyle \ln \left| -1 \right| = \ln(1) = 0 $
Deci:
$ \displaystyle \frac{1}{4} \left( \ln \left( \frac{1}{3} \right) - 0 \right) = \displaystyle \frac{1}{4} \ln \left( \frac{1}{3} \right) $
Și cum $ \displaystyle \ln \left( \frac{1}{3} \right) = -\ln 3 $, rezultatul final este:
$ \displaystyle -\frac{1}{4} \ln 3 $

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări