Cercul
1. Ce este cercul?
Cercul este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan aflate la aceeași distanță de un punct fix, numit centru. Distanța constantă de la centru la orice punct de pe cerc se numește raza.
2. Diametrul și coarda
- Diametrul: Este cea mai lungă coardă a cercului și trece prin centru. Este egal cu \(2 \cdot r\), unde \(r\) este raza cercului.
- Coarda: Este un segment care unește două puncte de pe cerc, dar care nu trece neapărat prin centru.
3. Constanta \(\pi\)
Numărul \(\pi\) este o constantă matematică definită ca raportul dintre lungimea cercului și diametrul său, aproximativ egală cu \(3.14159\).
4. Lungimea cercului
Lungimea cercului se calculează cu formula:
\[ L = 2 \cdot \pi \cdot r \]
5. Aria cercului
Aria cercului este dată de formula:
\[ A = \pi \cdot r^2 \]
6. Triunghi dreptunghic înscris în cerc
Un triunghi dreptunghic poate fi înscris într-un cerc dacă ipotenuza sa este diametrul cercului.
7. Cercul înscris, circumscris și circumscriptibil
- Cercul înscris: Este cercul care este tangent la toate laturile unui poligon (ex. triunghi).
- Cercul circumscris: Este cercul care trece prin toate vârfurile unui poligon (ex. triunghi).
- Cercul circumscriptibil: Un poligon este circumscriptibil dacă toate laturile sale sunt tangente la un cerc interior.
8. Dreapta și cercul
- Dreaptă exterioară: Nu are niciun punct comun cu cercul.
- Dreaptă tangentă: Are un singur punct comun cu cercul, numit punct de tangență.
- Dreaptă secantă: Intersectează cercul în două puncte.
9. Puncte și cercul
- Punct interior: Este un punct situat în interiorul cercului, la o distanță mai mică decât raza.
- Punct exterior: Este un punct situat în afara cercului, la o distanță mai mare decât raza.
10. Tangenta la cerc
O dreaptă este tangentă la un cerc dacă are un singur punct comun cu acesta. Tangenta este perpendiculară pe raza trasă la punctul de tangență.
11. Teorema "cioc de cioară"
Dacă dintr-un punct exterior unui cerc se duc două tangente la cerc, atunci lungimile acestor tangente sunt egale.
\[ AB = AB^{'} \]
12. Patrulater înscris în cerc
Un patrulater este înscris într-un cerc dacă toate vârfurile sale se află pe cerc. Proprietatea fundamentală este:
Unghiurile opuse ale unui patrulater înscris în cerc însumează \(180^\circ\):
\[ \alpha + \gamma = 180^\circ \quad \text{și} \quad \beta + \delta = 180^\circ \]
Unde:
- \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\): unghiurile patrulaterului;
13. Triunghiul înscris în cerc
Un triunghi este înscris într-un cerc dacă toate vârfurile triunghiului se află pe cerc.
Proprietate: Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecție al mediatoarelor laturilor.
14. Cercul înscris într-un triunghi
Cercul înscris într-un triunghi este cercul tangent la toate laturile triunghiului, iar centrul său este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor triunghiului.
Proprietate: Raza cercului înscris, notată cu \(r\), este legată de aria triunghiului \(A\) și semiperimetrul său \(s\) prin formula:
\[ r = \frac{A}{s} \]