Item 12 - toate variantele posibile

Exerciții

Aflaţi termenul din mijloc al dezvoltării \( \left(2 x^{2}+\displaystyle \frac{1}{2 x}\right)^{12} \).

Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}\right)^n \) este 32. Să se determine al patrulea termen al dezvoltării.

Să se afle \( x \in R \), ştiind că termenul al cincilea al dezvoltării \( \left(\sqrt{x}+x^{-1}\right)^{6} \) este egal cu \( \displaystyle \frac{5}{9} \).

Determinați rangul termenului ce conține \( x^3 \) în dezvoltarea la putere a binomului \( (\sqrt{x} + y)^9 \).

Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării \( \left( \sqrt[3]{3} + \sqrt{2} \right)^{50} \).

Să se afle cea mai mică valoare naturală a lui \( n \) din dezvoltarea \( (x+a)^{n} \) pentru care raportul coeficienților binomiali ai doi termeni vecini ai dezvoltării este egal cu 5:8.

Să se afle termenul al cincilea din dezvoltarea \(\displaystyle \left( \frac{a}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{a} \right)^n \), știind că raportul coeficienților binomiali ai termenilor al treilea și al doilea este egal cu \(\displaystyle \frac{11}{2} \).

În dezvoltarea \( \left(\sqrt{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right)^{n} \) raportul dintre coeficientul binomial al termenului al cincilea și coeficientul binomial al temenului al treilea este egal cu \( \displaystyle \frac{7}{2} \). Să se afle termenul dezvotării care-1 conţine pe \( x \) (pe \( x^{1} \) ).

Să se afle termenul care-l conține pe \( x^5 \) din dezvoltarea \( \left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^{10} \).

Determinați rangul termenului ce nu conține \( x \) în dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{25} \).

Se consideră dezvoltarea \( \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{n} \), unde \( x>0 \). Ştiind că diferenţa dintre coeficientul binomial al termenului al treilea şi coeficientul binomial al primului termen este egală cu 35 , să se afle termenul dezvoltării care-l conţine pe \( \sqrt{x} \).

Termenul de rangul \( 13 \) al dezvoltării binomului \(\displaystyle \left( \displaystyle \frac{1}{a^3} + 3\sqrt{a} \right)^n \) nu-l conține pe \( a \). Determinați valoarea lui \( n \).

Să se afle termenul care-1 conţine pe \( a^{3} \) din dezvoltarea \( \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\sqrt[4]{a^{3}}\right)^{17} \).

Determinați numărul de termeni iraționali ai dezvoltării la putere a binomului \( \left(\sqrt[4]{3} + \sqrt[5]{7}\right)^{100} \).

Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării la putere a binomului \( \left(\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}\right)^{80} \).

Răspunsuri

\( T_7 = 924 x^6 \)

\( T_{4}=20\cdot3^{\frac{2}{3}}\sqrt{2} \)

\(3\)

\(4\)

\(9\) termeni raționali

\( n = 12 \)

\( T_{5}=495\,a^4x^{-2} \)

\( T_4 = 84 x \)

\( T_{6}=252x^5 \)

Termenul de rang \(11\) nu conține \(x\)

\( T_4 = 84 \sqrt{x} \)

\(n=15\)

\( T_9 = 24310 a^3 \)

95 de termeni iraționali

14 termeni

Rezolvări

Deoarece exponentul este 12, sunt 13 termeni, deci termenul din mijloc este al șaptelea (k=6).
\( T_7 = C_{12}^{6} (2x^2)^{12-6} \left(\displaystyle \frac{1}{2x}\right)^6 = C_{12}^{6} (2x^2)^6 (2x)^{-6} = C_{12}^{6} 2^6 x^{12} 2^{-6} x^{-6} = C_{12}^{6} x^6 \).
Avem \( C_{12}^{6} = \displaystyle \frac{12!}{6!6!} = 924 \).
Deci, \( T_7 = 924 x^6 \).

Să se considere dezvoltarea \[ \Bigl(\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}\Bigr)^n, \] cu suma coeficienților binomiali egală cu 32. Deoarece suma coeficienților este \[ 2^n=32, \] avem \( n=5 \). Termenii dezvoltării sunt numerotați \(T_1,\;T_2,\dots,T_6\). Se dorește al patrulea termen, care corespunde lui \( k=3 \) în formula termenului general: \[ T_{4}=C_{5}^{3}\Bigl(\sqrt[3]{3}\Bigr)^{\,5-3}\Bigl(\sqrt{2}\Bigr)^3. \] Observați: \[ C_{5}^{3}=C_{5}^{2}=10,\qquad \Bigl(\sqrt[3]{3}\Bigr)^2=3^{\frac{2}{3}},\qquad (\sqrt{2})^3=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}. \]
Deci: \[ T_{4}=10\cdot3^{\frac{2}{3}}\cdot2\sqrt{2}=20\cdot3^{\frac{2}{3}}\sqrt{2}. \]

Termenul al cincilea este \( T_5 = C_{6}^{4} (\sqrt{x})^{6-4} (x^{-1})^4 = C_{6}^{4} (\sqrt{x})^2 x^{-4} = C_{6}^{4} x x^{-4} = C_{6}^{4} x^{-3} \).
Avem \( C_{6}^{4} = \displaystyle \frac{6!}{4!2!} = 15 \).
Deci, \( 15 x^{-3} = \displaystyle \frac{5}{9} \), adică \( \displaystyle \frac{15}{x^3} = \displaystyle \frac{5}{9} \), de unde \( x^3 = \displaystyle \frac{15 \cdot 9}{5} = 27 \), deci \( x = 3 \).

Termenul general: \[ T_{k+1}=C_{9}^{k}\,(\sqrt{x})^{9-k}\,y^k =C_{9}^{k}\, x^{\frac{9-k}{2}}\,y^k. \] Pentru ca acest termen să conțină \(x^3\) trebuie ca: \[ \frac{9-k}{2}=3\quad\Longrightarrow\quad 9-k=6\quad\Longrightarrow\quad k=3. \] Deci, termenul care conține \(x^3\) este \( T_{3+1}=T_4 \)

Termenul general: \[ T_{k+1}=C_{50}^{k}\left(\sqrt[3]{3}\right)^{50-k}\left(\sqrt{2}\right)^k. \] Scriem: \[ \sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}},\quad \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}, \] astfel: \[ T_{k+1}=C_{50}^{k}\;3^{\frac{50-k}{3}}\;2^{\frac{k}{2}}. \] Pentru ca \( T_{k+1} \) să fie rațional este necesar ca:
- \(\displaystyle \frac{50-k}{3}\) să fie întreg, adică \(50-k\equiv0\pmod3\). - \(\displaystyle \frac{k}{2}\) să fie întreg, adică \(k\) par.

Notăm \(k=2m\), cu \(m\) între \(0\) și \(25\). Atunci condiția devine: \[ 50-2m\equiv0\pmod3. \] Deoarece \(50\equiv2\pmod3\), avem: \[ 2-2m\equiv0\pmod3\quad\Longrightarrow\quad 2m\equiv2\pmod3. \] Divizând prin \(2\) (deoarece \(2\) are invers modulo \(3\)): \[ m\equiv1\pmod3. \] Valorile posibile ale lui \(m\) în intervalul \(0\le m\le 25\) sunt: \[ m=1,4,7,10,13,16,19,22,25. \] Numărul de valori este \(9\).

Avem \( \displaystyle \frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k+1}} = \displaystyle \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}} = \displaystyle \frac{(k+1)!(n-k-1)!}{k!(n-k)!} = \displaystyle \frac{k+1}{n-k} = \displaystyle \frac{5}{8} \).
Deci, \( 8(k+1) = 5(n-k) \), adică \( 8k + 8 = 5n - 5k \), deci \( 13k + 8 = 5n \).
Vrem să găsim cel mai mic \( n \) natural pentru care există un \( k \) natural care satisface ecuația. Trebuie ca \( 13k + 8 \) să fie divizibil cu 5. Testăm valori pentru k: - k = 1: 13(1) + 8 = 21 (nu e divizibil cu 5) - k = 2: 13(2) + 8 = 34 (nu e divizibil cu 5) - k = 3: 13(3) + 8 = 47 (nu e divizibil cu 5) - k = 4: 13(4) + 8 = 60 (divizibil cu 5) Deci, k=4, si 5n = 60, de unde n = 12. Sau \( \displaystyle \frac{C_{n}^{k+1}}{C_{n}^{k}} = \displaystyle \frac{n - k}{k+1} = \displaystyle \frac{5}{8} \), deci \( 8(n-k) = 5(k+1) \), adică \( 8n - 8k = 5k + 5 \), deci \( 8n = 13k + 5 \). Testăm valori pentru k: - k = 1: 13(1) + 5 = 18 (nu e divizibil cu 8) - k = 2: 13(2) + 5 = 31 (nu e divizibil cu 8) - k = 3: 13(3) + 5 = 44 (nu e divizibil cu 8) - k = 4: 13(4) + 5 = 57 (nu e divizibil cu 8) - k = 5: 13(5) + 5 = 70 (nu e divizibil cu 8) - k = 6: 13(6) + 5 = 83 (nu e divizibil cu 8) - k = 7: 13(7) + 5 = 96 (divizibil cu 8) Deci, k=7, si 8n = 96, de unde n = 12.

Să se determine termenul al cincilea din dezvoltarea \[ \Bigl(\frac{a}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{a}\Bigr)^n. \] Rescriem termenii: \[ \frac{a}{\sqrt{x}}=a\,x^{-\frac{1}{2}},\qquad \frac{\sqrt{x}}{a}=a^{-1}\,x^{\frac{1}{2}}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}=C_{n}^{k}\,(a\,x^{-\frac{1}{2}})^{\,n-k}\,(a^{-1}\,x^{\frac{1}{2}})^k =C_{n}^{k}\,a^{n-k-k}\,x^{-\frac{n-k}{2}+\frac{k}{2}} =C_{n}^{k}\,a^{n-2k}\,x^{\frac{2k-n}{2}}. \] În enunț se menționează că raportul coeficienților binomiali ai termenilor al treilea și al doilea este \[ \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}=\frac{11}{2}. \] Observăm că: \[ \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}. \] Deci, \[ \frac{n-1}{2}=\frac{11}{2}\quad\Longrightarrow\quad n-1=11\quad\Longrightarrow\quad n=12. \] Termenul al cincilea corespunde lui \( k=4 \) (deoarece \(T_{5}=T_{k+1}\) pentru \(k=4\)): \[ T_{5}=C_{12}^{4}\,a^{12-8}\,x^{\frac{8-12}{2}} =C_{12}^{4}\,a^{4}\,x^{-2}. \] Calculăm: \[ C_{12}^{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495. \]

Avem \( \displaystyle \frac{C_{n}^{4}}{C_{n}^{2}} = \displaystyle \frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}}{\frac{n(n-1)}{2!}} = \displaystyle \frac{(n-2)(n-3)}{12} \cdot 2 = \displaystyle \frac{(n-2)(n-3)}{12} \cdot 2 = \displaystyle \frac{7}{2} \).
Deci, \( (n-2)(n-3) = 42 \), adică \( n^2 - 5n + 6 = 42 \), deci \( n^2 - 5n - 36 = 0 \).
Soluțiile sunt \( n = 9 \) și \( n = -4 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 9 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{9}^{k} (\sqrt{x})^{9-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right)^k = C_{9}^{k} x^{\frac{1}{2}(9-k)} x^{-\frac{2}{3}k} = C_{9}^{k} x^{\frac{27-3k-4k}{6}} = C_{9}^{k} x^{\frac{27-7k}{6}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{27-7k}{6} = 1 \), adică \( 27 - 7k = 6 \), deci \( 7k = 21 \), de unde \( k = 3 \).
Termenul este \( T_4 = C_{9}^{3} x = 84 x \).

Să se determine termenul care conține \( x^5 \) în dezvoltarea \[ \Bigl(x^2+\frac{1}{x}\Bigr)^{10}. \] Rescriem: \[ x^2,\qquad \frac{1}{x}=x^{-1}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}=C_{10}^{k}\,(x^2)^{\,10-k}\,(x^{-1})^k =C_{10}^{k}\,x^{2(10-k)-k} =C_{10}^{k}\,x^{20-3k}. \] Pentru ca exponentul lui \(x\) să fie 5: \[ 20-3k=5\quad\Longrightarrow\quad 3k=15\quad\Longrightarrow\quad k=5. \] Termenul corespunzător este: \[ T_{6}=C_{10}^{5}\,x^5. \] Calculăm: \[ C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!5!}=252. \]

Să se determine rangul termenului ce nu conține \( x \) în dezvoltarea \[ \Bigl(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)^{25}. \] Rescriem: \[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}},\qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}. \] Termenul general: \[ T_{k+1}=C_{25}^{k}\,(x^{\frac{1}{3}})^{\,25-k}\,(x^{-\frac{1}{2}})^k =C_{25}^{k}\,x^{\frac{25-k}{3}-\frac{k}{2}} =C_{25}^{k}\,x^{\frac{2(25-k)-3k}{6}} =C_{25}^{k}\,x^{\frac{50-5k}{6}}. \] Pentru ca termenul să fie independent de \(x\): \[ \frac{50-5k}{6}=0\quad\Longrightarrow\quad 50-5k=0\quad\Longrightarrow\quad k=10. \] Rangul termenului este \(k+1=11\).

Avem \( C_{n}^{2} - C_{n}^{0} = 35 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} - 1 = 35 \).
\( n(n-1) = 72 \), deci \( n^2 - n - 72 = 0 \).
Soluțiile sunt \( n = 9 \) și \( n = -8 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 9 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{9}^{k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{9-k} (\sqrt[3]{x^2})^k = C_{9}^{k} x^{-\frac{1}{4}(9-k)} x^{\frac{2}{3}k} = C_{9}^{k} x^{-\frac{9}{4} + \frac{k}{4} + \frac{2k}{3}} = C_{9}^{k} x^{\frac{-27 + 3k + 8k}{12}} = C_{9}^{k} x^{\frac{11k-27}{12}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{11k-27}{12} = \displaystyle \frac{1}{2} \), adică \( 11k - 27 = 6 \), deci \( 11k = 33 \), de unde \( k = 3 \).
Termenul este \( T_4 = C_{9}^{3} \sqrt{x} = 84 \sqrt{x} \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \frac{1}{a^3} \right)^{n-k} \left( 3\sqrt{a} \right)^k \]
Simplificăm: \[ T_k = C_{n}^{k} a^{-3(n-k)} \cdot 3^k a^{\frac{k}{2}} \]
Condiția ca termenul să nu conțină \( a \) este: \[ -3(n-k) + \frac{k}{2} = 0 \] Rezolvăm ecuația: \[ -6(n-k) + k = 0 \quad \Rightarrow \quad -6n + 6k + k = 0 \quad \Rightarrow \quad -6n + 7k = 0 \]
Pentru \( k = 13 \), avem: \[ 7(13) = 6n \quad \Rightarrow \quad n = 15 \] Răspunsul final este: \[ n = 15 \]

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{17}^{k} (a^{-\frac{1}{3}})^{17-k} (a^{\frac{3}{4}})^k = C_{17}^{k} a^{-\frac{17-k}{3}} a^{\frac{3k}{4}} = C_{17}^{k} a^{\frac{-68+4k+9k}{12}} = C_{17}^{k} a^{\frac{13k-68}{12}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{13k-68}{12} = 3 \), adică \( 13k - 68 = 36 \), deci \( 13k = 104 \), de unde \( k = 8 \).
Termenul este \( T_9 = C_{17}^{8} a^3 = 24310 a^3 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{100}^{k} (\sqrt[4]{3})^{100-k} (\sqrt[5]{7})^k \]
Pentru a avea un termen irațional, exponenții puterilor de 3 și 7 trebuie să fie fracții nenule. Așadar, condițiile sunt: \[ 100 - k \text{ trebuie să fie multiplu de 4 și } k \text{ trebuie să fie multiplu de 5}. \]
Numărul de termeni iraționali este dat de complementul numărului de termeni raționali. În acest caz, numărul de termeni iraționali este: \[ 100 - 5 = 95 \] Răspunsul final este: \[ \text{Numărul de termeni iraționali} = 95 \]

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{80}^{k} (\sqrt{2})^{80-k} (\sqrt[3]{5})^k \]
Pentru a avea un termen rațional, trebuie ca exponenții puterilor de 2 și 5 să fie întregi. Așadar: \[ 80-k \text{ trebuie să fie par și } k \text{ trebuie să fie multiplu de 3}. \]
Considerăm \( k = 3m \), unde \( m \) este un număr întreg, și \( 80 - 3m \) trebuie să fie par. Acesta este adevărat atunci când \( m \) este par. Astfel, \( m = 0, 2, 4, \dots, 26 \).
Numărul total de termeni raționali este 14, deoarece \( m \) poate lua 14 valori posibile.
Răspunsul final este: \[ \text{Numărul de termeni raționali} = 14 \]

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări