Binomul lui Newton

Teorema binomului lui Newton oferă o metodă de dezvoltare a puterii unui binom \( (a + b)^n \), unde \( n \) este un număr natural.

Formula de dezvoltare (este data in anexa la BAC):

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

\( C_n^k \) este coeficientul binomial, calculat ca: \(\displaystyle C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \)
\( a^{n-k} \) și \( b^k \) sunt părțile binomului corespunzătoare fiecărui termen.

Termenul General

Termenul general al dezvoltării unui binom \( (a + b)^n \) este dat de formula:

\[ T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

\( T_{k+1} \): al \((k+1)\)-lea termen din dezvoltare.
\( C_n^k \): coeficientul binomial pentru termenul respectiv.
\( a^{n-k} \): primul termen din binom.
\( b^k \): al doilea termen din binom.

Exemple rezolvate

Calcularea unui termen specific

Determinați al treilea termen al dezvoltării \( (2x - 1)^5 \):

Folosim formula termenului general: \[ T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \] Pentru al treilea termen: \( k = 2 \), \( n = 5 \), \( a = 2x \), \( b = -1 \): \[ T_3 = T_{2+1} = C_5^2 \cdot (2x)^{5-2} \cdot (-1)^2 \] Calculăm: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] \[ T_3 = 10 \cdot (2x)^3 \cdot 1 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3 \] Răspuns: \( T_3 = 80x^3 \)

Exemplu complex

Determinați al patrulea termen al dezvoltării \((a^2 + a)^{12}\)

Formula termenului general: \[ T_k = C_n^k \cdot (a^2)^{n-k} \cdot a^k \]

Calculație:

\[ T_4 = T_{3+1} = C_{12}^3 \cdot (a^2)^{12-3} \cdot a^3 = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \cdot (a^2)^9 \cdot a^3 \]

\[ T_4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot a^{18} \cdot a^3 = 220a^{21} \]

Observații

Dezvoltarea unui binom generează \( n+1 \) termeni.
Suma coeficienților: \( 2^n \).

Exerciții

Aflați termenul de mijloc al dezvoltării la putere a binomului \(\displaystyle \left( \sqrt{3^x} + \frac{1}{\sqrt{3^{x - 1}}} \right)^n, \) dacă suma coeficienților binomiali ai ultimilor trei termeni este egală cu \( 22 \).

Aflaţi termenul din mijloc al dezvoltării \( \left(2 x^{2}+\displaystyle \frac{1}{2 x}\right)^{12} \).

În dezvoltarea la putere a binomului \( \displaystyle \left( 2x^3 - \frac{1}{2x} \right)^n \), \( x \neq 0 \), suma coeficienților binomiali este egală cu 1024. Determinați termenul de mijloc al dezvoltării.

Determinați termenul de mijloc al dezvoltării la putere a binomului \(\displaystyle \left(2\sqrt{3}x + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \), dacă suma coeficienților binomiali ai dezvoltării binomului la putere este \( 128 \).

Să se determine \( a>0 \), ştiind că termenul din mijloc al dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{a}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{a}}\right)^{12} \) este egal cu 1848 .

Să se afle valorile reale ale lui \( x \) pentru care suma dintre termenul al treilea şi termenul al cincilea din dezvoltarea \( \left(\sqrt{2^{x}}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^{n} \) este egală cu 135 , iar suma coeficienților binomiali ai ultimilor trei termeni ai dezvoltării este egală cu 22 .

Pentru ce valori ale lui \( a \) suma termenilor al treilea și al cincilea din dezvoltarea la putere a binomului \( \left(\sqrt{2^a} + \frac{1}{\sqrt{2^{a-1}}}\right)^6 \) este egală cu 135?

În dezvoltarea binomului \( \left(\sqrt{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{n} \), suma coeficienţilor binomiali este mai mică decît suma coeficienţilor binomiali din dezvoltarea \( (a+b)^{2 n} \) cu 240 . Aflaţi termenul al treilea al primei dezvoltări.

Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}\right)^n \) este 32. Să se determine al patrulea termen al dezvoltării.

Să se afle suma coeficienţilor binomiali de rang impar ai dezvoltării \( (x+y)^{n} \), știind că coeficientul binomial al termenului al treilea este cu 9 mai mare decît coeficientul binomial al termenului al doilea al dezvoltării.

Să se afle termenul al şaptelea al dezvoltării \( \left(a^{2} \sqrt{a}+\displaystyle \frac{\sqrt[3]{a}}{a}\right)^{n} \), ştiind că coeficientul binomial al termenului al treilea este egal cu 36.

Să se afle \( x \in R \), ştiind că termenul al cincilea al dezvoltării \( \left(\sqrt{x}+x^{-1}\right)^{6} \) este egal cu \( \displaystyle \frac{5}{9} \).

Să se afle termenul al cincilea din dezvoltarea \(\displaystyle \left( \frac{a}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{a} \right)^n \), știind că raportul coeficienților binomiali ai termenilor al treilea și al doilea este egal cu \(\displaystyle \frac{11}{2} \).

Să se afle exponentul \( n \) din dezvoltarea \( (x+2 \sqrt{y})^{n} \), ştiind că coeficientul binomial al termenului al patrulea este 120 , iar coeficientul binomial al termenului al şaselea este 252.

Să se afle termenul dezvoltării \( \left(x \sqrt{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{n} \) care-l conţine pe \( x^{5} \), ştiind că suma coeficienților binomiali ai dezvoltării este egală cu 128 .

Răspunsuri

\( T_{4} = 60 \sqrt{3}\)

\( T_7 = 924 x^6 \)

\(T_6 = -252x^{10}\)

\( T_4 = 560\sqrt{3}x^4 \, \text{și } T_5 = \frac{280}{3}\sqrt{3}x^3 \)

\( a = 4 \)

\( S=\{2; -1\} \)

\( a \in \{-1,2\} \)

\( T_3 = 6 \sqrt[3]{x} \)

\( T_{4}=20\cdot3^{\frac{2}{3}}\sqrt{2} \)

\(32\)

\( T_7 = 84 \sqrt{a^7} \)

\(3\)

\( T_{5}=495\,a^4x^{-2} \)

\( n = 10 \)

\( T_4 = 35 x^5 \)

Rezolvări

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \sqrt{3^x} \right)^{n-k} \left( \frac{1}{\sqrt{3^{x - 1}}} \right)^k \]
Înlocuim fiecare factor: \[ T_k = C_{n}^{k} 3^{\frac{x(n-k)}{2}} 3^{\frac{-(x - 1)k}{2}} \]
Simplificăm exponentul: \[ T_k = C_{n}^{k} 3^{\frac{x(n-k) - (x - 1)k}{2}} = C_{n}^{k} 3^{\frac{x(n-k) - xk + k}{2}} = C_{n}^{k} 3^{\frac{xn - xk + k}{2}} \]
Condiția dată este că suma coeficienților binomiali ai ultimelor trei termene este \( 22 \). Aceasta se întâmplă când \( n = 7 \), iar termenul de mijloc este \( T_4 \). Calculăm: \[ T_4 = C_{7}^{4} 3^{\frac{x(7 - 4) + 4}{2}} = C_{7}^{4} 3^{\frac{3x + 4}{2}} = 35 3^{\frac{3x + 4}{2}} \]
Dacă \( x = 1 \), atunci: \[ T_4 = 35 3^2 = 35 \cdot 9 = 60 \sqrt{3} \] Răspunsul final este: \[ T_4 = 60 \sqrt{3} \]

Deoarece exponentul este 12, sunt 13 termeni, deci termenul din mijloc este al șaptelea (k=6).
\( T_7 = C_{12}^{6} (2x^2)^{12-6} \left(\displaystyle \frac{1}{2x}\right)^6 = C_{12}^{6} (2x^2)^6 (2x)^{-6} = C_{12}^{6} 2^6 x^{12} 2^{-6} x^{-6} = C_{12}^{6} x^6 \).
Avem \( C_{12}^{6} = \displaystyle \frac{12!}{6!6!} = 924 \).
Deci, \( T_7 = 924 x^6 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} (2x^3)^{n-k} \left( -\frac{1}{2x} \right)^k \]
Simplificăm termenul: \[ T_k = C_{n}^{k} 2^{n-k} x^{3(n-k)} \left( -\frac{1}{2} \right)^k x^{-k} \]
Astfel: \[ T_k = C_{n}^{k} (-1)^k 2^{n-k-k} x^{3(n-k)-k} \]
Condiția dată este că suma coeficientelor binomiali este 1024. Aceasta se întâmplă atunci când \( x = 1 \), astfel suma coeficientelor este: \[ \sum_{k=0}^n C_{n}^{k} = 1024 \]
Suma coeficientelor binomiali \( 1024 = 2^{10} \), deci \( n = 10 \).
Termenul de mijloc se află atunci când \( k = 5 \), astfel: \[ T_5 = C_{10}^{5} 2^{10-5} (-1)^5 x^{3(10-5)-5} \]
Calculăm: \[ T_5 = C_{10}^{5} 2^5 (-1)^5 x^{15-5} = 252 \cdot 32 \cdot (-1) x^{10} \]
Răspunsul final este: \[ T_6 = -252x^{10} \]

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( 2\sqrt{3}x \right)^{n-k} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^k \]
Suma coeficienților binomiali este 128, astfel \( n = 7 \), iar termenul de mijloc este \( T_4 \). Calculăm: \[ T_4 = C_{7}^{4} \left( 2\sqrt{3}x \right)^{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^4 \] \[ T_4 = 35 \cdot (2^3 \cdot 3^{3/2} x^3) \cdot \frac{1}{81} = 35 \cdot 8 \cdot 3^{3/2} \cdot x^3 \cdot \frac{1}{81} \]
Calculăm valoarea: \[ T_4 = 560 \sqrt{3} x^4 \]
De asemenea, pentru \( T_5 \): \[ T_5 = C_{7}^{5} (2\sqrt{3}x)^{2} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^5 = 21 \cdot 12 \cdot 3 x^2 \cdot \frac{1}{243} = \frac{280}{3} \sqrt{3} x^3 \] Răspunsul final este: \[ T_4 = 560 \sqrt{3} x^4 \quad \text{și} \quad T_5 = \frac{280}{3} \sqrt{3} x^3 \]

Deoarece exponentul este 12, sunt 13 termeni, deci termenul din mijloc este al șaptelea (k=6).
\( T_7 = C_{12}^{6} (\sqrt[3]{a})^{12-6} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{a}}\right)^6 = C_{12}^{6} a^{\frac{6}{3}} a^{-\frac{6}{4}} = C_{12}^{6} a^{2 - \frac{3}{2}} = C_{12}^{6} a^{\frac{1}{2}} \).
Avem \( C_{12}^{6} = \displaystyle \frac{12!}{6!6!} = \displaystyle \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 924 \).
Deci, \( 924 \sqrt{a} = 1848 \), de unde \( \sqrt{a} = \displaystyle \frac{1848}{924} = 2 \), deci \( a = 4 \).

Suma coeficienților binomiali ai ultimilor trei termeni este: \( C_n^{n-2} + C_n^{n-1} + C_n^n = C_n^2 + C_n^1 + C_n^0 \).
Aceasta devine: \(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2} + n + 1 = 22 \).
Înmulțim totul cu 2 pentru a scăpa de fracție: \( n(n - 1) + 2n + 2 = 44 \).
Rezultă: \( n^2 - n + 2n + 2 = 44 \Rightarrow n^2 + n - 42 = 0 \).
Rezolvăm ecuația: \( n = 6 \) sau \( n = -7 \), dar reținem doar soluția pozitivă: \( n = 6 \).
Calculăm termenii:
Termenul al treilea este: \( T_3 = C_6^2 \cdot (\sqrt{2^x})^4 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^2 \)
\( = 15 \cdot (2^x)^2 \cdot \frac{1}{2^{x-1}} = 15 \cdot 2^{2x} \cdot 2^{1 - x} = 15 \cdot 2^{x + 1} \)
Termenul al cincilea este: \( T_5 = C_6^4 \cdot (\sqrt{2^x})^2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^4 \)
\( = 15 \cdot 2^x \cdot \frac{1}{2^{2x - 2}} = 15 \cdot \frac{2^x}{2^{2x - 2}} = 15 \cdot 2^{2 - x} \)
Suma celor doi termeni este: \( T_3 + T_5 = 135 \Rightarrow 15 \cdot 2^{x + 1} + 15 \cdot 2^{2 - x} = 135 \)
Împărțim totul la 15: \( 2^{x + 1} + 2^{2 - x} = 9 \)
Fie \( t = 2^x \). Atunci ecuația devine: \( 2t + \frac{4}{t} = 9 \)
Înmulțim cu \( t \): \( 2t^2 - 9t + 4 = 0 \)
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: \( t = 4 \) sau \( t = \frac{1}{2} \)
Dacă \( t = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \)
Dacă \( t = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -1 \)

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{6}^{k} \left(\sqrt{2^a}\right)^{6-k} \left(\frac{1}{\sqrt{2^{a-1}}}\right)^k \]
Simplificăm: \[ T_k = C_{6}^{k} 2^{\frac{a(6-k)}{2}} \cdot 2^{-\frac{(a-1)k}{2}} \]
Condiția pentru suma termenilor al treilea și al cincilea să fie 135 ne dă valorile \( a \in \{-1, 2\} \).

Suma coeficienților binomiali din prima dezvoltare este \( 2^n \), iar suma coeficienților binomiali din a doua dezvoltare este \( 2^{2n} \).
Avem \( 2^{2n} - 2^n = 240 \). Fie \( y = 2^n \). Atunci, \( y^2 - y - 240 = 0 \).
Soluțiile sunt \( y = 16 \) și \( y = -15 \). Deoarece \( y = 2^n \) trebuie să fie pozitiv, \( 2^n = 16 \), de unde \( n = 4 \).
Termenul al treilea al primei dezvoltări este \( T_3 = C_{4}^{2} (\sqrt{x})^{4-2} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^2 = C_{4}^{2} x x^{-\frac{2}{3}} = 6 x^{\frac{1}{3}} = 6 \sqrt[3]{x} \).

Să se considere dezvoltarea \[ \Bigl(\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}\Bigr)^n, \] cu suma coeficienților binomiali egală cu 32. Deoarece suma coeficienților este \[ 2^n=32, \] avem \( n=5 \). Termenii dezvoltării sunt numerotați \(T_1,\;T_2,\dots,T_6\). Se dorește al patrulea termen, care corespunde lui \( k=3 \) în formula termenului general: \[ T_{4}=C_{5}^{3}\Bigl(\sqrt[3]{3}\Bigr)^{\,5-3}\Bigl(\sqrt{2}\Bigr)^3. \] Observați: \[ C_{5}^{3}=C_{5}^{2}=10,\qquad \Bigl(\sqrt[3]{3}\Bigr)^2=3^{\frac{2}{3}},\qquad (\sqrt{2})^3=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}. \]
Deci: \[ T_{4}=10\cdot3^{\frac{2}{3}}\cdot2\sqrt{2}=20\cdot3^{\frac{2}{3}}\sqrt{2}. \]

Avem \( C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 9 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} - n = 9 \). Atunci \( n(n-1) - 2n = 18 \), deci \( n^2 - 3n - 18 = 0 \). Soluțiile sunt \( n = 6 \) și \( n = -3 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 6 \). Suma coeficienților binomiali de rang impar este \( 2^{n-1} = 2^{6-1} = 2^5 = 32 \).

Avem \( C_{n}^{2} = 36 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} = 36 \). Atunci \( n(n-1) = 72 \), deci \( n = 9 \). Termenul al șaptelea este \( T_7 = C_{9}^{6} (a^2 \sqrt{a})^{9-6} \left(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{a}}{a}\right)^6 = C_{9}^{6} (a^{\frac{5}{2}})^3 (a^{\frac{1}{3} - 1})^6 = C_{9}^{6} a^{\frac{15}{2}} (a^{-\frac{2}{3}})^6 = C_{9}^{6} a^{\frac{15}{2}} a^{-4} = C_{9}^{6} a^{\frac{15-8}{2}} = C_{9}^{6} a^{\frac{7}{2}} \).
Avem \( C_{9}^{6} = C_{9}^{3} = \displaystyle \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 \). Deci, \( T_7 = 84 a^{\frac{7}{2}} = 84 \sqrt{a^7} \).

Termenul al cincilea este \( T_5 = C_{6}^{4} (\sqrt{x})^{6-4} (x^{-1})^4 = C_{6}^{4} (\sqrt{x})^2 x^{-4} = C_{6}^{4} x x^{-4} = C_{6}^{4} x^{-3} \).
Avem \( C_{6}^{4} = \displaystyle \frac{6!}{4!2!} = 15 \).
Deci, \( 15 x^{-3} = \displaystyle \frac{5}{9} \), adică \( \displaystyle \frac{15}{x^3} = \displaystyle \frac{5}{9} \), de unde \( x^3 = \displaystyle \frac{15 \cdot 9}{5} = 27 \), deci \( x = 3 \).

Să se determine termenul al cincilea din dezvoltarea \[ \Bigl(\frac{a}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{a}\Bigr)^n. \] Rescriem termenii: \[ \frac{a}{\sqrt{x}}=a\,x^{-\frac{1}{2}},\qquad \frac{\sqrt{x}}{a}=a^{-1}\,x^{\frac{1}{2}}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}=C_{n}^{k}\,(a\,x^{-\frac{1}{2}})^{\,n-k}\,(a^{-1}\,x^{\frac{1}{2}})^k =C_{n}^{k}\,a^{n-k-k}\,x^{-\frac{n-k}{2}+\frac{k}{2}} =C_{n}^{k}\,a^{n-2k}\,x^{\frac{2k-n}{2}}. \] În enunț se menționează că raportul coeficienților binomiali ai termenilor al treilea și al doilea este \[ \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}=\frac{11}{2}. \] Observăm că: \[ \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}. \] Deci, \[ \frac{n-1}{2}=\frac{11}{2}\quad\Longrightarrow\quad n-1=11\quad\Longrightarrow\quad n=12. \] Termenul al cincilea corespunde lui \( k=4 \) (deoarece \(T_{5}=T_{k+1}\) pentru \(k=4\)): \[ T_{5}=C_{12}^{4}\,a^{12-8}\,x^{\frac{8-12}{2}} =C_{12}^{4}\,a^{4}\,x^{-2}. \] Calculăm: \[ C_{12}^{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495. \]

Avem \( C_{n}^{3} = 120 \) și \( C_{n}^{5} = 252 \). Atunci \( \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 120 \) și \( \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{120} = 252 \).
Din prima ecuație, \( n(n-1)(n-2) = 720 \). Observăm că \( 720 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \), deci \( n = 10 \).
Verificăm cu a doua ecuație: \( \displaystyle \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{120} = 252 \). Deci, \( n = 10 \).

Suma coeficienților binomiali este \( 2^n = 128 = 2^7 \), deci \( n = 7 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{7}^{k} (x \sqrt{x})^{7-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^k = C_{7}^{k} x^{\frac{3}{2}(7-k)} x^{-\frac{1}{3}k} = C_{7}^{k} x^{\frac{63-9k-2k}{6}} = C_{7}^{k} x^{\frac{63-11k}{6}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{63-11k}{6} = 5 \), adică \( 63 - 11k = 30 \), deci \( 11k = 33 \), de unde \( k = 3 \).
Termenul este \( T_4 = C_{7}^{3} x^5 = 35 x^5 \).

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări