Teorema bisectoarei

Fie triunghiul \(ABC\), unde bisectoarea unghiului \(A\) intersectează latura \(BC\) în punctul \(D\). Conform teoremei bisectoarei, raportul în care bisectoarea împarte latura opusă este proporțional cu lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Exemple rezolvate

Exemplu 1: Fie un triunghi \(ABC\) în care \(AB = 8\;\text{cm}\), \(AC = 6\;\text{cm}\) și \(BC = 10\;\text{cm}\). Dacă bisectoarea \(AD\) împarte latura \(BC\) în segmentele \(BD\) și \(DC\), să se determine lungimile acestor segmente.

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Deci, \(BD = 4x\) și \(DC = 3x\). Deoarece \(BD + DC = BC = 10\;\text{cm}\), rezultă:

\[ 4x + 3x = 10 \quad \Rightarrow \quad 7x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10}{7} \]

Astfel, \(BD = \frac{40}{7}\;\text{cm}\) și \(DC = \frac{30}{7}\;\text{cm}\).

Exemplu 2: Fie un triunghi \(ABC\) cu \(AB = 10\;\text{cm}\), \(AC = 15\;\text{cm}\) și \(BC = 14\;\text{cm}\). Să se determine punctele \(D\) de pe \(BC\) unde bisectoarea \(AD\) împarte \(BC\) în două segmente.

Conform teoremei bisectoarei:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \]

Notăm \(BD = 2x\) și \(DC = 3x\). Știm că \(BC = BD + DC = 2x + 3x = 5x\).

\[ 5x = 14 \implies x = \frac{14}{5} = 2,8\;\text{cm} \]

Atunci segmentele sunt:

\[ BD = 2x = 2 \cdot 2,8 = 5,6\;\text{cm}, \quad DC = 3x = 3 \cdot 2,8 = 8,4\;\text{cm} \]

Răspuns: \(BD = 5,6\;\text{cm}, DC = 8,4\;\text{cm}\).

Exerciții

Se consideră triunghiul \(ABC\) cu lungimile laturilor \(AB = 9~\mathrm{cm}\), \(BC = 12~\mathrm{cm}\), \(AC = 15~\mathrm{cm}\). Dacă \([AD]\) este mediana corespunzătoare laturii \([BC]\), \(D \in (BC)\), să se afle aria triunghiului \(ABD\).

Fie \(ABC\) un triunghi, în care \(m(\angle A) = 60^\circ\), \(m(\angle C) = 45^\circ\), iar înălţimea \(BH\) are lungimea de \(2\sqrt{3}~\mathrm{cm}\), \(H \in (AC)\). Determinaţi aria triunghiului \(ABC\).

Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) în care \( m(\angle B) = 90^\circ \), iar \( CM \) este bisectoare. Determinați lungimea bisectoarei \( CM \), dacă se cunoaște că \( BC = 3 \, \text{cm} \) și \( AC = 5 \, \text{cm} \).

Fie \( ABC \) un triunghi oarecare cu înălţimea \( AD = 3\sqrt{3}\,\mathrm{cm},\, D \in (BC) \), mediana \( AM = 6\,\mathrm{cm},\, M \in (BD) \) şi \( m(\angle B) = 30^\circ \). Să se afle perimetrul triunghiului \( ABC \).

În desenul alăturat bisectoarea AD împarte cateta BC a triunghiului dreptunghic ABC în segmentele de lungime 5 cm și 3 cm. Utilizând datele problemei și desenul, determinați lungimea catetei AC.

Fie ABCD un paralelogram, în care AB ⟂ BD și \(\displaystyle \frac{AB}{BD} = \frac{3}{4}\). Determinați aria paralelogramului ABCD, dacă AD = 20 cm.

Fie paralelogramul \( ABCD \), în care \( m(\angle A) = 60^\circ \), iar bisectoarea \( AK \) determină pe diagonala \( BD \) segmentele \( BK = 3 \, \text{cm} \) și \( KD = 6 \, \text{cm} \). Determinați măsura unghiului \( \angle ADB \).

În triunghiul ascuțitunghic \(ABC\), \(AB = 4\sqrt{2}\ \text{cm}\), \(BC = 5\ \text{cm}\), iar \(m(\angle A) = 45^\circ\). Determinați lungimea laturii \(AC\).

Fie paralelogramul \( ABCD \), în care \( AB = 26 \, \text{cm} \), \( BD = 32 \, \text{cm} \). Determinați perimetrul paralelogramului \( ABCD \), dacă \( m(\angle BOC) = 120^\circ \). \( O \) este punctul de intersecție al diagonalelor.

Aria unui paralelogram este egală cu \( 120\,\mathrm{cm}^2 \), iar două laturi ale lui au lungimile de \( 15\,\mathrm{cm} \) și \( 10\,\mathrm{cm} \). Să se afle lungimea diagonalei mai mici a paralelogramului.

Diagonalele rombului \(ABCD\) au lungimile de \(3~\mathrm{cm}\) şi \(4~\mathrm{cm}\). Din vârful unghiului obtuz \(B\) al rombului sunt duse înălţimile \(BE\) şi \(BF\), \(E \in (CD)\), \(F \in (AD)\). Să se afle aria patrulaterului \(BEDF\).

Într-un romb diagonala mică este de \(30~\mathrm{cm}\), iar înălţimea este de \(24~\mathrm{cm}\). Determinați perimetrul rombului.

Se consideră rombul \( ABCD \) cu \( m(\angle ABC) = 120^\circ \), \( AC \cap BD = \{O\} \). Fie punctul \( M \) mijlocul laturii \( [BC] \), \( AM \cap BD = \{E\} \) și \( OE = 2\ \mathrm{cm} \). Să se afle aria rombului \( ABCD \).

În desenul alăturat, \(ABCD\) este un romb în care \(BD = 30 \, \text{cm}\), iar \(O\) este punctul de intersecție a diagonalelor. Distanța de la punctul \(O\) la latura \(AB\) este egală cu \(12 \, \text{cm}\). Aflați aria rombului.

Măsura unghiului ascuţit al unui romb este egală cu \(60^{\circ}\), iar aria rombului este egală cu \(18\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2\). Să se afle lungimea diagonalei mai mari a rombului.

Răspunsuri

\(A_{ABD} = 27~\mathrm{cm}^2\).

\(A_{ABC} = (6 + 2\sqrt{3})~\mathrm{cm}^2\).

\(\frac{3 \sqrt{5}}{2} \, \text{cm}\)

\( P_{ABC} = 6(3 + \sqrt{3})\,\mathrm{cm} \).

\( AC= 6 \ {cm} \)

\(30^\circ\)

\( (52 + 4\sqrt{409}) \, \text{cm}^2 \)

\(A_{BEDF} = 4,32~\mathrm{cm}^2\).

\(P_{\text{romb}} = 100~\mathrm{cm}\).

\( A_{ABCD} = 72\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2 \)

\(d = 6\sqrt{3}~\mathrm{cm}\).

Rezolvări

Din triunghiul dreptunghic \( ADB \), care are \( m(\angle B) = 30^\circ \), rezultă că \( AB = 2AD = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \).
Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ADB \) avem \( BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{108 - 27} = \sqrt{81} = 9\,\mathrm{cm} \).
Din triunghiul dreptunghic \( ADM \), conform teoremei lui Pitagora avem \( DM = \sqrt{AM^2 - AD^2} = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3\,\mathrm{cm} \).
Atunci \( BM = BD - DM = 9 - 3 = 6\,\mathrm{cm} \) şi \( BC = 2BM = 2 \cdot 6 = 12\,\mathrm{cm} \). \( CD = MC - MD = 6 - 3 = 3\,\mathrm{cm} \).
Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ADC \) avem \( AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6\,\mathrm{cm} \).
Perimetrul triunghiului \( ABC \) este \( P = AB + BC + AC = 6\sqrt{3} + 12 + 6 = 18 + 6\sqrt{3} = 6(3 + \sqrt{3})\,\mathrm{cm} \).

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări