Item 7 - toate variantele posibile
Exerciții
1
Se consideră triunghiul \(ABC\) cu lungimile laturilor \(AB = 9~\mathrm{cm}\), \(BC = 12~\mathrm{cm}\), \(AC = 15~\mathrm{cm}\). Dacă \([AD]\) este mediana corespunzătoare laturii \([BC]\), \(D \in (BC)\), să se afle aria triunghiului \(ABD\).
2
Fie \(ABC\) un triunghi, în care \(m(\angle A) = 60^\circ\), \(m(\angle C) = 45^\circ\), iar înălţimea \(BH\) are lungimea de \(2\sqrt{3}~\mathrm{cm}\), \(H \in (AC)\). Determinaţi aria triunghiului \(ABC\).
3
Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) în care \( m(\angle B) = 90^\circ \), iar \( CM \) este bisectoare. Determinați lungimea bisectoarei \( CM \), dacă se cunoaște că \( BC = 3 \, \text{cm} \) și \( AC = 5 \, \text{cm} \).
4
Fie \( ABC \) un triunghi oarecare cu înălţimea \( AD = 3\sqrt{3}\,\mathrm{cm},\, D \in (BC) \), mediana \( AM = 6\,\mathrm{cm},\, M \in (BD) \) şi \( m(\angle B) = 30^\circ \). Să se afle perimetrul triunghiului \( ABC \).
5
În desenul alăturat bisectoarea AD împarte cateta BC a triunghiului dreptunghic ABC în segmentele de lungime 5 cm și 3 cm. Utilizând datele problemei și desenul, determinați lungimea catetei AC.
6
Fie ABCD un paralelogram, în care AB ⟂ BD și \(\displaystyle \frac{AB}{BD} = \frac{3}{4}\). Determinați aria paralelogramului ABCD, dacă AD = 20 cm.
7
Fie paralelogramul \( ABCD \), în care \( m(\angle A) = 60^\circ \), iar bisectoarea \( AK \) determină pe diagonala \( BD \) segmentele \( BK = 3 \, \text{cm} \) și \( KD = 6 \, \text{cm} \). Determinați măsura unghiului \( \angle ADB \).
8
În triunghiul ascuțitunghic \(ABC\), \(AB = 4\sqrt{2}\ \text{cm}\), \(BC = 5\ \text{cm}\), iar \(m(\angle A) = 45^\circ\). Determinați lungimea laturii \(AC\).
9
Fie paralelogramul \( ABCD \), în care \( AB = 26 \, \text{cm} \), \( BD = 32 \, \text{cm} \). Determinați perimetrul paralelogramului \( ABCD \), dacă \( m(\angle BOC) = 120^\circ \). \( O \) este punctul de intersecție al diagonalelor.
10
Aria unui paralelogram este egală cu \( 120\,\mathrm{cm}^2 \), iar două laturi ale lui au lungimile de \( 15\,\mathrm{cm} \) și \( 10\,\mathrm{cm} \). Să se afle lungimea diagonalei mai mici a paralelogramului.
11
Diagonalele rombului \(ABCD\) au lungimile de \(3~\mathrm{cm}\) şi \(4~\mathrm{cm}\). Din vârful unghiului obtuz \(B\) al rombului sunt duse înălţimile \(BE\) şi \(BF\), \(E \in (CD)\), \(F \in (AD)\). Să se afle aria patrulaterului \(BEDF\).
12
Într-un romb diagonala mică este de \(30~\mathrm{cm}\), iar înălţimea este de \(24~\mathrm{cm}\). Determinați perimetrul rombului.
13
Se consideră rombul \( ABCD \) cu \( m(\angle ABC) = 120^\circ \), \( AC \cap BD = \{O\} \). Fie punctul \( M \) mijlocul laturii \( [BC] \), \( AM \cap BD = \{E\} \) și \( OE = 2\ \mathrm{cm} \). Să se afle aria rombului \( ABCD \).
14
În desenul alăturat, \(ABCD\) este un romb în care \(BD = 30 \, \text{cm}\), iar \(O\) este punctul de intersecție a diagonalelor. Distanța de la punctul \(O\) la latura \(AB\) este egală cu \(12 \, \text{cm}\). Aflați aria rombului.
15
Măsura unghiului ascuţit al unui romb este egală cu \(60^{\circ}\), iar aria rombului este egală cu \(18\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2\). Să se afle lungimea diagonalei mai mari a rombului.