Item 7 - toate variantele posibile
Exerciții
1
Să se afle lungimea laturii \( [BC] \) a triunghiului \( ABC \), știind că \( AB = 6\,\mathrm{cm} \), \( AC = 10\,\mathrm{cm} \) și că aria triunghiului \( ABC \) este egală cu \( 15\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2 \).
2
Fie \( ABCD \) un paralelogram, în care \( m(\angle ABC) = 135^\circ \) și \( AB = 6 \, \text{cm} \). Determinați aria paralelogramului, dacă \( BD = 5 \sqrt{2} \, \text{cm} \).
3
Se consideră rombul \( ABCD \) cu \( m(\angle ABC) = 120^\circ \), \( AC \cap BD = \{O\} \). Fie punctul \( M \) mijlocul laturii \( [BC] \), \( AM \cap BD = \{E\} \) și \( OE = 2\ \mathrm{cm} \). Să se afle aria rombului \( ABCD \).
4
Într-un trapez isoscel latura laterală este de \(30~\mathrm{cm}\), iar diagonala este de \(40~\mathrm{cm}\) şi este perpendiculară pe latura laterală. Determinați lungimea bazei mici a trapezului.
5
Un triunghi dreptunghic are perimetrul egal cu \(30~\mathrm{cm}\). În triunghi este înscris un cerc. Punctul de tangenţă al cercului cu o catetă împarte această catetă în două segmente, raportul lungimilor cărora este \(2:3\), socotind de la vârful unghiului drept. Aflaţi lungimile laturilor triunghiului.
6
Fie dreptunghiul \( ABCD \), în care \( AD = 24 \, \text{cm} \). Punctul \( M \) aparține laturii \( AB \), astfel încât \( AM : MB = 4 : 3 \), iar \( m(\angle ADM) = 30^\circ \). Determinați aria patrulaterului \( MBCD \).
7
În desenul alăturat bisectoarea AD împarte cateta BC a triunghiului dreptunghic ABC în segmentele de lungime 5 cm și 3 cm. Utilizând datele problemei și desenul, determinați lungimea catetei AC.
8
Fie ABC un triunghi dreptunghic, în care m(∠ABC) = 90°, AB = 9 cm, AC = 15 cm. Pe laturile AC și BC se consideră respectiv punctele M și N, astfel încât MN ∥ AB și BN:NC = 1:2. Determinați aria trapezului ABNM.
9
Baza mare a unui trapez isoscel este diametrul cercului circumscris trapezului. Latura laterală a trapezului este de \(15~\mathrm{cm}\), iar înălţimea de \(12~\mathrm{cm}\). Determinaţi lungimea razei cercului circumscris trapezului.
10
În triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A)=90^\circ\) avem \(AB=6\,\mathrm{cm}\), \(BC=10\,\mathrm{cm}\). Notăm cu \(D\) piciorul înălțimii din \(A\) pe ipotenuză. Paralela prin \(D\) la \(AB\) intersectează pe \(AC\) în punctul \(E\). Determinați \(BD\) și \(EC\).
11
Măsura unghiului ascuţit al unui romb este egală cu \(60^{\circ}\), iar aria rombului este egală cu \(18\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2\). Să se afle lungimea diagonalei mai mari a rombului.
12
Se consideră triunghiul \(ABC\), în care \(M \in (AB)\), \(AM=BM=6\,\mathrm{cm}\), \(BC=14\,\mathrm{cm}\) și \(N\) este mijlocul laturii \([BC]\). Dacă \(MN=5\,\mathrm{cm}\), să se afle perimetrul triunghiului \(ABC\).
13
Fie \( ABC \) un triunghi oarecare cu înălţimea \( AD = 3\sqrt{3}\,\mathrm{cm},\, D \in (BC) \), mediana \( AM = 6\,\mathrm{cm},\, M \in (BD) \) şi \( m(\angle B) = 30^\circ \). Să se afle perimetrul triunghiului \( ABC \).
14
Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( m(\angle A) = 90^\circ, AB = 20\,\mathrm{cm}, AD \perp BC, D \in (BC) \), astfel încât \( BD = 16\,\mathrm{cm} \). Să se afle aria triunghiului \( ABC \).
15
Fie dat trapezul isoscel \( ABCD \) cu bazele \( AB = 4 \, \text{cm} \) și \( CD = 16 \, \text{cm} \). Dreptele suport ale laturilor laterale se intersectează într-un punct \( M \). Determinați distanța de la punctul \( M \) până la baza mare a trapezului, dacă se știe că trapezul poate fi circumscris unui cerc.