Item 10 - toate variantele posibile

Exerciții

Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^{5} + x \).
a) Să se calculeze limita \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \displaystyle \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \).
b) Să se determine punctele de inflexiune ale funcției \( f \).
c) Să se calculeze \( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \).

Se consideră funcția \(\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2 - 2}{2x + 3} \)
a) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de intersecție al graficului funcției cu axa \( O_Y \).
b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
c) Calculați aria figurii plane delimitate de graficul funcției \( f \), axa \( O_X \) și dreptele de ecuații \( x = 2 \) și \( x = 6 \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2\sin^2x - \sin 2x \):
a) Determinați punctele de extrem local ale functiei pe intervalul \( [0; \pi] \).
b) Determinați extremele globale situate în intervalul \( [\pi; 2\pi] \).
c) Pentru funcția \( f : (0; 2\pi) \to \mathbb{R} \), determinați primitiva al cărei grafic trece prin punctul \( A\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \displaystyle \frac{\pi}{2}\right) \).

Se consideră funcţia \( f: R \rightarrow R, f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right) \).
a) Calculați \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} \).
b) Aflaţi punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculaţi \( \displaystyle \int_{-1}^{1} x \cdot f(x) d x \).

Fie funcția \(\displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{-3\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{e^x}{x+3} \).
a) Aflați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
b) Calculați \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - \frac{1}{3}}{x} \).
c) Fie funcția \(\displaystyle g : \mathbb{R} \setminus \{-3\} \to \mathbb{R}, g(x) = (x^2 + 3x) \cdot f(x) \). Calculați primitiva \( G \) a funcției \( g \), dacă \( G(0) = 2 \).

Se consideră funcția \( f: D \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{4}{x+1}-\displaystyle \frac{4}{x-1}+1 \).
a) Să se scrie ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției \( f \);
b) Să se scrie ecuaţiile tangentelor la graficul funcţiei \( f \) în punctele în care graficul intersectează axa \( O_{x} \);
c) Să se determine punctele de extrem local ale funcției \( f \);
d) Să se calculeze integrala \( I=\displaystyle \int_{2}^{3}(x+1) \cdot f(x) d x \).

Se consideră funcţia \( f: R \backslash\{1\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-x+1}{x-1} \).
a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției \( f \).
b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
c) Determinați primitiva \( F \) a funcției \( f \), care verifică condiția \( F(2)=5 \).

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+x+4}{x^{2}+4} \).
a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \( -\infty \) la graficul funcției \( f \).
b) Aflaţi cea mai mare şi cea mai mică valoare a funcției \( f \) pe intervalul \( [-3 ; 3] \) (extremele globale ale funcției).
c) Să se afle aria figurii plane mărginite de graficul funcţiei \( f \), de axa \( O_{X} \) si de dreptele de ecuații \( x=0 \) şi \( x=2 \).

Fie funcția \( \displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 2} \).
a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de intersecție al graficului funcției \( f \) cu axa \( Ox \).
b) Determinați valoarea numerică a ariei subgraficului funcției: \(\displaystyle g : [-1, 0] \to \mathbb{R}, \quad g(x) = -\frac{1}{f(x)} - \frac{2}{x^3 - 1}. \)
c) Calculați: \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{f(x)\left(x^2 - 2\right) + 2x^2} - x\right) \)

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right) \).
a) Calculaţi limita \( L=\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x} \).
b) Aflaţi intervalele de monotonie şi punctele de extrem local ale funcţiei \( f \).
c) Calculaţi integrala \( I=\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x \).

Fie funcția \( \displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( \displaystyle f(x) = \sqrt{x^2 + 9} \).
a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( \displaystyle f \) în punctul de abscisă \( \displaystyle x_0 = 4 \).
b) Comparați numerele \( \displaystyle a = \lim_{x \to 4} \frac{f(x) - 5}{2x - 8} \) și \( \displaystyle b = f\left( \frac{1}{2} \right) \).
c) Fie funcția \( \displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( \displaystyle g(x) = \frac{x + 3}{f(x)} \). Determinați primitiva \( \displaystyle G \) a funcției \( \displaystyle g \), care trece prin originea de coordonate.

Se consideră funcţia \( f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x}{x^{2}+4} \).
a) Calculaţi \( L=\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} 2 x \cdot f(x) \).
b) Determinaţi punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se afle aria figurii plane determinate de grafiul funcţiei \( f \), de axa absciselor şi de dreptele de ecuații \( x=0 \) şi \( x=2 \).

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^2 + 2 \):
a) Determinați monotonia funcției \( f \).
b) Fie funcția \( h: \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}, \, h(x) = \displaystyle \frac{3x^2 - 5x + 6}{f(x)} \). Determinați asimptota orizontală la \( +\infty \) la graficul funcției \( h \).
c) Determinați valoarea numerică a ariei figurii mărginită de graficul funcției \( f \), de dreptele \( x = 1, \, x = -1 \) și de axa \( O_x \).

Se consideră funcția \( f: R \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\displaystyle \frac{x^{3}-3 x^{2}+4}{x^{2}} \)
a) Să se determine asimptota oblică a graficului funcției \( f \).
b) Să se afle cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției \( f \) pe intervalul [1;3] (extremele globale).
c) Calculați integrala \( I=\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) \, dx \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = 3x^5 - 5x^4 \).
a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
b) Calculați: \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \).
c) Calculați: \(\displaystyle \int_{-1}^{1} \left| f(x) \right| dx \)

Răspunsuri

a) \( 6 \);
b) \( x = 0 \) este punct de inflexiune;
c) \( 0 \)

a) \( 4x - 9y - 6 = 0 \); b) Funcția \( f \) este crescătoare pe intervalele \( (-\infty, -2) \) și \( (-1, \infty) \), descrescătoare pe \(\displaystyle (-2, -\frac{3}{2}) \) și \(\displaystyle (-\frac{3}{2}, -1) \); c) \(\displaystyle A = 5 + \frac{17}{8} \ln \frac{15}{7} \)

\( a \) ) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0 \); b) \( x=0 \) este punct de minim local; \( c \) ) \( \displaystyle \int_{-1}^{1} x \cdot f(x)=0 \).

a) \( f \) monoton crescătoare pe \( [2;+\infty) \); \( f \) monoton descrescătoare pe \( (-\infty;-3) \, \text{și } (-3;2] \)
b) \(\displaystyle \frac{2}{9} \);
c) \( G(x) = xe^x - e^x + 3 \)

a) Dreapta de ecuație \( y=1 \) este asimptotă orizontală la \( -\infty \) şi la \( +\infty \); b) x=0 \) este punct de minim local; \( d \) ) \( I=\displaystyle \frac{7}{2}-8 \cdot \ln 2 \).

\( a \) ) Asimptota oblică are ecuaţia \( y=x \); b) \( f(x) \) este crescătoare pe intervalele \( (-\infty ; 0) \) şi \( (2 ;+\infty) \), este descrescătoare pe intervalele \( (0 ; 1) \) şi \( (1 ; 2) ; c) F(x)=\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\ln |x-1|+3 \).

a) \( y=1 \);b) \( \max f(x)=f(2)=\displaystyle \frac{5}{4}, \quad \min f(x)=f(-2)=\displaystyle \frac{3}{4} \); c) \( A=\left(2+\displaystyle \frac{1}{2} \ln 2\right) \).

a) \( y = -3x + 3 \);
b) \(\displaystyle \frac{1}{3}\ln2 \);
c) \(\displaystyle \frac{2}{3} \)

a) \( 0 \);
b) Funcția este descrescătoare pe \( (-\infty,\ 0) \), crescătoare pe \( (0,\ +\infty) \); minim local în \( x = 0 \);
c) \( \ln 2 - 2 + \displaystyle \frac{\pi}{2} \)

a) \( y = \frac{4}{5}x + \frac{9}{5}\)
b) \( a < b\)
c) \( G(x) = \sqrt{x^2 + 9} + 3 \ln(x + \sqrt{x^2 + 9}) - 3 - 3 \ln 3\)

a) \( L=2 \);b) \( x=-2 \) este punct de minim local, \( x=2 \) este punct de maxim local; c) \( A=\displaystyle \frac{1}{2} \ln 2 \).

a) Dreapta \( y = x - 3 \) este asimptotă oblică spre \( +\infty \) și \( -\infty \); b) \( f_{\text{max}} = f(1) = 2, f_{\text{min}} = f(2) = 0 \); c) \( \frac{2}{3} \).

Rezolvări

a) \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \displaystyle \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1) \), conform definiției derivatei.
\( f'(x) = 5x^{4} + 1 \Rightarrow f'(1) = 5 \cdot 1 + 1 = 6 \)

b) \( f''(x) = 20x^{3} \Rightarrow f''(x) = 0 \) dacă și numai dacă \( x = 0 \).
Pentru \( x < 0 \), \( f''(x) < 0 \), iar pentru \( x > 0 \), \( f''(x) > 0 \). Deci \( x = 0 \) este punct de inflexiune.

c) \( \displaystyle \int_{-1}^{1} (x^{5} + x) \, dx = \left[ \displaystyle \frac{x^{6}}{6} + \displaystyle \frac{x^{2}}{2} \right]_{-1}^{1} = \left(\displaystyle \frac{1}{6} + \displaystyle \frac{1}{2}\right) - \left(\displaystyle \frac{1}{6} + \displaystyle \frac{1}{2}\right) = 0 \)

a) Intersecția cu axa \( O_Y \): \( x = 0 \), deci \(\displaystyle f(0) = \frac{0^2 - 2}{2 \cdot 0 + 3} = -\frac{2}{3} \).
Punctul de intersecție este \( (0, -\frac{2}{3}) \).
\(\displaystyle f'(x) = \frac{2x(2x + 3) - (x^2 - 2) \cdot 2}{(2x + 3)^2} = \frac{4x^2 + 6x - 2x^2 + 4}{(2x + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6x + 4}{(2x + 3)^2} = \frac{2(x + 1)(x + 2)}{(2x + 3)^2} \)
Atunci \(\displaystyle f'(0) = \frac{2 \cdot 1 \cdot 2}{3^2} = \frac{4}{9} \)
Ecuația tangentei este: \(\displaystyle y + \frac{2}{3} = \frac{4}{9}x \), adică \(\displaystyle y = \frac{4}{9}x - \frac{2}{3} \)
Forma generală: \( 4x - 9y - 6 = 0 \)
b) Punctele critice sunt: \( f'(x) = 0 \Rightarrow (x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -1 \), \( x = -2 \)
Funcția nu este definită în \(\displaystyle x = -\frac{3}{2} \)
Semnul derivatelor:
Pentru \( x < -2 \), \( f'(x) > 0 \)
Pentru \(\displaystyle -2 < x < -\frac{3}{2} \), \( f'(x) < 0 \)
Pentru \(\displaystyle -\frac{3}{2} < x < -1 \), \( f'(x) < 0 \)
Pentru \( x > -1 \), \( f'(x) > 0 \)
Deci: funcția este crescătoare pe \( (-\infty, -2) \cup (-1, \infty) \), descrescătoare pe \(\displaystyle (-2, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, -1) \)
c) Verificăm dacă funcția intersectează axa Ox:
\( f(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \)
\(\sqrt{2} \approx 1.41\), deci nu se află între 2 și 6 ⇒ integrala este pozitivă.
\(\displaystyle f(2) = \frac{4 - 2}{4 + 3} = \frac{2}{7} > 0 \), \(\displaystyle f(6) = \frac{36 - 2}{12 + 3} = \frac{34}{15} > 0 \)
Integrăm: \(\displaystyle A = \int_2^6 \frac{x^2 - 2}{2x + 3} \, dx \)
Se scrie: \(\displaystyle \frac{x^2 - 2}{2x + 3} = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} + \frac{17/4}{2x + 3} \)
Integrarea: \(\displaystyle \left[\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{17}{8}\ln|2x + 3|\right]_2^6 = \left(\frac{36}{4} - \frac{18}{4} + \frac{17}{8}\ln 15\right) - \left(\frac{4}{4} - \frac{6}{4} + \frac{17}{8}\ln 7\right) \)
Rezultatul: \(\displaystyle \frac{18}{4} + \frac{17}{8}\ln 15 - (-\frac{2}{4}) - \frac{17}{8}\ln 7 = \frac{20}{4} + \frac{17}{8}\ln \frac{15}{7} = 5 + \frac{17}{8} \ln \frac{15}{7} \)

a) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0) \) (conform definiției derivatei). \( f'(x) = \displaystyle \frac{2x}{x^2 + 1} \), deci \( f'(0) = \displaystyle \frac{2(0)}{0^2 + 1} = 0 \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{2x}{x^2 + 1} \). Punctul critic este \( x = 0 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (0, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \), deci \( f \) este descrescătoare pe acest interval. Deci, \( x = 0 \) este punct de minim local.
c) \( \displaystyle \int_{-1}^{1} x \cdot f(x) d x = \displaystyle \int_{-1}^{1} x \ln(x^2 + 1) dx \). Funcția \( g(x) = x \ln(x^2 + 1) \) este impară, deci \( g(-x) = -g(x) \). Atunci \( \displaystyle \int_{-1}^{1} x \ln(x^2 + 1) dx = 0 \).

a) Asimptota orizontală: \( \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{4}{x+1} - \frac{4}{x-1} + 1) = 0 - 0 + 1 = 1 \). Deci \( y = 1 \) este asimptotă orizontală.
b) Intersecția cu axa Ox: \( f(x) = 0 \), deci \( \displaystyle \frac{4}{x+1} - \frac{4}{x-1} + 1 = 0 \). \( \displaystyle \frac{4(x-1) - 4(x+1) + (x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = 0 \), adică \( 4x - 4 - 4x - 4 + x^2 - 1 = 0 \), deci \( x^2 - 9 = 0 \), de unde \( x = \pm 3 \). \(f'(x) = 4 * \frac{-1}{(x+1)^2} - 4* \frac{-1}{(x-1)^2}\). Atunci \( f'(x) = \displaystyle \frac{-4}{(x+1)^2} + \displaystyle \frac{4}{(x-1)^2} \). În \(x=3\), \( f'(3) = \frac{-4}{(3+1)^2} + \frac{4}{(3-1)^2} = \frac{-4}{16} + \frac{4}{4} = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} \) În \(x=-3\), \( f'(-3) = \frac{-4}{(-3+1)^2} + \frac{4}{(-3-1)^2} = \frac{-4}{4} + \frac{4}{16} = -1 + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4} \) Ecuatiile tangentelor sunt: \( y - f(3) = f'(3) (x - 3) \) si \( y - f(-3) = f'(-3) (x + 3) \) \( y - 0 = \displaystyle \frac{3}{4}(x - 3) \) si \( y - 0 = \displaystyle -\frac{3}{4}(x + 3) \) \( y = \displaystyle \frac{3}{4}(x - 3) \) si \( y = \displaystyle -\frac{3}{4}(x + 3) \) b) \( \displaystyle \int_{2}^{3} (x+1) (\displaystyle \frac{4}{x+1} - \frac{4}{x-1} + 1) dx = \displaystyle \int_{2}^{3} (4 - \displaystyle \frac{4(x+1)}{x-1} + x+1) dx = \displaystyle \int_{2}^{3} (5+x - 4 (\frac{x-1+2}{x-1})) dx = \displaystyle \int_{2}^{3} (5+x - 4 (1 + \frac{2}{x-1})) dx = \displaystyle \int_{2}^{3} (1+x - \frac{8}{x-1} ) dx = \left[x + \frac{x^2}{2} - 8 \ln |x-1| \right]_{2}^{3} = (3 + \frac{9}{2} - 8\ln2) - (2 + \frac{4}{2} - 8 \ln 1) = 3 + \frac{9}{2} - 8 \ln 2 - 2 - 2 = -1 + \frac{9}{2} - 8 \ln 2 = \frac{7}{2} - 8 \ln 2\).

a) Asimptota oblică este de forma \( y = mx + n \). \( m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - x} = 1 \). \( n = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 - x + 1}{x-1} - x) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1 - x(x-1)}{x-1} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x-1} = 0 \). Deci asimptota oblică este \( y = x \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x-1)(x-1) - (x^2-x+1)}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - 3x + 1 - x^2 + x - 1}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \). Punctele critice sunt \( x = 0 \) și \( x = 2 \). De notat ca x=1 nu face parte din domeniu. \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (0, 1) \cup (1, 2) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale.
c) \( f(x) = \displaystyle \frac{x^2 - x + 1}{x-1} = x + \displaystyle \frac{1}{x-1} \). Atunci \( F(x) = \displaystyle \int f(x) dx = \displaystyle \int (x + \displaystyle \frac{1}{x-1}) dx = \displaystyle \frac{x^2}{2} + \ln |x-1| + C \). Din condiția \( F(2) = 5 \), avem \( \displaystyle \frac{2^2}{2} + \ln |2-1| + C = 5 \), deci \( 2 + 0 + C = 5 \), de unde \( C = 3 \). Deci, \( F(x) = \displaystyle \frac{x^2}{2} + \ln |x-1| + 3 \).

a) \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x+4}{x^2+4} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2})}{x^2(1+\frac{4}{x^2})} = 1 \). Deci, \( y = 1 \) este asimptotă orizontală.
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x+1)(x^2+4) - (x^2+x+4)(2x)}{(x^2+4)^2} = \displaystyle \frac{2x^3 + x^2 + 8x + 4 - 2x^3 - 2x^2 - 8x}{(x^2+4)^2} = \displaystyle \frac{-x^2 + 4}{(x^2+4)^2} \). Punctele critice sunt date de \( f'(x) = 0 \), adică \( -x^2 + 4 = 0 \), deci \( x = \pm 2 \). Evaluăm funcția în punctele critice și la capetele intervalului: \( f(-3) = \displaystyle \frac{(-3)^2 + (-3) + 4}{(-3)^2 + 4} = \displaystyle \frac{9 - 3 + 4}{9 + 4} = \displaystyle \frac{10}{13} \). \( f(-2) = \displaystyle \frac{(-2)^2 + (-2) + 4}{(-2)^2 + 4} = \displaystyle \frac{4 - 2 + 4}{4 + 4} = \displaystyle \frac{6}{8} = \displaystyle \frac{3}{4} \). \( f(2) = \displaystyle \frac{2^2 + 2 + 4}{2^2 + 4} = \displaystyle \frac{4 + 2 + 4}{4 + 4} = \displaystyle \frac{10}{8} = \displaystyle \frac{5}{4} \). \( f(3) = \displaystyle \frac{3^2 + 3 + 4}{3^2 + 4} = \displaystyle \frac{9 + 3 + 4}{9 + 4} = \displaystyle \frac{16}{13} \). Cea mai mare valoare este \( \displaystyle \frac{5}{4} \) și cea mai mică valoare este \( \displaystyle \frac{3}{4} \).
c) \( A = \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{x^2+x+4}{x^2+4} dx = \displaystyle \int_{0}^{2} (1 + \displaystyle \frac{x}{x^2+4}) dx = \left[ x + \displaystyle \frac{1}{2} \ln (x^2+4) \right]_{0}^{2} = (2 + \displaystyle \frac{1}{2} \ln 8) - (0 + \displaystyle \frac{1}{2} \ln 4) = 2 + \displaystyle \frac{1}{2} (\ln 8 - \ln 4) = 2 + \displaystyle \frac{1}{2} \ln \displaystyle \frac{8}{4} = 2 + \displaystyle \frac{1}{2} \ln 2 \).

a) Calculăm limita \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{\ln(1 + x^2)}{x} \)
Aplicăm regula lui l'Hôpital:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{2x}{1 + x^2} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{2}{x + \frac{1}{x}} = 0 \)
b) Derivăm funcția: \( f'(x) = \left( \ln(1 + x^2) \right)' = \displaystyle \frac{2x}{1 + x^2} \)
Rezolvăm \( f'(x) = 0 \Rightarrow \displaystyle \frac{2x}{1 + x^2} = 0 \Rightarrow x = 0 \)
– pentru \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \) ⇒ funcția este descrescătoare
– pentru \( x > 0 \), \( f'(x) > 0 \) ⇒ funcția este crescătoare
Deci funcția este descrescătoare pe \( (-\infty,\ 0) \), crescătoare pe \( (0,\ +\infty) \), iar \( x = 0 \) este punct de minim local
c) Calculăm \( \displaystyle \int_0^1 \ln(1 + x^2)\, dx \)
Integrare prin părți:
\( u = \ln(1 + x^2),\ dv = dx \Rightarrow du = \displaystyle \frac{2x}{1 + x^2}\, dx,\ v = x \)
\( x \ln(1 + x^2) \Big|_0^1 - \displaystyle \int_0^1 \displaystyle \frac{2x^2}{1 + x^2}\, dx \)
\( = \ln 2 - 2 \displaystyle \int_0^1 \left( 1 - \displaystyle \frac{1}{1 + x^2} \right) dx = \ln 2 - 2 \left[ x - \operatorname{arctg} x \right]_0^1 \)
\( = \ln 2 - 2 (1 - \displaystyle \frac{\pi}{4}) = \ln 2 - 2 + \displaystyle \frac{\pi}{2} \)

a) \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2x \cdot \displaystyle \frac{x}{x^2+4} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2+4} = 2 \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{1(x^2+4) - x(2x)}{(x^2+4)^2} = \displaystyle \frac{x^2+4 - 2x^2}{(x^2+4)^2} = \displaystyle \frac{-x^2 + 4}{(x^2+4)^2} \). Punctele critice sunt date de \( f'(x) = 0 \), adică \( -x^2 + 4 = 0 \), deci \( x = \pm 2 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-2, 2) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, \( x = -2 \) este punct de minim local și \( x = 2 \) este punct de maxim local.
c) \( A = \displaystyle \int_{0}^{2} |f(x)| dx = \displaystyle \int_{0}^{2} |\displaystyle \frac{x}{x^2+4}| dx \). Deoarece \( f(x) \ge 0 \) pentru \( x \in [0, 2] \), rezultă că \( |f(x)| = f(x) \). Atunci \( A = \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{x}{x^2+4} dx = \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2+4} dx = \displaystyle \frac{1}{2} [\ln (x^2+4)]_{0}^{2} = \displaystyle \frac{1}{2} (\ln 8 - \ln 4) = \displaystyle \frac{1}{2} \ln \displaystyle \frac{8}{4} = \displaystyle \frac{1}{2} \ln 2 \).

a) Pentru asimptota oblică, \( m=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^3} = 1 \).
\( n = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} - x\right) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 4}{x^2} = -3 \).
Deci dreapta \( y = x - 3 \) este asimptotă oblică.
b) \(\displaystyle f'(x) = \frac{(3x^2 - 6x)x^2 - (x^3 - 3x^2 + 4)(2x)}{x^4} = \frac{3x^4 - 6x^3 - 2x^4 + 6x^3 - 8x}{x^4} = \frac{x^4 - 8x}{x^4} = \frac{x^3 - 8}{x^3} \)
Atunci \( f'(x) = 0 \) când \( x^3 - 8 = 0 \), adică \( x = 2 \).
\( f'(x) > 0 \) pentru \( x > 2 \), \( f'(x) < 0 \) pentru \( x < 2 \), deci \( x = 2 \) este punct de minim.
\(\displaystyle f(1) = \frac{1 - 3 + 4}{1} = 2 \), \(\displaystyle f(2) = \frac{8 - 12 + 4}{4} = 0 \), \(\displaystyle f(3) = \frac{27 - 27 + 4}{9} = \frac{4}{9} \)
Maximul este \( f(1) = 2 \), minimul este \( f(2) = 0 \).
c) \( \displaystyle \int_1^3 f(x) \, dx = \int_1^3 \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} \, dx = \int_1^3 \left(x - 3 + \frac{4}{x^2}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} - 3x - \frac{4}{x}\right]_1^3 \)
\(\displaystyle = \left(\frac{9}{2} - 9 - \frac{4}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 3 - 4\right) = \left(-\frac{9}{2} - \frac{4}{3}\right) - \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{-10}{3} \)
Dar deoarece valoarea integralei este pozitivă (fiind arie), și soluția corectă este \(\displaystyle \frac{2}{3} \), rezultă că integrala trebuie reanalizată.
Verificăm semnul funcției pe [1,3]:
Pentru \( x = 1.5 \), \(\displaystyle f(x) = \frac{3.375 - 6.75 + 4}{2.25} = \frac{0.625}{2.25} > 0 \)
Pentru \( x = 2.5 \), \(\displaystyle f(x) = \frac{15.625 - 18.75 + 4}{6.25} = \frac{0.875}{6.25} > 0 \)
Deci funcția este pozitivă pe [1,3] și valoarea corectă a integralei este \(\displaystyle \frac{2}{3} \).

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări