Item 10 - toate variantele posibile

Exerciții

Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^{5} + x \).
a) Să se calculeze limita \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \displaystyle \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \).
b) Să se determine punctele de inflexiune ale funcției \( f \).
c) Să se calculeze \( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \).

Se consideră funcția \(\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2 - 2}{2x + 3} \)
a) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de intersecție al graficului funcției cu axa \( O_Y \).
b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
c) Calculați aria figurii plane delimitate de graficul funcției \( f \), axa \( O_X \) și dreptele de ecuații \( x = 2 \) și \( x = 6 \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2\sin^2x - \sin 2x \):
a) Determinați punctele de extrem local ale functiei pe intervalul \( [0; \pi] \).
b) Determinați extremele globale situate în intervalul \( [\pi; 2\pi] \).
c) Pentru funcția \( f : (0; 2\pi) \to \mathbb{R} \), determinați primitiva al cărei grafic trece prin punctul \( A\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \displaystyle \frac{\pi}{2}\right) \).

Se consideră funcţia \( f: R \rightarrow R, f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right) \).
a) Calculați \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} \).
b) Aflaţi punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculaţi \( \displaystyle \int_{-1}^{1} x \cdot f(x) d x \).

Fie funcția \(\displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{-3\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{e^x}{x+3} \).
a) Aflați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
b) Calculați \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - \frac{1}{3}}{x} \).
c) Fie funcția \(\displaystyle g : \mathbb{R} \setminus \{-3\} \to \mathbb{R}, g(x) = (x^2 + 3x) \cdot f(x) \). Calculați primitiva \( G \) a funcției \( g \), dacă \( G(0) = 2 \).

Se consideră funcția \( f: D \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{4}{x+1}-\displaystyle \frac{4}{x-1}+1 \).
a) Să se scrie ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției \( f \);
b) Să se scrie ecuaţiile tangentelor la graficul funcţiei \( f \) în punctele în care graficul intersectează axa \( O_{x} \);
c) Să se determine punctele de extrem local ale funcției \( f \);
d) Să se calculeze integrala \( I=\displaystyle \int_{2}^{3}(x+1) \cdot f(x) d x \).

Se consideră funcţia \( f: R \backslash\{1\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-x+1}{x-1} \).
a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției \( f \).
b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
c) Determinați primitiva \( F \) a funcției \( f \), care verifică condiția \( F(2)=5 \).

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+x+4}{x^{2}+4} \).
a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \( -\infty \) la graficul funcției \( f \).
b) Aflaţi cea mai mare şi cea mai mică valoare a funcției \( f \) pe intervalul \( [-3 ; 3] \) (extremele globale ale funcției).
c) Să se afle aria figurii plane mărginite de graficul funcţiei \( f \), de axa \( O_{X} \) si de dreptele de ecuații \( x=0 \) şi \( x=2 \).

Fie funcția \( \displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 2} \).
a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de intersecție al graficului funcției \( f \) cu axa \( Ox \).
b) Determinați valoarea numerică a ariei subgraficului funcției: \(\displaystyle g : [-1, 0] \to \mathbb{R}, \quad g(x) = -\frac{1}{f(x)} - \frac{2}{x^3 - 1}. \)
c) Calculați: \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{f(x)\left(x^2 - 2\right) + 2x^2} - x\right) \)

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right) \).
a) Calculaţi limita \( L=\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x} \).
b) Aflaţi intervalele de monotonie şi punctele de extrem local ale funcţiei \( f \).
c) Calculaţi integrala \( I=\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x \).

Fie funcția \( \displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( \displaystyle f(x) = \sqrt{x^2 + 9} \).
a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( \displaystyle f \) în punctul de abscisă \( \displaystyle x_0 = 4 \).
b) Comparați numerele \( \displaystyle a = \lim_{x \to 4} \frac{f(x) - 5}{2x - 8} \) și \( \displaystyle b = f\left( \frac{1}{2} \right) \).
c) Fie funcția \( \displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( \displaystyle g(x) = \frac{x + 3}{f(x)} \). Determinați primitiva \( \displaystyle G \) a funcției \( \displaystyle g \), care trece prin originea de coordonate.

Se consideră funcţia \( f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x}{x^{2}+4} \).
a) Calculaţi \( L=\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} 2 x \cdot f(x) \).
b) Determinaţi punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se afle aria figurii plane determinate de grafiul funcţiei \( f \), de axa absciselor şi de dreptele de ecuații \( x=0 \) şi \( x=2 \).

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^2 + 2 \):
a) Determinați monotonia funcției \( f \).
b) Fie funcția \( h: \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}, \, h(x) = \displaystyle \frac{3x^2 - 5x + 6}{f(x)} \). Determinați asimptota orizontală la \( +\infty \) la graficul funcției \( h \).
c) Determinați valoarea numerică a ariei figurii mărginită de graficul funcției \( f \), de dreptele \( x = 1, \, x = -1 \) și de axa \( O_x \).

Se consideră funcția \( f: R \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\displaystyle \frac{x^{3}-3 x^{2}+4}{x^{2}} \)
a) Să se determine asimptota oblică a graficului funcției \( f \).
b) Să se afle cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției \( f \) pe intervalul [1;3] (extremele globale).
c) Calculați integrala \( I=\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) \, dx \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = 3x^5 - 5x^4 \).
a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
b) Calculați: \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \).
c) Calculați: \(\displaystyle \int_{-1}^{1} \left| f(x) \right| dx \)

Se consideră funcția \( f: D \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{2 x-1}{x^{2}} \).
a) Scrieți ecuația asimptotei orizontale către \( +\infty \) la graficul funcției \( g: D \rightarrow R \), \( g(x)=x \cdot f(x) \).
b) Determinaţi intervalele de monotonie şi punctele de extrem local ale funcţiei \( f \).
c) Calculați integrala \( I=\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x) d x \).

Fie funcția \(\displaystyle f : \mathbb{R}\setminus\{2\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{x^2 - 5}{x - 2} \).
a) Determinați intervalele de concavitate ale funcției \( f \).
b) Determinați asimptota oblică la \( +\infty \) a graficului funcției \( f \).
c) Calculați: \(\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)dx. \)

Se consideră funcţia \( f: R \backslash\{1\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-7 x+10}{x-1} \), unde \( D \) este domeniul maxim de definiție al funcției \( f \).
a) Determinați asimptota oblică la graficul funcției \( f \).
b) Să se afle coordonatele punctelor de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se afle primitiva \( F(x) \) a funcției \( f(x) \), graficul căreia intersectează axa \( O_{X} \) în punctul cu abscisa \( x=2 \).

Fie funcția \( f : D \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 12} \)
a) Calculați \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{f(x)} \).
b) Studiați monotonia funcției.
c) Calculați volumul corpului de rotatie a functiei \( f \) in jurul axei \(O_x\).

Se consideră funcția \( f: D \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+2 x+5}{x+1} \).
a) Să se determine asimptota oblică la graficul funcției \( f \).
b) Aflați coordonatele punctelor de extrem local ale functiei \( f \).
c) Determinaţi primitiva \( F \) a funcției \( f \), pentru care \( x=-3 \) este zerou.

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=(x-1) \cdot e^{-x} \).
a) Sa se determine ecuatria asimptotei orizontale la graficul funcției \( f \).
b) Să se afle punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculați \( \displaystyle \int_{2}^{e} \displaystyle \frac{1}{f(x) \cdot e^{x}} d x \).

Se consideră funcţia \( f: R \backslash\{2\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{2 x-1}{x-2} \).
a) Calculaţi \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} \).
b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de abscisă \( x_{0}=3 \).
c) Calculați aria figurii plane mărginite de graficul funcției \( f \), de axa \( O_{X} \) şi de dreptele de ecuații \( x=3 \) şi \( x=5 \).

Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{\ln x}{x^2} \).
a) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de abscisă \( x_0 = e^2 \).
b) Să se afle intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
c) Să se calculeze aria figurii plane limitate de graficul funcției \( f \), de axa \( O_X \) și de dreptele de ecuații \( x = 1 \) și \( x = e \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \).
a) Calculați \(\displaystyle \int_{0}^{1} xf(x) \, dx \).
b) Fie funcția \( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = x + f(x) \). Calculați asimptota orizontală la \( -\infty \) a funcției \( g \).
c) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( f \), care trece prin punctul \( M(1;1) \).

Fie \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = -x^2 + 4x\).
a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de intersecție al graficului funcției \( f \) cu axa Oy.
b) Comparați \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x - 4}\) cu \(f(e).\)
c) Fie funcția \(\displaystyle g : [0, 2] \to \mathbb{R}, \, g(x) = e^{\frac{x}{2}} \cdot \sqrt{\frac{f(x)}{4 - x}}\). Determinați valoarea numerică a volumului corpului de rotație obținut prin rotirea subgraficului funcției g în jurul axei \(O_x\).

Fie funcţia \( f: R \backslash\{2\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}}{x-2} \).
a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției \( f \).
b) Aflaţi punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculați integrala \( I=\displaystyle \int_{3}^{4} f(x) d x \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \displaystyle \frac{x^2}{x - 3} \).
a) Determinați punctele de extrem local ale funcției \( f \).
b) Determinați asimptota oblică la \( +\infty \) la graficul funcției \( f \).
c) Calculați: \(\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)(x - 3)}{x^3} \, dx \).

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=x^{3}-3 x+1 \).
a) Calculați \( L=\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} \).
b) Determinați punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculați \( I=\displaystyle \int_{1}^{3} \displaystyle \frac{f(x)}{x^{2}} d x \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{4x^2 + 8} + 2x \).
a) Calculați: \(\displaystyle \int_{-1}^0 x\big(f(x) - 2x\big)dx. \)
b) Determinați asimptota orizontală la \( -\infty \) a graficului funcției \( f \).
c) Determinați abscisa punctului de pe graficul funcției \( f \) în care tangenta dusă la graficul funcției formează cu direcția pozitivă a axei \( O_x \) un unghi de \( 45^\circ \).

Fie funcția \( f : (-\infty, -2] \cup [0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{x^2 + 2x} \):
a) Calculați: \(\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x^2 + 10}{f^2(x) - 2x + 9} \, dx. \)
b)Determinați asimptota orizontală la \( -\infty \) a funcției: \(\displaystyle g : (-\infty; -2] \cup [0; +\infty) \to \mathbb{R}, \, g(x) = f(x) + x. \)
c) Determinați abscisa punctului de pe graficul funcției \( f \), în care tangenta la grafic trece prin punctul \( A(4; 3\sqrt{3}) \).

Se consideră funcţia \( f: R \rightarrow R, f(x)=x^{3}-3 x \).
a) Calculaţi limita \( L=\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \).
b) Aflaţi punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se afle aria suprafeței plane cuprinsă între graficul funcției \( f \), axa \( O_{X} \) şi dreptele de ecuaţii \( x=-1 \) şi \( x=1 \).

Fie \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3 - 6x \).
a) Determinați punctele de extrem local ale funcției \( f \).
b) Determinați valoarea numerică a ariei figurii plane mărginită de graficul funcției \( f \), axa \( O_x \) și dreptele \( x = 1, x = \sqrt{3} \).
c) Fie funcția \(\displaystyle h : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, h(x) = \frac{f(x)}{x} \). Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( h \), dacă tangenta dusă la graficul funcției formează cu direcția pozitivă a axei \( O_x \) un unghi de \( 45^\circ \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = e^{2x}(-2x^3 + x^4) \).
a) Determinați punctele de extrem local ale funcției \( f \).
b) Calculați: \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^2 + 4x - 12}. \)
c) Determinați valoarea numerică a ariei figurii mărginită de graficul funcției: \(\displaystyle g : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, \quad g(x) = \frac{f(x)}{x^3}, \) axa \(Ox\), și axa \(Oy\).

Fie funcția \(f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} + \displaystyle \frac{1}{x^2}\):
a) Scrieți tangenta la graficul funcției \(f\), care este paralelă cu axa \(O_x\).
b) Determinați intervalele de monotonie a funcției \(f\).
c) Determinați primitiva funcției \(f\).

Se consideră funcţia \( f: R^{*} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+1}{x} \).
a) Determinaţi ecuaţiile asimptotelor oblice la graficul funcţiei \( f \)
b) Determinaţi intervalele de monotonie şi punctele de extrem local ale funcției \( f \)
c) Calculaţi integrala \( I=\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) d x \)

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2x^{6} - 4x^{5} \).
a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \)
b) Calculați: \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x^{4}-4x^{2}} \)
c) Calculați: \(\displaystyle \int_{-1}^{1}|f(x)| \, dx \)

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{2 e^{x}}{1+e^{2 x}} \).
a) Să se calculeze limitele \( L_{1}=\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \) și \( L_{2}=\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \).
b) Să se afle punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se determine primitiva \( F(x) \) a funcţiei \( f(x) \), grafiul căreia trece prin origine.

Fie funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x^5 - 3x^4\).
a) Determinați intervalele de convexitate și intervalele de concavitate ale funcției \(f\).
b) Calculați: \(\displaystyle \lim_{{x \to \frac{3}{2}}} \frac{f(x)}{4x^2 - 9}. \)
c) Determinați valoarea numerică a volumului corpului obținut prin rotirea subgraficului funcției \(\displaystyle g : [2, 6] \to \mathbb{R}, \quad g(x) = \frac{\sqrt{f(x)}}{x^2} + 3 \) în jurul axei \( Ox \).

Fie funcția \( \displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{-3\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2 - 5}{x + 3} \).
a) Determinați punctele de extrem local ale funcției \( \displaystyle f \).
b) Determinați asimptota oblică la \(+\infty\) a graficului funcției \(f\).

c) Calculați: \( \displaystyle \int_{\sqrt{6}}^{3} \frac{f(x)(x^2 + 3x)}{\sqrt{x^2 - 5}} \, dx. \)

Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = e^{2x} + e^{-2x} \).
a) Să se calculeze limita \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle \frac{f(x) - f(0)}{x} \).
b) Să se determine punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se afle aria figurii plane delimitate de graficul funcției \( f \), axa \( O_x \) și dreptele de ecuații \( x = 0 \) și \( x = 1 \).

Fie funcția \(\displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{2x - 1}{x - 2} \).
a) Determinați intervalele de convexitate și intervalele de concavitate ale funcției \( f \).
b) Calculați \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(4)}{x - 4} \).
c) Calculați \(\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) \, dx \).

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x+1}{x^{2}+3} \).
a) Calculaţi limita \( L=\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \).
b) Determinați punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculaţi \( I=\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{3x^2 + 2x + 4} \).
a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
b) Comparați: \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{2x + 2} \) și \(\displaystyle -\frac{1}{4}f(2) \).
c) Fie funcția \(\displaystyle g : [0; 4] \to \mathbb{R}, \, g(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x + 1}} \). Determinați valoarea numerică a volumului corpului de rotație obținut prin rotirea subgraficului funcției \( g \) în jurul axei \( O_x \).

Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{\sqrt{x^2 + 1}} \).
a) Determinați ecuațiile asimptotelor oblice ale graficului funcției \( f \).
b) Să se afle punctele de extrem local ale funcției \( f \) și valorile funcției în aceste puncte.
c) Să se determine volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei \( O_x \) a suprafeței mărginită de axa \( O_x \) și de graficul funcției \( f \).

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=x^{3}-12 x \).
a) Calculaţi \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \).
b) Aflaţi punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculaţi \( I=\displaystyle \int_{1}^{3} \displaystyle \frac{f(x)}{x^{2}} d x \).

Se consideră funcția \( f: R \backslash\{-2\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-2 x-1}{x+2} \).
a) Să se determine asimptotele oblice la graficul funcției \( f \).
b) Să se afle intervalele de monotonie şi punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se afle integrala \( I=\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) d x \).

Se consideră funcţia \( f: D \rightarrow R, f(x)=x \ln x \).
a) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de abscisă \( x_{0}=e \) de pe graficul funcției.
b) Determinați intervalele de monotonie şi coordonatele punctelor de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculaţi integrala \( I=\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) d x \).

Fie funcția \( f: R \backslash\{-1; 1\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} \)
a) Scrieți ecuațiile asimptotelor orizontale ale graficului funcției \( f \).
b) Determinați punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se afle o primitivă \( F \) a funcției \( f \), al cărei grafic trece prin punctul \( M(\sqrt{2}, 2) \).

Se consideră funcţia \( f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{3}+2 x^{2}+2}{x^{2}+1} \).
a) Determinaţi ecuația asimptotei oblice spre \( +\infty \) la graficul funcției \( f \).
b) Să se determine punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculați integrala \( I=\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) d x \).

Fie funcția \(f : (0; +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x^3 \ln x\):
a) Determinați punctele de extrem local ale funcției \(f\).
b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul \(x_0 = 1\).
c) Calculați \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\displaystyle \frac{f(x)}{\ln x} - 5\right)^2\).

Răspunsuri

a) \( 6 \);
b) \( x = 0 \) este punct de inflexiune;
c) \( 0 \)

a) \( 4x - 9y - 6 = 0 \); b) Funcția \( f \) este crescătoare pe intervalele \( (-\infty, -2) \) și \( (-1, \infty) \), descrescătoare pe \(\displaystyle (-2, -\frac{3}{2}) \) și \(\displaystyle (-\frac{3}{2}, -1) \); c) \(\displaystyle A = 5 + \frac{17}{8} \ln \frac{15}{7} \)

\( a \) ) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0 \); b) \( x=0 \) este punct de minim local; \( c \) ) \( \displaystyle \int_{-1}^{1} x \cdot f(x)=0 \).

a) \( f \) monoton crescătoare pe \( [2;+\infty) \); \( f \) monoton descrescătoare pe \( (-\infty;-3) \, \text{și } (-3;2] \)
b) \(\displaystyle \frac{2}{9} \);
c) \( G(x) = xe^x - e^x + 3 \)

a) Dreapta de ecuație \( y=1 \) este asimptotă orizontală la \( -\infty \) şi la \( +\infty \); b) x=0 \) este punct de minim local; \( d \) ) \( I=\displaystyle \frac{7}{2}-8 \cdot \ln 2 \).

\( a \) ) Asimptota oblică are ecuaţia \( y=x \); b) \( f(x) \) este crescătoare pe intervalele \( (-\infty ; 0) \) şi \( (2 ;+\infty) \), este descrescătoare pe intervalele \( (0 ; 1) \) şi \( (1 ; 2) ; c) F(x)=\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\ln |x-1|+3 \).

a) \( y=1 \);b) \( \max f(x)=f(2)=\displaystyle \frac{5}{4}, \quad \min f(x)=f(-2)=\displaystyle \frac{3}{4} \); c) \( A=\left(2+\displaystyle \frac{1}{2} \ln 2\right) \).

a) \( y = -3x + 3 \);
b) \(\displaystyle \frac{1}{3}\ln2 \);
c) \(\displaystyle \frac{2}{3} \)

a) \( 0 \);
b) Funcția este descrescătoare pe \( (-\infty,\ 0) \), crescătoare pe \( (0,\ +\infty) \); minim local în \( x = 0 \);
c) \( \ln 2 - 2 + \displaystyle \frac{\pi}{2} \)

a) \( y = \frac{4}{5}x + \frac{9}{5}\)
b) \( a < b\)
c) \( G(x) = \sqrt{x^2 + 9} + 3 \ln(x + \sqrt{x^2 + 9}) - 3 - 3 \ln 3\)

a) \( L=2 \);b) \( x=-2 \) este punct de minim local, \( x=2 \) este punct de maxim local; c) \( A=\displaystyle \frac{1}{2} \ln 2 \).

a) Dreapta \( y = x - 3 \) este asimptotă oblică spre \( +\infty \) și \( -\infty \); b) \( f_{\text{max}} = f(1) = 2, f_{\text{min}} = f(2) = 0 \); c) \( \frac{2}{3} \).

a) \( y=2 \) este ecuația asimptotei orizontale spre \( +\infty \) pentru funcția \( g ; b) f(x) \) este descrescătoare pe \( (-\infty ; 0) \) şi \( (1 ;+\infty) \) şi este crescătoare pe \( (0 ; 1) \). Punctul \( x=1 \) este punct de maxim local; c) \( I=2 \ln \displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{1}{6} \)

a) funcția f este concavă pe \( (2; +\infty)\)
b) \( y = x + 2\)
c) \( \ln \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\)

a) \( y=x-6 \) este asimptotă oblică la \( -\infty \) și la \( +\infty \); b) Punctul \( A(-1 ;-9) \) este punct de maxim local, punctul \( B(3 ;-1) \) este punct de minim local; c) \( F(x)=\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-6 x+4 \ln |x-1|+10 \).

a) Dreapta \( y=x+1 \) este asimptotǎ oblică la \( -\infty \) şi la \( +\infty \); b) Punctul \( A(-3 ;-4) \) este punct de maxim local, punctul \( B(1 ; 4) \) este punct de minim local; c) \( F(x)=\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+x+4 \ln |x+1|-\displaystyle \frac{3}{2}-4 \ln 2 \).

a) Dreapta \( y=0 \) este asimptotă orizontală la \( +\infty ; b) x=2 \) este punct de maxim local; c) \( \displaystyle \int_{2}^{e} \displaystyle \frac{1}{f(x) e^{x}} d x=\ln (e-1) \).

a) \( L=-3 \); b) \( y=-3 x+14 \); c) \( A=(4+3 \ln 3) \).

a) \( y = -\displaystyle \frac{3}{e^6} x + \displaystyle \frac{5}{e^4} \);
b) Funcția \( f \) este crescătoare pe \( (0, \sqrt{e}) \) și descrescătoare pe \( (\sqrt{e}, +\infty) \);
c) \( A = \displaystyle \frac{e - 2}{e} \)

a) \(\displaystyle \frac{2\sqrt{2} - 1}{3} \);
b) \( y = 0 \);
c) \( y = 1 \)

a) \( y = 4x \);
b) \( < \);
c) \( \pi(e^2+1) \)

a) \( y=x+2 \); b) \( x=0 \) este punct de maxim local, iar \( x=4 \) este punct de minim local; c) \( I=\displaystyle \frac{11}{2}+4 \ln 2 \).

a) \( L=-3 ; b) x=-1 \) este punct de maxim local, \( x=1 \) este punct de minim local; c) \( I=\displaystyle \frac{14}{3}-3 \ln 3 \).

a) \(\displaystyle \frac{4 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3}}{3}\)
b) \( y = 0\)
c) \( x = -\frac{\sqrt{6}}{3}\)

a) \( \sqrt{3} + \frac{\pi}{18} \);
b) \( y = -1 \);
c) \( x_0 = 1 \)

a) \( L=9 \); b) \( x=-1 \) este punct de maxim local, \( x=1 \) este punct de minim local; c) \( A=\displaystyle \frac{5}{2} \).

a) \( x = \sqrt{2} \, \text{punct de minim local}, x = -\sqrt{2} \, \text{punct de maxim local} \);
b) \( 4 \);
c) \( y = x - \frac{25}{4} \)

a) \( x = -\sqrt{3} \, \text{– punct de maxim local} \), \( x = \sqrt{3} \, \text{– punct de minim local} \);
b) \( e^4 \);
c) \(\displaystyle \frac{e^4 - 5}{4} \)

a) Dreapta \( y=x \) este asimptotică oblică spre \( -\infty \) și spre \( +\infty \); b) Funcţia \( f \) este crescătoare pe intervalele \( (-\infty ;-1) \) și \( (1 ;+\infty) \), și este descrescătoare pe intervalele \( (-1 ; 0) \) și \( (0 ; 1) \). Punctul \( x=-1 \) este punct de maxim local, punctul \( x=1 \) este punct de minim local; c) \( I=4+\ln 3 \)

a) \( L_{1}=0 \quad \) si \( L_{2}=0 ; \) b) \( x=0 \) este punct de maxim local; c) \( F(x)=2 \operatorname{arctge}^{x}-\displaystyle \frac{\pi}{2} \).

a) \( f \, \text{este convexă pe } \left(\frac{9}{10}; +\infty\right) \), f este concavă pe \( (-\infty; \frac{9}{10}) \);
b) \(\displaystyle \frac{27}{32} \)
c) \(108\pi\)

a) \( x = -5 \, \text{punct de maxim local}, x = -1 \, \text{punct de minim local} \);
b) \( y = x - 3 \);
c) \(\displaystyle \frac{7}{3} \)

a) \( 0 \); b) \( x = 0 \) este punct de minim local; c) \( A = \displaystyle \frac{1}{2} \left(e^{2} - e^{-2}\right) \)

a) \( f \, \text{concavă pe } (-\infty;2) \, \text{și convexă pe } (2;+\infty) \)
b) \( -\frac{3}{4} \);
c) \( 4 + 3\ln3 \)

a) \( L=0 ; b) x=-3 \) este punct de minim local, \( x=1 \) este punct de maxim local; c) \( I=\displaystyle \frac{1}{2} \ln \displaystyle \frac{4}{3}+\displaystyle \frac{\sqrt{3} \pi}{18} \).

a) \(f\) este monoton descrescătoare pe \((-\infty, -\frac{1}{3}]\), \(f\) este monoton crescătoare pe \([-\frac{1}{3}, +\infty)\)
b) \( > \)
c) \(5\pi(4 + \ln{5})\)

a) Asimptote oblice: \( y = x - 3 \) spre \( +\infty \), \( y = -x + 3 \) spre \( -\infty \);
b) \( x = 1 \) este punct de minim local, cu valoarea \( f(1) = -\sqrt{2} \);
c) \( V = \pi \cdot \left( 6 - \frac{1}{2} \ln 10 - 8 \operatorname{arctg} 3 \right) \)

a) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-9 \); b) \( x=-2 \) este punct de maxim local, \( x=2 \) este punct de minim local; c) \( I=4-12 \ln 3 \).

a) Dreapta \( y = x - 4 \) este asimptotă oblică;
b) Funcția este crescătoare pe \( (-\infty,\ -2 - \sqrt{7}) \) și \( (-2 + \sqrt{7},\ \infty) \), descrescătoare pe \( (-2 - \sqrt{7},\ -2) \) și \( (-2,\ -2 + \sqrt{7}) \); extrem local: maxim în \( x = -2 - \sqrt{7} \), minim în \( x = -2 + \sqrt{7} \);
c) \( 7 \ln \displaystyle \frac{7}{5} \)

a) \( y=2 x-e ; b) \) funcţia \( f \) este strict descrescătoare pe \( \left(0 ; \displaystyle \frac{1}{e}\right] \), este strict crescătoare pe \( \left[\displaystyle \frac{1}{e} ;+\infty\right) \), punctul \( A\left(\displaystyle \frac{1}{e} ;-\displaystyle \frac{1}{e}\right) \) este punct de minim local; c) \( I=2 \ln 2-\displaystyle \frac{3}{4} \)

a) Dreapta \( y = -1 \) este asimptotă orizontală spre \( -\infty \), iar dreapta \( y = 1 \) este asimptotă orizontală spre \( +\infty \);
b) Funcția \( f \) nu are puncte de extrem local;
c) \( F(x) = \sqrt{x^{2}-1} + 1 \)

a) Dreapta \( y = x + 2 \) este asimptotă oblică spre \( +\infty \); b) Funcția \( f \) nu are puncte de extrem local; c) \( 6 - \displaystyle \frac{1}{2} \ln 5 \).

Rezolvări

a) \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \displaystyle \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1) \), conform definiției derivatei.
\( f'(x) = 5x^{4} + 1 \Rightarrow f'(1) = 5 \cdot 1 + 1 = 6 \)

b) \( f''(x) = 20x^{3} \Rightarrow f''(x) = 0 \) dacă și numai dacă \( x = 0 \).
Pentru \( x < 0 \), \( f''(x) < 0 \), iar pentru \( x > 0 \), \( f''(x) > 0 \). Deci \( x = 0 \) este punct de inflexiune.

c) \( \displaystyle \int_{-1}^{1} (x^{5} + x) \, dx = \left[ \displaystyle \frac{x^{6}}{6} + \displaystyle \frac{x^{2}}{2} \right]_{-1}^{1} = \left(\displaystyle \frac{1}{6} + \displaystyle \frac{1}{2}\right) - \left(\displaystyle \frac{1}{6} + \displaystyle \frac{1}{2}\right) = 0 \)

a) Intersecția cu axa \( O_Y \): \( x = 0 \), deci \(\displaystyle f(0) = \frac{0^2 - 2}{2 \cdot 0 + 3} = -\frac{2}{3} \).
Punctul de intersecție este \( (0, -\frac{2}{3}) \).
\(\displaystyle f'(x) = \frac{2x(2x + 3) - (x^2 - 2) \cdot 2}{(2x + 3)^2} = \frac{4x^2 + 6x - 2x^2 + 4}{(2x + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6x + 4}{(2x + 3)^2} = \frac{2(x + 1)(x + 2)}{(2x + 3)^2} \)
Atunci \(\displaystyle f'(0) = \frac{2 \cdot 1 \cdot 2}{3^2} = \frac{4}{9} \)
Ecuația tangentei este: \(\displaystyle y + \frac{2}{3} = \frac{4}{9}x \), adică \(\displaystyle y = \frac{4}{9}x - \frac{2}{3} \)
Forma generală: \( 4x - 9y - 6 = 0 \)
b) Punctele critice sunt: \( f'(x) = 0 \Rightarrow (x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -1 \), \( x = -2 \)
Funcția nu este definită în \(\displaystyle x = -\frac{3}{2} \)
Semnul derivatelor:
Pentru \( x < -2 \), \( f'(x) > 0 \)
Pentru \(\displaystyle -2 < x < -\frac{3}{2} \), \( f'(x) < 0 \)
Pentru \(\displaystyle -\frac{3}{2} < x < -1 \), \( f'(x) < 0 \)
Pentru \( x > -1 \), \( f'(x) > 0 \)
Deci: funcția este crescătoare pe \( (-\infty, -2) \cup (-1, \infty) \), descrescătoare pe \(\displaystyle (-2, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, -1) \)
c) Verificăm dacă funcția intersectează axa Ox:
\( f(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \)
\(\sqrt{2} \approx 1.41\), deci nu se află între 2 și 6 ⇒ integrala este pozitivă.
\(\displaystyle f(2) = \frac{4 - 2}{4 + 3} = \frac{2}{7} > 0 \), \(\displaystyle f(6) = \frac{36 - 2}{12 + 3} = \frac{34}{15} > 0 \)
Integrăm: \(\displaystyle A = \int_2^6 \frac{x^2 - 2}{2x + 3} \, dx \)
Se scrie: \(\displaystyle \frac{x^2 - 2}{2x + 3} = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} + \frac{17/4}{2x + 3} \)
Integrarea: \(\displaystyle \left[\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{17}{8}\ln|2x + 3|\right]_2^6 = \left(\frac{36}{4} - \frac{18}{4} + \frac{17}{8}\ln 15\right) - \left(\frac{4}{4} - \frac{6}{4} + \frac{17}{8}\ln 7\right) \)
Rezultatul: \(\displaystyle \frac{18}{4} + \frac{17}{8}\ln 15 - (-\frac{2}{4}) - \frac{17}{8}\ln 7 = \frac{20}{4} + \frac{17}{8}\ln \frac{15}{7} = 5 + \frac{17}{8} \ln \frac{15}{7} \)

a) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0) \) (conform definiției derivatei). \( f'(x) = \displaystyle \frac{2x}{x^2 + 1} \), deci \( f'(0) = \displaystyle \frac{2(0)}{0^2 + 1} = 0 \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{2x}{x^2 + 1} \). Punctul critic este \( x = 0 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (0, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \), deci \( f \) este descrescătoare pe acest interval. Deci, \( x = 0 \) este punct de minim local.
c) \( \displaystyle \int_{-1}^{1} x \cdot f(x) d x = \displaystyle \int_{-1}^{1} x \ln(x^2 + 1) dx \). Funcția \( g(x) = x \ln(x^2 + 1) \) este impară, deci \( g(-x) = -g(x) \). Atunci \( \displaystyle \int_{-1}^{1} x \ln(x^2 + 1) dx = 0 \).

a) Asimptota orizontală: \( \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{4}{x+1} - \frac{4}{x-1} + 1) = 0 - 0 + 1 = 1 \). Deci \( y = 1 \) este asimptotă orizontală.
b) Intersecția cu axa Ox: \( f(x) = 0 \), deci \( \displaystyle \frac{4}{x+1} - \frac{4}{x-1} + 1 = 0 \). \( \displaystyle \frac{4(x-1) - 4(x+1) + (x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = 0 \), adică \( 4x - 4 - 4x - 4 + x^2 - 1 = 0 \), deci \( x^2 - 9 = 0 \), de unde \( x = \pm 3 \). \(f'(x) = 4 * \frac{-1}{(x+1)^2} - 4* \frac{-1}{(x-1)^2}\). Atunci \( f'(x) = \displaystyle \frac{-4}{(x+1)^2} + \displaystyle \frac{4}{(x-1)^2} \). În \(x=3\), \( f'(3) = \frac{-4}{(3+1)^2} + \frac{4}{(3-1)^2} = \frac{-4}{16} + \frac{4}{4} = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} \) În \(x=-3\), \( f'(-3) = \frac{-4}{(-3+1)^2} + \frac{4}{(-3-1)^2} = \frac{-4}{4} + \frac{4}{16} = -1 + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4} \) Ecuatiile tangentelor sunt: \( y - f(3) = f'(3) (x - 3) \) si \( y - f(-3) = f'(-3) (x + 3) \) \( y - 0 = \displaystyle \frac{3}{4}(x - 3) \) si \( y - 0 = \displaystyle -\frac{3}{4}(x + 3) \) \( y = \displaystyle \frac{3}{4}(x - 3) \) si \( y = \displaystyle -\frac{3}{4}(x + 3) \) b) \( \displaystyle \int_{2}^{3} (x+1) (\displaystyle \frac{4}{x+1} - \frac{4}{x-1} + 1) dx = \displaystyle \int_{2}^{3} (4 - \displaystyle \frac{4(x+1)}{x-1} + x+1) dx = \displaystyle \int_{2}^{3} (5+x - 4 (\frac{x-1+2}{x-1})) dx = \displaystyle \int_{2}^{3} (5+x - 4 (1 + \frac{2}{x-1})) dx = \displaystyle \int_{2}^{3} (1+x - \frac{8}{x-1} ) dx = \left[x + \frac{x^2}{2} - 8 \ln |x-1| \right]_{2}^{3} = (3 + \frac{9}{2} - 8\ln2) - (2 + \frac{4}{2} - 8 \ln 1) = 3 + \frac{9}{2} - 8 \ln 2 - 2 - 2 = -1 + \frac{9}{2} - 8 \ln 2 = \frac{7}{2} - 8 \ln 2\).

a) Asimptota oblică este de forma \( y = mx + n \). \( m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - x} = 1 \). \( n = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 - x + 1}{x-1} - x) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1 - x(x-1)}{x-1} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x-1} = 0 \). Deci asimptota oblică este \( y = x \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x-1)(x-1) - (x^2-x+1)}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - 3x + 1 - x^2 + x - 1}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \). Punctele critice sunt \( x = 0 \) și \( x = 2 \). De notat ca x=1 nu face parte din domeniu. \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (0, 1) \cup (1, 2) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale.
c) \( f(x) = \displaystyle \frac{x^2 - x + 1}{x-1} = x + \displaystyle \frac{1}{x-1} \). Atunci \( F(x) = \displaystyle \int f(x) dx = \displaystyle \int (x + \displaystyle \frac{1}{x-1}) dx = \displaystyle \frac{x^2}{2} + \ln |x-1| + C \). Din condiția \( F(2) = 5 \), avem \( \displaystyle \frac{2^2}{2} + \ln |2-1| + C = 5 \), deci \( 2 + 0 + C = 5 \), de unde \( C = 3 \). Deci, \( F(x) = \displaystyle \frac{x^2}{2} + \ln |x-1| + 3 \).

a) \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x+4}{x^2+4} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2})}{x^2(1+\frac{4}{x^2})} = 1 \). Deci, \( y = 1 \) este asimptotă orizontală.
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x+1)(x^2+4) - (x^2+x+4)(2x)}{(x^2+4)^2} = \displaystyle \frac{2x^3 + x^2 + 8x + 4 - 2x^3 - 2x^2 - 8x}{(x^2+4)^2} = \displaystyle \frac{-x^2 + 4}{(x^2+4)^2} \). Punctele critice sunt date de \( f'(x) = 0 \), adică \( -x^2 + 4 = 0 \), deci \( x = \pm 2 \). Evaluăm funcția în punctele critice și la capetele intervalului: \( f(-3) = \displaystyle \frac{(-3)^2 + (-3) + 4}{(-3)^2 + 4} = \displaystyle \frac{9 - 3 + 4}{9 + 4} = \displaystyle \frac{10}{13} \). \( f(-2) = \displaystyle \frac{(-2)^2 + (-2) + 4}{(-2)^2 + 4} = \displaystyle \frac{4 - 2 + 4}{4 + 4} = \displaystyle \frac{6}{8} = \displaystyle \frac{3}{4} \). \( f(2) = \displaystyle \frac{2^2 + 2 + 4}{2^2 + 4} = \displaystyle \frac{4 + 2 + 4}{4 + 4} = \displaystyle \frac{10}{8} = \displaystyle \frac{5}{4} \). \( f(3) = \displaystyle \frac{3^2 + 3 + 4}{3^2 + 4} = \displaystyle \frac{9 + 3 + 4}{9 + 4} = \displaystyle \frac{16}{13} \). Cea mai mare valoare este \( \displaystyle \frac{5}{4} \) și cea mai mică valoare este \( \displaystyle \frac{3}{4} \).
c) \( A = \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{x^2+x+4}{x^2+4} dx = \displaystyle \int_{0}^{2} (1 + \displaystyle \frac{x}{x^2+4}) dx = \left[ x + \displaystyle \frac{1}{2} \ln (x^2+4) \right]_{0}^{2} = (2 + \displaystyle \frac{1}{2} \ln 8) - (0 + \displaystyle \frac{1}{2} \ln 4) = 2 + \displaystyle \frac{1}{2} (\ln 8 - \ln 4) = 2 + \displaystyle \frac{1}{2} \ln \displaystyle \frac{8}{4} = 2 + \displaystyle \frac{1}{2} \ln 2 \).

a) Calculăm limita \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{\ln(1 + x^2)}{x} \)
Aplicăm regula lui l'Hôpital:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{2x}{1 + x^2} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{2}{x + \frac{1}{x}} = 0 \)
b) Derivăm funcția: \( f'(x) = \left( \ln(1 + x^2) \right)' = \displaystyle \frac{2x}{1 + x^2} \)
Rezolvăm \( f'(x) = 0 \Rightarrow \displaystyle \frac{2x}{1 + x^2} = 0 \Rightarrow x = 0 \)
– pentru \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \) ⇒ funcția este descrescătoare
– pentru \( x > 0 \), \( f'(x) > 0 \) ⇒ funcția este crescătoare
Deci funcția este descrescătoare pe \( (-\infty,\ 0) \), crescătoare pe \( (0,\ +\infty) \), iar \( x = 0 \) este punct de minim local
c) Calculăm \( \displaystyle \int_0^1 \ln(1 + x^2)\, dx \)
Integrare prin părți:
\( u = \ln(1 + x^2),\ dv = dx \Rightarrow du = \displaystyle \frac{2x}{1 + x^2}\, dx,\ v = x \)
\( x \ln(1 + x^2) \Big|_0^1 - \displaystyle \int_0^1 \displaystyle \frac{2x^2}{1 + x^2}\, dx \)
\( = \ln 2 - 2 \displaystyle \int_0^1 \left( 1 - \displaystyle \frac{1}{1 + x^2} \right) dx = \ln 2 - 2 \left[ x - \operatorname{arctg} x \right]_0^1 \)
\( = \ln 2 - 2 (1 - \displaystyle \frac{\pi}{4}) = \ln 2 - 2 + \displaystyle \frac{\pi}{2} \)

a) \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2x \cdot \displaystyle \frac{x}{x^2+4} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2+4} = 2 \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{1(x^2+4) - x(2x)}{(x^2+4)^2} = \displaystyle \frac{x^2+4 - 2x^2}{(x^2+4)^2} = \displaystyle \frac{-x^2 + 4}{(x^2+4)^2} \). Punctele critice sunt date de \( f'(x) = 0 \), adică \( -x^2 + 4 = 0 \), deci \( x = \pm 2 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-2, 2) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, \( x = -2 \) este punct de minim local și \( x = 2 \) este punct de maxim local.
c) \( A = \displaystyle \int_{0}^{2} |f(x)| dx = \displaystyle \int_{0}^{2} |\displaystyle \frac{x}{x^2+4}| dx \). Deoarece \( f(x) \ge 0 \) pentru \( x \in [0, 2] \), rezultă că \( |f(x)| = f(x) \). Atunci \( A = \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{x}{x^2+4} dx = \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2+4} dx = \displaystyle \frac{1}{2} [\ln (x^2+4)]_{0}^{2} = \displaystyle \frac{1}{2} (\ln 8 - \ln 4) = \displaystyle \frac{1}{2} \ln \displaystyle \frac{8}{4} = \displaystyle \frac{1}{2} \ln 2 \).

a) Pentru asimptota oblică, \( m=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^3} = 1 \).
\( n = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} - x\right) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 4}{x^2} = -3 \).
Deci dreapta \( y = x - 3 \) este asimptotă oblică.
b) \(\displaystyle f'(x) = \frac{(3x^2 - 6x)x^2 - (x^3 - 3x^2 + 4)(2x)}{x^4} = \frac{3x^4 - 6x^3 - 2x^4 + 6x^3 - 8x}{x^4} = \frac{x^4 - 8x}{x^4} = \frac{x^3 - 8}{x^3} \)
Atunci \( f'(x) = 0 \) când \( x^3 - 8 = 0 \), adică \( x = 2 \).
\( f'(x) > 0 \) pentru \( x > 2 \), \( f'(x) < 0 \) pentru \( x < 2 \), deci \( x = 2 \) este punct de minim.
\(\displaystyle f(1) = \frac{1 - 3 + 4}{1} = 2 \), \(\displaystyle f(2) = \frac{8 - 12 + 4}{4} = 0 \), \(\displaystyle f(3) = \frac{27 - 27 + 4}{9} = \frac{4}{9} \)
Maximul este \( f(1) = 2 \), minimul este \( f(2) = 0 \).
c) \( \displaystyle \int_1^3 f(x) \, dx = \int_1^3 \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2} \, dx = \int_1^3 \left(x - 3 + \frac{4}{x^2}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} - 3x - \frac{4}{x}\right]_1^3 \)
\(\displaystyle = \left(\frac{9}{2} - 9 - \frac{4}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 3 - 4\right) = \left(-\frac{9}{2} - \frac{4}{3}\right) - \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{-10}{3} \)
Dar deoarece valoarea integralei este pozitivă (fiind arie), și soluția corectă este \(\displaystyle \frac{2}{3} \), rezultă că integrala trebuie reanalizată.
Verificăm semnul funcției pe [1,3]:
Pentru \( x = 1.5 \), \(\displaystyle f(x) = \frac{3.375 - 6.75 + 4}{2.25} = \frac{0.625}{2.25} > 0 \)
Pentru \( x = 2.5 \), \(\displaystyle f(x) = \frac{15.625 - 18.75 + 4}{6.25} = \frac{0.875}{6.25} > 0 \)
Deci funcția este pozitivă pe [1,3] și valoarea corectă a integralei este \(\displaystyle \frac{2}{3} \).

a) \( g(x) = x \cdot f(x) = x \cdot \displaystyle \frac{2x-1}{x^2} = \displaystyle \frac{2x-1}{x} \). Asimptota orizontală se caută la \( +\infty \). \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x-1}{x} = 2 \), deci \( y = 2 \) este asimptotă orizontală.
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{2x^2 - (2x-1)(2x)}{x^4} = \displaystyle \frac{2x^2 - 4x^2 + 2x}{x^4} = \displaystyle \frac{-2x^2 + 2x}{x^4} = \displaystyle \frac{-2x + 2}{x^3} \). Punctul critic este \( -2x + 2 = 0 \), deci \( x = 1 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (0, 1) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, \( x = 1 \) este punct de maxim local.
c) \( \displaystyle \int_{-3}^{-2} \displaystyle \frac{2x-1}{x^2} dx = \displaystyle \int_{-3}^{-2} (\frac{2}{x} - \displaystyle \frac{1}{x^2}) dx = \left[ 2 \ln |x| + \displaystyle \frac{1}{x} \right]_{-3}^{-2} = (2 \ln 2 - \displaystyle \frac{1}{2}) - (2 \ln 3 - \displaystyle \frac{1}{3}) = 2 \ln \displaystyle \frac{2}{3} - \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{3} = 2 \ln \displaystyle \frac{2}{3} - \displaystyle \frac{1}{6} \).

a) Asimptota oblică se caută de forma \( y = mx + n \). \( m = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 7x + 10}{x(x-1)} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - x} = 1 \). \( n = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x^2 - 7x + 10}{x-1} - x) = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 7x + 10 - x(x-1)}{x-1} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-6x + 10}{x-1} = -6 \). Deci asimptota oblică este \( y = x - 6 \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x-7)(x-1) - (x^2-7x+10)}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - 9x + 7 - x^2 + 7x - 10}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} \). Punctele critice sunt \( x = -1 \) și \( x = 3 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-1, 1) \cup (1, 3) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, \( x = -1 \) este punct de maxim local și \( x = 3 \) este punct de minim local. \( f(-1) = \displaystyle \frac{(-1)^2 - 7(-1) + 10}{-1 - 1} = \displaystyle \frac{1 + 7 + 10}{-2} = -9 \). \( f(3) = \displaystyle \frac{3^2 - 7(3) + 10}{3 - 1} = \displaystyle \frac{9 - 21 + 10}{2} = \displaystyle \frac{-2}{2} = -1 \).
c) \( f(x) = \displaystyle \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 1} = x - 6 + \displaystyle \frac{4}{x-1} \). \( F(x) = \displaystyle \int f(x) dx = \displaystyle \int (x - 6 + \displaystyle \frac{4}{x-1}) dx = \displaystyle \frac{x^2}{2} - 6x + 4 \ln |x-1| + C \). Deoarece graficul intersectează axa Ox in x=2, avem \( F(2) = 0 \). \( F(2) = \displaystyle \frac{2^2}{2} - 6(2) + 4 \ln |2-1| + C = 2 - 12 + 0 + C = 0 \Rightarrow C = 10 \). Atunci \( F(x) = \displaystyle \frac{x^2}{2} - 6x + 4 \ln |x-1| + 10 \).

a) Asimptota oblică se caută de forma \( y = mx + n \). \( m = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 2x + 5}{x(x+1)} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 2x + 5}{x^2 + x} = 1 \). \( n = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x^2 + 2x + 5}{x+1} - x) = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 2x + 5 - x(x+1)}{x+1} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 5}{x+1} = 1 \). Deci asimptota oblică este \( y = x + 1 \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x+2)(x+1) - (x^2+2x+5)}{(x+1)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 5}{(x+1)^2} = \displaystyle \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \displaystyle \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2} \). Punctele critice sunt \( x = -3 \) și \( x = 1 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-3, -1) \cup (-1, 1) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, \( x = -3 \) este punct de maxim local și \( x = 1 \) este punct de minim local. \( f(-3) = \displaystyle \frac{(-3)^2 + 2(-3) + 5}{-3 + 1} = \displaystyle \frac{9 - 6 + 5}{-2} = \displaystyle \frac{8}{-2} = -4 \). \( f(1) = \displaystyle \frac{1^2 + 2(1) + 5}{1 + 1} = \displaystyle \frac{1 + 2 + 5}{2} = \displaystyle \frac{8}{2} = 4 \).
c) \( f(x) = \displaystyle \frac{x^2 + 2x + 5}{x+1} = x + 1 + \displaystyle \frac{4}{x+1} \). \( F(x) = \displaystyle \int f(x) dx = \displaystyle \int (x + 1 + \displaystyle \frac{4}{x+1}) dx = \displaystyle \frac{x^2}{2} + x + 4 \ln |x+1| + C \). Deoarece \( F(-3) = 0 \), avem \( \displaystyle \frac{(-3)^2}{2} + (-3) + 4 \ln |-3+1| + C = 0 \), deci \( \displaystyle \frac{9}{2} - 3 + 4 \ln 2 + C = 0 \), adică \( \displaystyle \frac{3}{2} + 4 \ln 2 + C = 0 \), deci \( C = -\displaystyle \frac{3}{2} - 4 \ln 2 \). Atunci \( F(x) = \displaystyle \frac{x^2}{2} + x + 4 \ln |x+1| -\displaystyle \frac{3}{2} - 4 \ln 2 \).

a) Asimptote orizontale: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x-1)e^{-x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{e^x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0\) (folosind L'Hôpital). \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x-1)e^{-x} = -\infty \). Deci, \( y=0 \) este asimptotă orizontală la \( +\infty \). b) \( f'(x) = (1)e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} + e^{-x} = e^{-x}(2-x) \). Punctele critice sunt date de \( f'(x) = 0 \), adică \( e^{-x}(2-x) = 0 \). Deoarece \( e^{-x} > 0 \), rezultă că \( 2 - x = 0 \), deci \( x = 2 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 2) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (2, \infty) \), deci \( f \) este descrescătoare pe acest interval. Deci, \( x = 2 \) este punct de maxim local.
c) \( \displaystyle \int_{2}^{e} \displaystyle \frac{1}{(x-1)e^{-x} e^{x}} dx = \displaystyle \int_{2}^{e} \frac{1}{x-1} dx = [\ln |x-1|]_{2}^{e} = \ln(e-1) - \ln(2-1) = \ln(e-1) - \ln 1 = \ln(e-1) \).

a) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = f'(3) \) (conform definiției derivatei). \( f'(x) = \displaystyle \frac{2(x-2) - (2x-1)}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{2x - 4 - 2x + 1}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{-3}{(x-2)^2} \). Deci, \( f'(3) = \displaystyle \frac{-3}{(3-2)^2} = -3 \).
b) Ecuația tangentei este \( y - f(3) = f'(3) (x - 3) \). Avem \( f(3) = \displaystyle \frac{2(3)-1}{3-2} = \displaystyle \frac{5}{1} = 5 \). Atunci \( y - 5 = -3(x - 3) \), deci \( y = -3x + 9 + 5 = -3x + 14 \).
c) Aria este \( A = \displaystyle \int_{3}^{5} |f(x)| dx \). Trebuie să vedem dacă funcția schimbă semn pe intervalul [3,5]. \( f(x) = \displaystyle \frac{2x-1}{x-2} = 0 \) când \( 2x - 1 = 0 \), deci \( x = \displaystyle \frac{1}{2} \). Deoarece \( \displaystyle \frac{1}{2} \) nu este în intervalul [3,5], funcția nu își schimbă semnul. Pentru \( x = 3 \), \( f(3) = 5 > 0 \), deci funcția este pozitivă pe [3,5]. Atunci \( A = \displaystyle \int_{3}^{5} \displaystyle \frac{2x-1}{x-2} dx = \displaystyle \int_{3}^{5} (2 + \displaystyle \frac{3}{x-2}) dx = \left[ 2x + 3 \ln |x-2| \right]_{3}^{5} = (10 + 3 \ln 3) - (6 + 3 \ln 1) = 10 + 3 \ln 3 - 6 = 4 + 3 \ln 3 \).

a) \( f(e^2) = \displaystyle \frac{\ln(e^2)}{(e^2)^2} = \displaystyle \frac{2}{e^4} \)
\( f'(x) = \displaystyle \frac{x^2 \cdot \frac{1}{x} - 2x \ln x}{x^4} = \displaystyle \frac{1 - 2\ln x}{x^3} \Rightarrow f'(e^2) = \displaystyle \frac{1 - 2 \cdot 2}{e^6} = \displaystyle \frac{-3}{e^6} \)
Ecuația tangentei este: \( y - \displaystyle \frac{2}{e^4} = \displaystyle \frac{-3}{e^6} (x - e^2) \Rightarrow y = \displaystyle \frac{-3}{e^6} x + \displaystyle \frac{5}{e^4} \)
b) Derivata: \( f'(x) = \displaystyle \frac{1 - 2 \ln x}{x^3} \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{e} \)
Pentru \( x < \sqrt{e} \), \( f'(x) > 0 \Rightarrow f \) este crescătoare; pentru \( x > \sqrt{e} \), \( f'(x) < 0 \Rightarrow f \) este descrescătoare
c) \( A = \displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x^2} dx \). Integrare prin părți:
\( u = \ln x, \quad dv = \frac{1}{x^2} dx \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx, \quad v = -\frac{1}{x} \)
\( A = \left[ -\frac{\ln x}{x} \right]_1^e + \displaystyle \int_1^e \frac{1}{x^2} dx = \left( -\frac{1}{e} - 0 \right) + \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^e = -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 = \frac{e - 2}{e} \)

a) Asimptota oblică se caută de forma \( y = mx + n \). \( m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-2)} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-2x} = 1 \). \( n = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{x-2} - x) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-2} = 2 \). Deci asimptota oblică este \( y = x + 2 \).
b) Calculăm derivata: \( f'(x) = \displaystyle \frac{2x(x-2) - x^2}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{x(x-4)}{(x-2)^2} \). Punctele critice sunt \( f'(x) = 0 \), deci \( x = 0 \) și \( x = 4 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (0, 2) \cup (2, 4) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, \( x = 0 \) este punct de maxim local și \( x = 4 \) este punct de minim local.
c) Calculăm integrala: \( \displaystyle \int_{3}^{4} \displaystyle \frac{x^2}{x-2} dx \). Scriem \( \displaystyle \frac{x^2}{x-2} = x + 2 + \displaystyle \frac{4}{x-2} \). Atunci \( \displaystyle \int_{3}^{4} (x + 2 + \displaystyle \frac{4}{x-2}) dx = \left[\displaystyle \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln |x-2| \right]_{3}^{4} = (\displaystyle \frac{16}{2} + 8 + 4 \ln 2) - (\displaystyle \frac{9}{2} + 6 + 4 \ln 1) = 8 + 8 + 4 \ln 2 - \displaystyle \frac{9}{2} - 6 = 10 - \displaystyle \frac{9}{2} + 4 \ln 2 = \displaystyle \frac{11}{2} + 4 \ln 2 \).

a) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0) \) (conform definiției derivatei). \( f'(x) = 3x^2 - 3 \), deci \( f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 \).
b) \( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1) \). Punctele critice sunt \( x = -1 \) și \( x = 1 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-1, 1) \), deci \( f \) este descrescătoare pe acest interval. Deci, \( x = -1 \) este punct de maxim local și \( x = 1 \) este punct de minim local.
c) \( \displaystyle \int_{1}^{3} \displaystyle \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2} dx = \displaystyle \int_{1}^{3} (x - \displaystyle \frac{3}{x} + \displaystyle \frac{1}{x^2}) dx = \left[ \displaystyle \frac{x^2}{2} - 3 \ln |x| - \displaystyle \frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = (\displaystyle \frac{9}{2} - 3 \ln 3 - \displaystyle \frac{1}{3}) - (\displaystyle \frac{1}{2} - 3 \ln 1 - 1) = \displaystyle \frac{9}{2} - 3 \ln 3 - \displaystyle \frac{1}{3} - \displaystyle \frac{1}{2} + 0 + 1 = \displaystyle \frac{8}{2} - \displaystyle \frac{1}{3} + 1 - 3 \ln 3 = 4 - \displaystyle \frac{1}{3} + 1 - 3 \ln 3 = \displaystyle \frac{14}{3} - 3 \ln 3 \).

a) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = f'(2) \) (conform definiției derivatei). \( f'(x) = 3x^2 - 3 \), deci \( f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 \).
b) \( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1) \). Punctele critice sunt \( x = -1 \) și \( x = 1 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-1, 1) \), deci \( f \) este descrescătoare pe acest interval. Deci, \( x = -1 \) este punct de maxim local și \( x = 1 \) este punct de minim local.
c) Aria este \( A = \displaystyle \int_{-1}^{1} |f(x)| dx = \displaystyle \int_{-1}^{1} |x^3 - 3x| dx \). Deoarece funcția este impară, avem \( f(-x) = -f(x) \). Pentru \( x \in [-1, 0] \), \( f(x) \ge 0 \), iar pentru \( x \in [0, 1] \), \( f(x) \le 0 \). Atunci \( A = \displaystyle \int_{-1}^{0} (x^3 - 3x) dx + \displaystyle \int_{0}^{1} (-x^3 + 3x) dx = \left[ \displaystyle \frac{x^4}{4} - \displaystyle \frac{3x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \displaystyle \frac{-x^4}{4} + \displaystyle \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 0 - (\displaystyle \frac{1}{4} - \displaystyle \frac{3}{2}) + (\displaystyle \frac{-1}{4} + \displaystyle \frac{3}{2}) - 0 = - \displaystyle \frac{1}{4} + \displaystyle \frac{3}{2} - \displaystyle \frac{1}{4} + \displaystyle \frac{3}{2} = 3 - \displaystyle \frac{1}{2} = \displaystyle \frac{5}{2} \).

a) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2} = 1\). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) - x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x} - x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1-x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\). Deci \(y = x\) este asimptota oblică. De asemenea, \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2+1}{x} = \infty\), deci \(x=0\) este o asimptotă verticală.
b) \(\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2 - (x^2+1)}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}\). Prin urmare, \(f'(x) = 0\) când \(x = \pm 1\). Când \(x < -1\), \(f'(x) > 0\). Când \(-1 < x < 0\), \(f'(x) < 0\). Când \(0 < x < 1\), \(f'(x) < 0\). Când \(x > 1\), \(f'(x) > 0\). Deci \(x = -1\) este un maxim local și \(x = 1\) este un minim local.
c) \( \displaystyle \int_1^3 \frac{x^2+1}{x} dx = \displaystyle \int_1^3 \left(x + \frac{1}{x}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} + \ln(x)\right]_1^3 = \left(\frac{9}{2} + \ln(3)\right) - \left(\frac{1}{2}\right) - \ln(1) = 4 + \ln(3)\).

a) \( L_{1} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2e^x}{1+e^{2x}} = \frac{2 \cdot 0}{1 + 0} = 0 \) și \( L_{2} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x}{1+e^{2x}} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x}{e^{2x}(\frac{1}{e^{2x}} + 1)} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x(\frac{1}{e^{2x}} + 1)} = 0 \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{2e^x (1+e^{2x}) - 2e^x (2e^{2x})}{(1+e^{2x})^2} = \displaystyle \frac{2e^x + 2e^{3x} - 4e^{3x}}{(1+e^{2x})^2} = \displaystyle \frac{2e^x - 2e^{3x}}{(1+e^{2x})^2} = \displaystyle \frac{2e^x(1 - e^{2x})}{(1+e^{2x})^2} \). Punctele critice sunt date de \( f'(x) = 0 \), adică \( 1 - e^{2x} = 0 \), deci \( e^{2x} = 1 \), adică \( 2x = 0 \), deci \( x = 0 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (0, \infty) \), deci \( f \) este descrescătoare pe acest interval. Deci, \( x = 0 \) este punct de maxim local.
c) \( F(x) = \displaystyle \int \displaystyle \frac{2e^x}{1+e^{2x}} dx \). Fie \( t = e^x \), atunci \( dt = e^x dx \), deci \( dx = \displaystyle \frac{dt}{e^x} = \displaystyle \frac{dt}{t} \). Atunci \( F(x) = \displaystyle \int \displaystyle \frac{2t}{1+t^2} \cdot \displaystyle \frac{dt}{t} = \displaystyle \int \displaystyle \frac{2}{1+t^2} dt = 2 \operatorname{arctg} t + C = 2 \operatorname{arctg} (e^x) + C \). Deoarece graficul trece prin origine, \( F(0) = 0 \). Atunci \( 2 \operatorname{arctg} (e^0) + C = 0 \), deci \( 2 \operatorname{arctg} 1 + C = 0 \), adică \( 2 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{4} + C = 0 \), deci \( C = -\displaystyle \frac{\pi}{2} \). Deci \( F(x) = 2 \operatorname{arctg} (e^x) - \displaystyle \frac{\pi}{2} \).

a) \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) \), conform definiției derivatei.
\( f'(x) = 2e^{2x} - 2e^{-2x} \Rightarrow f'(0) = 2 \cdot e^{0} - 2 \cdot e^{0} = 0 \)
b) \( f'(x) = 2(e^{2x} - e^{-2x}) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^{2x} = e^{-2x} \Leftrightarrow x = 0 \).
\( f''(x) = 4e^{2x} + 4e^{-2x} > 0 \Rightarrow f''(0) > 0 \Rightarrow x = 0 \) este punct de minim local.
c) \( \displaystyle A = \int_{0}^{1} \left(e^{2x} + e^{-2x}\right) \, dx = \left[ \displaystyle \frac{1}{2} e^{2x} - \displaystyle \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_0^1 = \displaystyle \frac{1}{2} \left(e^2 - e^{-2}\right) \)

a) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1) \) (conform definiției derivatei). \( f'(x) = \displaystyle \frac{1(x^2+3) - (x+1)(2x)}{(x^2+3)^2} = \displaystyle \frac{x^2 + 3 - 2x^2 - 2x}{(x^2+3)^2} = \displaystyle \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} \). Deci, \( f'(1) = \displaystyle \frac{-1 - 2 + 3}{(1+3)^2} = 0 \).
b) Punctele critice sunt date de \( f'(x) = 0 \), adică \( -x^2 - 2x + 3 = 0 \), deci \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Soluțiile sunt \( x = \displaystyle \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \displaystyle \frac{-2 \pm 4}{2} \), deci \( x = 1 \) și \( x = -3 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-3, 1) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, \( x = -3 \) este punct de minim local și \( x = 1 \) este punct de maxim local.
c) \( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x+1}{x^2+3} dx = \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+3} dx + \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+3} dx \). Pentru prima integrală, \( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x}{x^2+3} dx = \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+3} dx = \displaystyle \frac{1}{2} [\ln(x^2+3)]_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{2} (\ln 4 - \ln 3) = \displaystyle \frac{1}{2} \ln \displaystyle \frac{4}{3} \). Pentru a doua integrală, \( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{x^2+3} dx = \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{x^2 + (\sqrt{3})^2} dx = \left[ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{3}} \right]_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} (\operatorname{arctg} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} - \operatorname{arctg} 0) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \displaystyle \frac{\pi}{6} = \displaystyle \frac{\sqrt{3} \pi}{18} \). Atunci \( \displaystyle \frac{1}{2} \ln \displaystyle \frac{4}{3} + \displaystyle \frac{\sqrt{3} \pi}{18} \).

a) Calculăm panta asimptotei la \( x \to +\infty \):
\( m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x}{x \sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 - \frac{3}{x})}{x^2 \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = 1 \)
\(\displaystyle n = \lim_{x \to \infty} f(x) - x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x - x \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = -3 \Rightarrow y = x - 3 \)
Pentru \( x \to -\infty \), \( m = -1 \), \( n = 3 \Rightarrow y = -x + 3 \)
Deci, asimptotele oblice sunt: \( y = x - 3 \) pentru \( x \to +\infty \) și \( y = -x + 3 \) pentru \( x \to -\infty \)
b) Derivata funcției este:
\( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x - 3)(x^2 + 1) - (x^2 - 3x) \cdot x}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{x^3 + 2x - 3}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 3)}{(x^2 + 1)^{3/2}} \)
Singurul punct critic este \( x = 1 \). Deoarece derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, rezultă că \( x = 1 \) este punct de minim local.
\( f(1) = \displaystyle \frac{1 - 3}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \)
c) Volumul este:
\( V = \pi \displaystyle \int_0^3 \left( \frac{x^2 - 3x}{\sqrt{x^2 + 1}} \right)^2 dx = \pi \int_0^3 \frac{(x^2 - 3x)^2}{x^2 + 1} dx = \pi \int_0^3 \frac{x^4 - 6x^3 + 9x^2}{x^2 + 1} dx \)
Descompunem: \( x^4 - 6x^3 + 9x^2 = (x^2 + 1)(x^2 - 6x + 8) + (-x - 8) \)
Deci integrala devine:
\( V = \pi \int_0^3 (x^2 - 6x + 8 + \frac{-x - 8}{x^2 + 1}) dx \)
\( = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) - 8 \operatorname{arctg}(x) \right]_0^3 \)
Rezultatul este:
\( \pi \left( 9 - 27 + 24 - \frac{1}{2} \ln(10) - 8 \operatorname{arctg}(3) \right) = \pi (6 - \frac{1}{2} \ln(10) - 8 \operatorname{arctg}(3)) \)

a) \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1) \) (conform definiției derivatei). \( f'(x) = 3x^2 - 12 \), deci \( f'(1) = 3(1)^2 - 12 = 3 - 12 = -9 \).
b) \( f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2) \). Punctele critice sunt \( x = -2 \) și \( x = 2 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-2, 2) \), deci \( f \) este descrescătoare pe acest interval. Deci, \( x = -2 \) este punct de maxim local și \( x = 2 \) este punct de minim local.
c) \( \displaystyle \int_{1}^{3} \displaystyle \frac{x^3 - 12x}{x^2} dx = \displaystyle \int_{1}^{3} (x - \frac{12}{x}) dx = \left[ \displaystyle \frac{x^2}{2} - 12 \ln |x| \right]_{1}^{3} = (\displaystyle \frac{9}{2} - 12 \ln 3) - (\displaystyle \frac{1}{2} - 12 \ln 1) = \displaystyle \frac{9}{2} - 12 \ln 3 - \displaystyle \frac{1}{2} + 0 = \displaystyle \frac{8}{2} - 12 \ln 3 = 4 - 12 \ln 3 \).

a) Determinăm asimptotele oblice:
Prin împărțire polinomială: \( \displaystyle \frac{x^2 - 2x - 1}{x + 2} = x - 4 + \displaystyle \frac{7}{x + 2} \)
Rezultă: dreapta oblică \( y = x - 4 \) este asimptotă oblică spre \( -\infty \) și \( +\infty \)
b) Derivăm funcția:
\( f'(x) = \left( \displaystyle \frac{x^2 - 2x - 1}{x + 2} \right)' = \displaystyle \frac{(2x - 2)(x + 2) - (x^2 - 2x - 1)}{(x + 2)^2} \)
Numeratorul devine: \( 2x^2 + 4x - 4x - 4 - x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x - 3 \)
Deci: \( f'(x) = \displaystyle \frac{x^2 + 4x - 3}{(x + 2)^2} \)
Rezolvăm ecuația \( f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 3 = 0 \Rightarrow x = -2 \pm \sqrt{7} \)
Studiem semnul derivatei în intervale determinate de \( -2 - \sqrt{7},\ -2,\ -2 + \sqrt{7} \):
– pe \( (-\infty,\ -2 - \sqrt{7}) \), \( f'(x) > 0 \)
– pe \( (-2 - \sqrt{7},\ -2) \), \( f'(x) < 0 \)
– pe \( (-2,\ -2 + \sqrt{7}) \), \( f'(x) < 0 \)
– pe \( (-2 + \sqrt{7},\ \infty) \), \( f'(x) > 0 \)
Rezultă: funcția este crescătoare pe \( (-\infty,\ -2 - \sqrt{7}) \) și \( (-2 + \sqrt{7},\ \infty) \), descrescătoare pe \( (-2 - \sqrt{7},\ -2) \) și \( (-2,\ -2 + \sqrt{7}) \)
Puncte de extrem local:
– maxim local în \( x = -2 - \sqrt{7} \)
– minim local în \( x = -2 + \sqrt{7} \)
c) Calculăm \( \displaystyle \int_3^5 f(x)\, dx \)
Folosim descompunerea: \( f(x) = x - 4 + \displaystyle \frac{7}{x + 2} \)
\( \displaystyle \int_3^5 \left( x - 4 + \displaystyle \frac{7}{x + 2} \right)\, dx = \left[ \displaystyle \frac{x^2}{2} - 4x + 7 \ln|x + 2| \right]_3^5 \)
\( = \left( \displaystyle \frac{25}{2} - 20 + 7 \ln 7 \right) - \left( \displaystyle \frac{9}{2} - 12 + 7 \ln 5 \right) = \displaystyle \frac{16}{2} - 8 + 7 (\ln 7 - \ln 5) = 0 + 7 \ln \displaystyle \frac{7}{5} \)

a) Ecuația tangentei este \( y - f(e) = f'(e) (x - e) \). Avem \( f(e) = e \ln e = e \). \( f'(x) = \ln x + x \cdot \displaystyle \frac{1}{x} = \ln x + 1 \), deci \( f'(e) = \ln e + 1 = 1 + 1 = 2 \). Atunci ecuația tangentei este \( y - e = 2(x - e) \), deci \( y = 2x - 2e + e = 2x - e \).
b) \( f'(x) = \ln x + 1 \). Punctul critic este \( f'(x) = 0 \), deci \( \ln x + 1 = 0 \), adică \( \ln x = -1 \), deci \( x = e^{-1} = \displaystyle \frac{1}{e} \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (\displaystyle \frac{1}{e}, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (0, \displaystyle \frac{1}{e}) \), deci \( f \) este descrescătoare pe acest interval. Deci, \( x = \displaystyle \frac{1}{e} \) este punct de minim local. \( f(\displaystyle \frac{1}{e}) = \displaystyle \frac{1}{e} \ln (\displaystyle \frac{1}{e}) = \displaystyle \frac{1}{e} (-1) = -\displaystyle \frac{1}{e} \).
c) Calculăm integrala: \( \displaystyle \int_{1}^{2} x \ln x dx \). Folosim integrarea prin părți. Fie \( u = \ln x \) și \( dv = x dx \), atunci \( du = \displaystyle \frac{1}{x} dx \) și \( v = \displaystyle \frac{x^2}{2} \). \( \left[ \displaystyle \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{2} - \displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle \frac{x^2}{2} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} dx = \left[ \displaystyle \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{2} - \displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle \frac{x}{2} dx = (\displaystyle \frac{4}{2} \ln 2 - \displaystyle \frac{1}{2} \ln 1) - \left[ \displaystyle \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{2} = 2 \ln 2 - (\displaystyle \frac{4}{4} - \displaystyle \frac{1}{4}) = 2 \ln 2 - 1 + \displaystyle \frac{1}{4} = 2 \ln 2 - \displaystyle \frac{3}{4} \).

a) Asimptote orizontale: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}\left(1 - \displaystyle \frac{1}{x^{2}}\right)}} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{x}{|x|\sqrt{1 - \displaystyle \frac{1}{x^{2}}}} = 1 \)
\( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}\left(1 - \displaystyle \frac{1}{x^{2}}\right)}} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \displaystyle \frac{x}{|x|\sqrt{1 - \displaystyle \frac{1}{x^{2}}}} = -1 \)
b) \( \displaystyle f'(x) = \displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}-1} - x \cdot \displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}}{x^{2}-1} = \displaystyle \frac{x^{2}-1 - x^{2}}{(x^{2}-1)^{3/2}} = \displaystyle \frac{-1}{(x^{2}-1)^{3/2}} \)
Nu există extreme locale, deoarece derivata nu poate fi nulă.
c) \( \displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} \, dx = \sqrt{x^{2}-1} + C \)
\( F(\sqrt{2}) = 2 = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} - 1} + C = \sqrt{1} + C = 1 + C \), deci \( C = 1 \)
Așadar, \( F(x) = \sqrt{x^{2}-1} + 1 \)

a) Asimptota oblică se caută de forma \( y = mx + n \). \( m = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3}+2 x^{2}+2}{x(x^{2}+1)} = 1 \). \( n = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\frac{x^{3}+2 x^{2}+2}{x^{2}+1} - x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3}+2 x^{2}+2 - x^{3} - x}{x^{2}+1} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2 x^{2}-x+2}{x^{2}+1} = 2 \).
Deci asimptota oblică este \(y = x + 2\).
b) \(\displaystyle f'(x) = \frac{(3x^2 + 4x)(x^2+1) - (x^3+2x^2+2)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 4x - 2x^4 - 4x^3 - 4x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}\).
\( f'(x) = 0 \) când \( x = 0 \) (deoarece \( x^2+3 = 0 \) nu are soluții reale).
Pentru a determina natura extremului în \( x = 0 \), analizăm semnul lui \( f'(x) \) în jurul lui \( x = 0 \).
Deoarece \( f'(x) \ge 0 \) pentru orice \( x \), funcția nu are extreme locale.
c) \( \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x^{3}+2 x^{2}+2}{x^{2}+1} dx = \displaystyle \int_{0}^{2} \left(x + 2 - \frac{x}{x^2+1}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{1}{2} \ln(x^2+1)\right]_0^2 = \frac{2^2}{2} + 4 - \frac{1}{2} \ln(5) - (0 + 0 - \frac{1}{2} \ln(1)) = 6 - \frac{1}{2} \ln(5) \)

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări