Primitiva Funcției

Primitiva unei funcții $f(x)$ este o funcție $F(x)$ astfel încât derivata lui $F(x)$ să fie egală cu $f(x)$. Cu alte cuvinte:

\[ F'(x) = f(x) \]

Procesul de determinare a primitivei unei funcții se numește integrare, iar simbolul utilizat este $\displaystyle \int$.

1. Formula generală pentru primitivă

Orice funcție continuă $f(x)$ are o infinitate de primitive, de forma:

\[ F(x) = \int f(x) \, dx + C, \]

unde $C$ este constanta de integrare.

2. Exemple de primitive uzuale

Lista celor mai comune primitive:

Funcția	Integrală	Observații
$$\int 0 \, dx$$	$$C$$	Integrala unei constante zero.
$$\int 1 \, dx$$	$$x + C$$	Integrala unei constante egale cu 1.
$$\int x^n $$	$$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$	Puterea funcției polinomiale.
$$\int \frac{1}{x} \, dx$$	$$\ln\|x\| + C$$	Valabil pentru $x \neq 0$.
$$\int e^x \, dx$$	$$e^x + C$$	Funcția exponențială.
$$\int \sqrt{x} \, dx$$	$$\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$$	Funcția rădăcină pătrată.
$$\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$$	$$ 2\sqrt{x} + C$$	Funcția reciprocă a rădăcinii pătrate.
$$\int a^x $$	$$\frac{a^x}{\ln a} + C$$	Funcție exponențială cu bază $a$.
$$\int \sin x \, dx$$	$$-\cos x + C$$	Funcția sinus.
$$\int \cos x \, dx$$	$$\sin x + C$$	Funcția cosinus.
$$\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$$	$$arctg x + C$$	Funcția arc tangenta.
$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$$	$$\arcsin x + C$$	Funcția arc sinus.

3. Exemple rezolvate

Exemplul 1

Calculați primitiva funcției $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$:

\[ \int (3x^2 - 2x + 5) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 5 \, dx. \]

Calculăm fiecare componentă:

\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = x^3, \quad \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = x^2, \quad \int 5 \, dx = 5x. \]

Astfel, primitiva este:

\[ F(x) = x^3 - x^2 + 5x + C. \]

Exemplul 2

Calculați primitiva funcției $f(x) = \frac{1}{x}$:

\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C. \]

Exerciții

Fie funcția $f : (0; +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x^3 \ln x$:
a) Determinați punctele de extrem local ale funcției $f$.
b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $x_0 = 1$.
c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\displaystyle \frac{f(x)}{\ln x} - 5\right)^2$.

Se consideră funcţia $ f: R \backslash\{4\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{2 x+1}{x-4} $.
a) Determinați ecuația asimptotei orizontale a funcției $ f $.
b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei $ f $.
c) Calculaţi integrala $ I=\displaystyle \int_{-2}^{3} f(x) d x $.

Fie funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-3\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{3x^{2}}{x+3} $
a) Determinați extremele locale ale funcției $ f $.
b) Determinați asimptota oblică la $ +\infty $ a graficului funcției $ f $.
c) Calculați: $\displaystyle \int_{4}^{64} \frac{f(x)(x+3)}{x(1+\sqrt{x})} \, dx. $

Fie funcția $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \ln(x^2 + 4) $.
a) Aflați punctele de inflexiune ale funcției $ f $.
b) Fie funcția $\displaystyle g : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{f(x)}{x} $. Calculați asimptota orizontală la $ +\infty $ a funcției $ g $.
c) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \, dx $.

Se consideră funcția $ f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{3}+3 x}{x^{2}+1} $.
a) Să se determine ecuația asimptotei oblice către $ -\infty $ la graficul funcției $ f $.
b) Studiați monotonia funcției $ f $.
c) Calculați $ I=\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) d x $.

Fie $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3 - 6x $.
a) Determinați punctele de extrem local ale funcției $ f $.
b) Determinați valoarea numerică a ariei figurii plane mărginită de graficul funcției $ f $, axa $ O_x $ și dreptele $ x = 1, x = \sqrt{3} $.
c) Fie funcția $\displaystyle h : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, h(x) = \frac{f(x)}{x} $. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $ h $, dacă tangenta dusă la graficul funcției formează cu direcția pozitivă a axei $ O_x $ un unghi de $ 45^\circ $.

Fie $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = -x^2 + 4x$.
a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $ f $ în punctul de intersecție al graficului funcției $ f $ cu axa Oy.
b) Comparați $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x - 4}$ cu $f(e).$
c) Fie funcția $\displaystyle g : [0, 2] \to \mathbb{R}, \, g(x) = e^{\frac{x}{2}} \cdot \sqrt{\frac{f(x)}{4 - x}}$. Determinați valoarea numerică a volumului corpului de rotație obținut prin rotirea subgraficului funcției g în jurul axei $O_x$.

Fie funcția $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ f(x) = 2 \sin^2 x - \sin 2x $.
a) Determinați soluțiile ecuației $ f(x) = 0 $ pe intervalul $ [\pi,\ 2\pi] $.
b) Pentru funcția $ f:(0,\ 2\pi) \rightarrow \mathbb{R} $, determinați o primitivă a lui $ f $ al cărei grafic trece prin punctul $ A\left( \displaystyle \frac{\pi}{2},\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) $.
c) Determinați valorile reale ale parametrului $ b $ pentru care dreapta $ y = 2x + b $ este tangentă la graficul funcției $ f $ în punctul $ x_0 = \displaystyle \frac{\pi}{4} $.

Se consideră funcția $ f: R \backslash\{1\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-x+1}{x-1} $.
a) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției $ f $ în punctul de abscisă $ x_{0}=3 $.
b) Determinaţi punctele de extrem local şi valorile funcţiei în punctele de extrem.
c) Să se determine primitiva $ F(x) $ a funcției $ f(x) $, graficul căreia trece prin punctul $ A(2 ; 5) $.

Fie funcția $ \displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 2} $.
a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $ f $ în punctul de intersecție al graficului funcției $ f $ cu axa $ Ox $.
b) Determinați valoarea numerică a ariei subgraficului funcției: $\displaystyle g : [-1, 0] \to \mathbb{R}, \quad g(x) = -\frac{1}{f(x)} - \frac{2}{x^3 - 1}. $
c) Calculați: $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{f(x)\left(x^2 - 2\right) + 2x^2} - x\right) $

Se consideră funcția $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{\sqrt{x^2 + 1}} $.
a) Determinați ecuațiile asimptotelor oblice ale graficului funcției $ f $.
b) Să se afle punctele de extrem local ale funcției $ f $ și valorile funcției în aceste puncte.
c) Să se determine volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $ O_x $ a suprafeței mărginită de axa $ O_x $ și de graficul funcției $ f $.

Se consideră funcția $ f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{2 e^{x}}{1+e^{2 x}} $.
a) Să se calculeze limitele $ L_{1}=\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) $ și $ L_{2}=\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) $.
b) Să se afle punctele de extrem local ale funcției $ f $.
c) Să se determine primitiva $ F(x) $ a funcţiei $ f(x) $, grafiul căreia trece prin origine.

Fie funcţia $ f: R \backslash\{2\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}}{x-2} $.
a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $ f $.
b) Aflaţi punctele de extrem local ale funcției $ f $.
c) Calculați integrala $ I=\displaystyle \int_{3}^{4} f(x) d x $.

Se consideră funcția $ f: R \backslash\{1\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+x+2}{x-1} $.
a) Să se determine asimptota oblică la graficul funcției $ f $.
b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcției $ f $.
c) Să se calculeze aria figurii mărginită de graficul funcției $ f $, de asimptota oblică şi de dreptele de ecuații $ x=2 $ și $ x=3 $.

Se consideră funcția $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = e^{2x} + e^{-2x} $.
a) Să se calculeze limita $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle \frac{f(x) - f(0)}{x} $.
b) Să se determine punctele de extrem local ale funcției $ f $.
c) Să se afle aria figurii plane delimitate de graficul funcției $ f $, axa $ O_x $ și dreptele de ecuații $ x = 0 $ și $ x = 1 $.

Răspunsuri

a) $ \displaystyle x = e^{-\frac{1}{3}} $ este punct de minim; b) $y = x-1 $; c) $+\inf $

a) Dreapta $ y=2 $ este asimptotă orizontală către $ +\infty $ şi $ -\infty $ la graficul funcției $ f $; b) Funcţia $ f $ este strict descrescătoare pe intervalele $ (-\infty ; 4) $ şi $ (4 ;+\infty) $; c) $ I=10-9 \ln 6 $.

a) $ f_{\max} = f(-6) = -36 $, $ f_{\min} = f(0) = 0 $;
b) $ y = 3x - 9 $;
c) $ 864 - 6\ln3 $

a) $ x = -2 $ și $ x = 2 $ puncte de inflexiune
b) $ y = 0 $;
c) $ \ln5 + 4arctg \frac{1}{2} - 2 $

a) $ y=x $ este asimptotǎ oblicå la $ -\infty ; b $ ) Funcţia $ f $ este strict crescătoare pe $ R $;c) $ I=0 $, deoarece funcţia $ f(x) $ este impară.

a) $ x = \sqrt{2} \, \text{punct de minim local}, x = -\sqrt{2} \, \text{punct de maxim local} $;
b) $ 4 $;
c) $ y = x - \frac{25}{4} $

a) $ y = 4x $;
b) $ < $;
c) $ \pi(e^2+1) $

a) $ S = \left\{ \pi,\ \displaystyle \frac{5\pi}{4},\ 2\pi \right\} $
b) $ F(x) = x - \displaystyle \frac{1}{2} \sin 2x + \displaystyle \frac{1}{2} \cos 2x + \displaystyle \frac{1}{2} $
c) $ b = -\displaystyle \frac{\pi}{2} $

a) $ y=\displaystyle \frac{3}{4} x+\displaystyle \frac{5}{4} $; b) $ x=0 $ este punct de maxim local, $ f_{\max }=f(0)=-1 ; x=2 $ este punct de minim local, $ f_{\min }=f(2)=3 ; c) F(x)=\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\ln |x-1|+3 $.

a) $ y = -3x + 3 $;
b) $\displaystyle \frac{1}{3}\ln2 $;
c) $\displaystyle \frac{2}{3} $

a) Asimptote oblice: $ y = x - 3 $ spre $ +\infty $, $ y = -x + 3 $ spre $ -\infty $;
b) $ x = 1 $ este punct de minim local, cu valoarea $ f(1) = -\sqrt{2} $;
c) $ V = \pi \cdot \left( 6 - \frac{1}{2} \ln 10 - 8 \operatorname{arctg} 3 \right) $

a) $ L_{1}=0 \quad $ si $ L_{2}=0 ; $ b) $ x=0 $ este punct de maxim local; c) $ F(x)=2 \operatorname{arctge}^{x}-\displaystyle \frac{\pi}{2} $.

a) $ y=x+2 $; b) $ x=0 $ este punct de maxim local, iar $ x=4 $ este punct de minim local; c) $ I=\displaystyle \frac{11}{2}+4 \ln 2 $.

a) Dreapta $ y=x+2 $ este asimptotă oblică la $ -\infty $ și la $ +\infty $; $ b $ ) Funcția $ f $ este cresčătoare pe intervalele $ (-\infty ;-1] $ şi $ [3 ;+\infty) $ şi este descrescătoare pe intervalele $ [-1 ; 1) $ şi $ [1 ; 3) ; c) A=4 \ln 2 $.

a) $ 0 $; b) $ x = 0 $ este punct de minim local; c) $ A = \displaystyle \frac{1}{2} \left(e^{2} - e^{-2}\right) $

Rezolvări

a) Asimptota orizontală: $ \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x+1}{x-4} = 2 $, deci $ y = 2 $ este asimptotă orizontală.
b) $ f'(x) = \displaystyle \frac{2(x-4) - (2x+1)}{(x-4)^2} = \displaystyle \frac{2x - 8 - 2x - 1}{(x-4)^2} = \displaystyle \frac{-9}{(x-4)^2} $. Deoarece $ f'(x) < 0 $ pentru orice $ x \neq 4 $, funcția $ f $ este strict descrescătoare pe intervalele $ (-\infty, 4) $ și $ (4, \infty) $.
c) $ \displaystyle \int_{-2}^{3} \displaystyle \frac{2x+1}{x-4} dx = \displaystyle \int_{-2}^{3} (2 + \displaystyle \frac{9}{x-4}) dx = [2x + 9 \ln |x-4|]_{-2}^{3} = (6 + 9 \ln 1) - (-4 + 9 \ln 6) = 6 + 0 + 4 - 9 \ln 6 = 10 - 9 \ln 6 $.

a) Asimptota oblică este de forma $ y = mx + n $. $ m = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3+3x}{x(x^2+1)} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3+3x}{x^3+x} = 1 $. $ n = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (\frac{x^3+3x}{x^2+1} - x) = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3+3x - x(x^2+1)}{x^2+1} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x^2+1} = 0 $. Deci asimptota oblică este $ y = x $.
b) $ f'(x) = \displaystyle \frac{(3x^2+3)(x^2+1) - (x^3+3x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \displaystyle \frac{3x^4 + 6x^2 + 3 - 2x^4 - 6x^2}{(x^2+1)^2} = \displaystyle \frac{x^4+3}{(x^2+1)^2} $. Deoarece $ x^4+3 > 0 $ și $ (x^2+1)^2 > 0 $ pentru orice $ x \in R $, rezultă că $ f'(x) > 0 $ pentru orice $ x \in R $. Astfel, funcția $ f $ este strict crescătoare pe $ R $.
c) $ \displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{x^3+3x}{x^2+1} dx $. Funcția $ f(x) = \displaystyle \frac{x^3+3x}{x^2+1} $ este impară (deoarece $ f(-x) = -f(x) $). Atunci $ \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) dx = 0 $.

a) Rezolvăm ecuația:
$ f(x) = 2 \sin^2 x - \sin 2x = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 0 \Rightarrow 2 \sin x (\sin x - \cos x) = 0 $
Rezultă: $ \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi $, respectiv $ \sin x = \cos x \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi $, cu $ k \in \mathbb{Z} $
În intervalul $ [\pi,\ 2\pi] $:
– din $ x = k\pi $ obținem $ x = \pi $ și $ x = 2\pi $
– din $ x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi $, cu $ k = 1 $, obținem $ x = \displaystyle \frac{5\pi}{4} $
Rezultă: $ S = \left\{ \pi,\ \displaystyle \frac{5\pi}{4},\ 2\pi \right\} $

b) Calculăm primitiva:
$\displaystyle \int f(x)\, dx = \int (2 \sin^2 x - \sin 2x)\, dx = \int (1 - \cos 2x - \sin 2x)\, dx $
$ = x - \displaystyle \frac{1}{2} \sin 2x + \displaystyle \frac{1}{2} \cos 2x + C $
Impunem condiția $ F\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) = \displaystyle \frac{\pi}{2} $:
$ \displaystyle \frac{\pi}{2} = \displaystyle \frac{\pi}{2} - \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \sin(\pi) + \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \cos(\pi) + C = \displaystyle \frac{\pi}{2} - \displaystyle \frac{1}{2} + C $
Rezultă $ C = \displaystyle \frac{1}{2} $
Deci: $ F(x) = x - \displaystyle \frac{1}{2} \sin 2x + \displaystyle \frac{1}{2} \cos 2x + \displaystyle \frac{1}{2} $

c) Calculăm $ f(\displaystyle \frac{\pi}{4}) $ și $ f'(\displaystyle \frac{\pi}{4}) $:
$ f(\displaystyle \frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \left( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 - \sin(\displaystyle \frac{\pi}{2}) = 1 - 1 = 0 $
$ f'(x) = 4 \sin x \cos x - 2 \cos 2x = 2 \sin 2x - 2 \cos 2x $
$ f'(\displaystyle \frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \sin(\displaystyle \frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \cos(\displaystyle \frac{\pi}{2}) = 2 - 0 = 2 $
Tangenta în punctul $ x_0 = \displaystyle \frac{\pi}{4} $:
$ y - f(\displaystyle \frac{\pi}{4}) = f'(\displaystyle \frac{\pi}{4})(x - \displaystyle \frac{\pi}{4}) \Rightarrow y = 2x - \displaystyle \frac{\pi}{2} $
Comparăm cu $ y = 2x + b \Rightarrow b = -\displaystyle \frac{\pi}{2} $

a) Ecuația tangentei este $ y - f(3) = f'(3) (x - 3) $. Avem $ f(3) = \displaystyle \frac{3^2 - 3 + 1}{3-1} = \displaystyle \frac{9 - 3 + 1}{2} = \displaystyle \frac{7}{2} $. $ f'(x) = \displaystyle \frac{(2x-1)(x-1) - (x^2-x+1)}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - 3x + 1 - x^2 + x - 1}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} $. Deci, $ f'(3) = \displaystyle \frac{3^2 - 2(3)}{(3-1)^2} = \displaystyle \frac{9 - 6}{4} = \displaystyle \frac{3}{4} $. Atunci ecuația tangentei este $ y - \displaystyle \frac{7}{2} = \displaystyle \frac{3}{4} (x - 3) $, deci $ y = \displaystyle \frac{3}{4} x - \displaystyle \frac{9}{4} + \displaystyle \frac{14}{4} = \displaystyle \frac{3}{4} x + \displaystyle \frac{5}{4} $.
b) Punctele critice sunt date de $ f'(x) = 0 $, adică $ x^2 - 2x = 0 $, deci $ x(x-2) = 0 $. Atunci $ x = 0 $ și $ x = 2 $. $ f'(x) > 0 $ pentru $ x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) $, deci $ f $ este crescătoare pe aceste intervale. $ f'(x) < 0 $ pentru $ x \in (0, 1) \cup (1, 2) $, deci $ f $ este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, $ x = 0 $ este punct de maxim local și $ x = 2 $ este punct de minim local. $ f(0) = \displaystyle \frac{0^2 - 0 + 1}{0 - 1} = -1 $ și $ f(2) = \displaystyle \frac{2^2 - 2 + 1}{2 - 1} = \displaystyle \frac{4 - 2 + 1}{1} = 3 $.
c) $ f(x) = \displaystyle \frac{x^2 - x + 1}{x-1} = x + \displaystyle \frac{1}{x-1} $. Atunci $ F(x) = \displaystyle \int f(x) dx = \displaystyle \int (x + \displaystyle \frac{1}{x-1}) dx = \displaystyle \frac{x^2}{2} + \ln |x-1| + C $. Din condiția $ F(2) = 5 $, avem $ \displaystyle \frac{2^2}{2} + \ln |2-1| + C = 5 $, deci $ 2 + 0 + C = 5 $, de unde $ C = 3 $. Deci, $ F(x) = \displaystyle \frac{x^2}{2} + \ln |x-1| + 3 $.

a) Calculăm panta asimptotei la $ x \to +\infty $:
$ m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x}{x \sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 - \frac{3}{x})}{x^2 \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = 1 $
$\displaystyle n = \lim_{x \to \infty} f(x) - x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x - x \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = -3 \Rightarrow y = x - 3 $
Pentru $ x \to -\infty $, $ m = -1 $, $ n = 3 \Rightarrow y = -x + 3 $
Deci, asimptotele oblice sunt: $ y = x - 3 $ pentru $ x \to +\infty $ și $ y = -x + 3 $ pentru $ x \to -\infty $
b) Derivata funcției este:
$ f'(x) = \displaystyle \frac{(2x - 3)(x^2 + 1) - (x^2 - 3x) \cdot x}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{x^3 + 2x - 3}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 3)}{(x^2 + 1)^{3/2}} $
Singurul punct critic este $ x = 1 $. Deoarece derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, rezultă că $ x = 1 $ este punct de minim local.
$ f(1) = \displaystyle \frac{1 - 3}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} $
c) Volumul este:
$ V = \pi \displaystyle \int_0^3 \left( \frac{x^2 - 3x}{\sqrt{x^2 + 1}} \right)^2 dx = \pi \int_0^3 \frac{(x^2 - 3x)^2}{x^2 + 1} dx = \pi \int_0^3 \frac{x^4 - 6x^3 + 9x^2}{x^2 + 1} dx $
Descompunem: $ x^4 - 6x^3 + 9x^2 = (x^2 + 1)(x^2 - 6x + 8) + (-x - 8) $
Deci integrala devine:
$ V = \pi \int_0^3 (x^2 - 6x + 8 + \frac{-x - 8}{x^2 + 1}) dx $
$ = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) - 8 \operatorname{arctg}(x) \right]_0^3 $
Rezultatul este:
$ \pi \left( 9 - 27 + 24 - \frac{1}{2} \ln(10) - 8 \operatorname{arctg}(3) \right) = \pi (6 - \frac{1}{2} \ln(10) - 8 \operatorname{arctg}(3)) $

a) $ L_{1} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2e^x}{1+e^{2x}} = \frac{2 \cdot 0}{1 + 0} = 0 $ și $ L_{2} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x}{1+e^{2x}} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x}{e^{2x}(\frac{1}{e^{2x}} + 1)} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x(\frac{1}{e^{2x}} + 1)} = 0 $.
b) $ f'(x) = \displaystyle \frac{2e^x (1+e^{2x}) - 2e^x (2e^{2x})}{(1+e^{2x})^2} = \displaystyle \frac{2e^x + 2e^{3x} - 4e^{3x}}{(1+e^{2x})^2} = \displaystyle \frac{2e^x - 2e^{3x}}{(1+e^{2x})^2} = \displaystyle \frac{2e^x(1 - e^{2x})}{(1+e^{2x})^2} $. Punctele critice sunt date de $ f'(x) = 0 $, adică $ 1 - e^{2x} = 0 $, deci $ e^{2x} = 1 $, adică $ 2x = 0 $, deci $ x = 0 $. $ f'(x) > 0 $ pentru $ x \in (-\infty, 0) $, deci $ f $ este crescătoare pe acest interval. $ f'(x) < 0 $ pentru $ x \in (0, \infty) $, deci $ f $ este descrescătoare pe acest interval. Deci, $ x = 0 $ este punct de maxim local.
c) $ F(x) = \displaystyle \int \displaystyle \frac{2e^x}{1+e^{2x}} dx $. Fie $ t = e^x $, atunci $ dt = e^x dx $, deci $ dx = \displaystyle \frac{dt}{e^x} = \displaystyle \frac{dt}{t} $. Atunci $ F(x) = \displaystyle \int \displaystyle \frac{2t}{1+t^2} \cdot \displaystyle \frac{dt}{t} = \displaystyle \int \displaystyle \frac{2}{1+t^2} dt = 2 \operatorname{arctg} t + C = 2 \operatorname{arctg} (e^x) + C $. Deoarece graficul trece prin origine, $ F(0) = 0 $. Atunci $ 2 \operatorname{arctg} (e^0) + C = 0 $, deci $ 2 \operatorname{arctg} 1 + C = 0 $, adică $ 2 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{4} + C = 0 $, deci $ C = -\displaystyle \frac{\pi}{2} $. Deci $ F(x) = 2 \operatorname{arctg} (e^x) - \displaystyle \frac{\pi}{2} $.

a) Asimptota oblică se caută de forma $ y = mx + n $. $ m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-2)} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-2x} = 1 $. $ n = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{x-2} - x) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-2} = 2 $. Deci asimptota oblică este $ y = x + 2 $.
b) Calculăm derivata: $ f'(x) = \displaystyle \frac{2x(x-2) - x^2}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{x(x-4)}{(x-2)^2} $. Punctele critice sunt $ f'(x) = 0 $, deci $ x = 0 $ și $ x = 4 $. $ f'(x) > 0 $ pentru $ x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty) $, deci $ f $ este crescătoare pe aceste intervale. $ f'(x) < 0 $ pentru $ x \in (0, 2) \cup (2, 4) $, deci $ f $ este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, $ x = 0 $ este punct de maxim local și $ x = 4 $ este punct de minim local.
c) Calculăm integrala: $ \displaystyle \int_{3}^{4} \displaystyle \frac{x^2}{x-2} dx $. Scriem $ \displaystyle \frac{x^2}{x-2} = x + 2 + \displaystyle \frac{4}{x-2} $. Atunci $ \displaystyle \int_{3}^{4} (x + 2 + \displaystyle \frac{4}{x-2}) dx = \left[\displaystyle \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln |x-2| \right]_{3}^{4} = (\displaystyle \frac{16}{2} + 8 + 4 \ln 2) - (\displaystyle \frac{9}{2} + 6 + 4 \ln 1) = 8 + 8 + 4 \ln 2 - \displaystyle \frac{9}{2} - 6 = 10 - \displaystyle \frac{9}{2} + 4 \ln 2 = \displaystyle \frac{11}{2} + 4 \ln 2 $.

a) Asimptota oblică se caută de forma $ y = mx + n $. $ m = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + x + 2}{x(x-1)} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + x + 2}{x^2 - x} = 1 $. $ n = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x^2 + x + 2}{x-1} - x) = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + x + 2 - x(x-1)}{x-1} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 2}{x-1} = 2 $. Deci asimptota oblică este $ y = x + 2 $.
b) $ f'(x) = \displaystyle \frac{(2x+1)(x-1) - (x^2+x+2)}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - x - 1 - x^2 - x - 2}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} $. Punctele critice sunt $ x = -1 $ și $ x = 3 $. $ f'(x) > 0 $ pentru $ x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty) $, deci $ f $ este crescătoare pe aceste intervale. $ f'(x) < 0 $ pentru $ x \in (-1, 1) \cup (1, 3) $, deci $ f $ este descrescătoare pe aceste intervale.
c) Aria este $ A = \displaystyle \int_{2}^{3} |f(x) - (x+2)| dx = \displaystyle \int_{2}^{3} |\displaystyle \frac{x^2+x+2}{x-1} - (x+2)| dx = \displaystyle \int_{2}^{3} |\displaystyle \frac{x^2+x+2 - (x^2+x-2)}{x-1}| dx = \displaystyle \int_{2}^{3} \displaystyle \frac{4}{x-1} dx = [4 \ln |x-1|]_{2}^{3} = 4 \ln 2 - 4 \ln 1 = 4 \ln 2 $.

a) $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) $, conform definiției derivatei.
$ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^{-2x} \Rightarrow f'(0) = 2 \cdot e^{0} - 2 \cdot e^{0} = 0 $
b) $ f'(x) = 2(e^{2x} - e^{-2x}) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^{2x} = e^{-2x} \Leftrightarrow x = 0 $.
$ f''(x) = 4e^{2x} + 4e^{-2x} > 0 \Rightarrow f''(0) > 0 \Rightarrow x = 0 $ este punct de minim local.
c) $ \displaystyle A = \int_{0}^{1} \left(e^{2x} + e^{-2x}\right) \, dx = \left[ \displaystyle \frac{1}{2} e^{2x} - \displaystyle \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_0^1 = \displaystyle \frac{1}{2} \left(e^2 - e^{-2}\right) $

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări