Teorema cosinusului

Definiție

Teorema cosinusului este o generalizare a teoremei lui Pitagora, care se aplică tuturor triunghiurilor (nu doar triunghiurilor dreptunghice).

Teorema

Fie un triunghi cu laturile \(a\), \(b\), \(c\) și unghiul \(\ \gamma\) opus laturii \(\ c\). Teorema cosinusului este:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma \]

Aceasta se poate rescrie pentru celelalte unghiuri:

  • Pentru unghiul \(\ \alpha\):
    • \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha \)
  • Pentru unghiul \(\ \beta\):
    • \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta \)

Exemplu Rezolvat

Fie un triunghi cu laturile \(\ a = 5\), \(\ b = 7\), \(\ \gamma = 60^\circ\). Calculați lungimea laturii \(\ c\).

Rezolvare

  1. Scriem formula teoremei cosinusului:
    2. \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma \)
  2. Substituim valorile cunoscute:
    3. \( c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ \)
  3. Calculăm pas cu pas:
    4. \( c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \)
    \( c^2 = 25 + 49 - 35 \)
    \( c^2 = 39 \)
  4. Calculăm lungimea laturii \(\ c\):
    5. \( c = \sqrt{39} \approx 6.24 \)

Rezultat

Lungimea laturii \(\ c\) este aproximativ \( 6.24 \).

Exerciții

1
Se consideră triunghiul ABC, în care AB = 4, AC = 6 și BC = 8. Calculați cos A.
2
În triunghiul ABC, avem AB = 4, AC = 5 și BC = 8. Demonstrați că triunghiul este obtuzunghic.
Înapoi Următor