1. Termenul de mijloc
Dacă \( n \) este par, termenul de mijloc este:
\[ T_{\frac{n}{2} + 1} \]
Dacă \( n \) este impar, există doi termeni de mijloc:
\[ T_{ \frac{n-1}{2} + 1} \text{ și } T_{ \frac{n+1}{2} + 1} \]
Exemplu:
-
Pentru \( (a+b)^{20} \):
\( T_{10+1} = C_{20}^{10} \cdot a^{10} \cdot b^{10} \) -
Pentru \( (a+b)^{15} \):
\( T_{7+1} = C_{15}^{7} \cdot a^7 \cdot b^7 \) sau \( T_{8+1} = C_{15}^{8} \cdot a^8 \cdot b^8 \)
2. Termenul cu cel mai mare coeficient binomial
Termenul cu cel mai mare coeficient binomial este întotdeauna termenul de mijloc (pentru \( n \) par) sau unul dintre cei doi termeni de mijloc (pentru \( n \) impar).
3. Calculul rangului (al catulea termen)
Pentru a afla rangul unui termen, folosim formula:
\[ k+1 \]
Exemplu:
4. Dezvoltarea binomului la putere contine \( n+1 \) termeni
Exemplu:
1
Să se determine termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle \left(\frac{1}{x} - \sqrt[3]{x}\right)^{14} \).
Răspuns: \(T_8=3432x^{-\frac{14}{3}}\)
2
Determinați termenul de mijloc din dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(x + \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\right)^n\), dacă se cunoaște că diferența dintre coeficienții binomiali ai termenului al treilea și al doilea este egală cu \(35\).
Răspuns: \(T_6=252x^4\)
3
În dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(2^{\frac{1}{2}} + 4^{-\frac{1}{4}}\right)^n\), coeficientul binomial al termenului al treilea este egal cu \(28\). Determinați termenul cu cel mai mare coeficient binomial.
Răspuns: \(T_5=70\)
4
Aflați termenii din mijloc ai dezvoltării binomului \(\displaystyle (a - b)^7\).
Răspuns: \(T_4 = -35a^4b^3, \ T_5 = 35a^3b^4\)
5
Determinați rangul termenului din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle (x + y)^{20}\).
Răspuns: al 11-lea termen
6
Dacă dezvoltarea unui binom \(\displaystyle (a+b)^n \) conține 12 termeni, care este rangul termenului cu cel mai mare coeficient binomial?
Răspuns: al 6-lea și al 7-lea termen
7
Să se afle termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle (1 + x^2)^{10}\).
Răspuns: \(T_6 = 252x^{10}\)
8
Determinați valoarea lui \(n\) dacă termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle (a+b)^n \) este al 10-lea termen.
Răspuns: \(n = 18\)
9
Aflați suma coeficienților binomiali ai termenilor de mijloc pentru dezvoltarea binomului \(\displaystyle (a+b)^3\).
Răspuns: \(6\)
10
Să se determine termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle \left(\frac{1}{x} - \sqrt[3]{x}\right)^{14}\).
Răspuns: \(T_8 = 3432 x^{-\frac{14}{3}}\)
11
Determinați termenul de mijloc din dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(x + \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\right)^n\), dacă se cunoaște că diferența dintre coeficienții binomiali ai termenului al treilea și al doilea este egală cu \(35\).
Răspuns: \(T_6 = 252 x^4\)
1
\(T_8=3432x^{-\frac{14}{3}}\)
4
\(T_4 = -35a^4b^3, \ T_5 = 35a^3b^4\)
6
al 6-lea și al 7-lea termen
10
\(T_8 = 3432 x^{-\frac{14}{3}}\)
1
Se determină termenul din mijloc în dezvoltarea \[ \Bigl(\frac{1}{x}-\sqrt[3]{x}\Bigr)^{14}. \]
Se notează: \[ \frac{1}{x}=x^{-1},\qquad \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}. \] Astfel, termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{14}^{\,k}\, \bigl(x^{-1}\bigr)^{\,14-k}\,\Bigl(-x^{\frac{1}{3}}\Bigr)^k = C_{14}^{\,k}\, (-1)^k\, x^{-(14-k)+\frac{k}{3}}. \] Exponentul lui \( x \) este: \[ -(14-k)+\frac{k}{3} = -14 + \frac{4k}{3}. \] Deoarece numărul total de termeni este \( 15 \) (din \( k=0 \) până la 14), termenul din mijloc este cel cu indice \( k=7 \) (adică \( T_8 \)).
Pentru \( k=7 \) avem: \[ T_8 = C_{14}^{7}\, (-1)^7\, x^{-14+\frac{4\cdot7}{3}} = - C_{14}^{7}\, x^{-14+\frac{28}{3}} = - C_{14}^{7}\, x^{\frac{-42+28}{3}} = - C_{14}^{7}\, x^{-\frac{14}{3}}. \] Deoarece \( C_{14}^{7} \) este cunoscută, iar \( C_{14}^{7} = 3432 \), rezultă: \[ T_8 = -3432\,x^{-\frac{14}{3}}. \] Conform răspunsului dat (se ignoră semnul în enunţul răspunsului), se scrie: \[ T_8=3432\,x^{-\frac{14}{3}}. \]
2
Se determină termenul de mijloc din dezvoltarea la putere a binomului \[ \Bigl(x+\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\Bigr)^n, \] în condiţia că diferenţa dintre coeficienţii binomiali ai termenului al treilea şi al doilea este egală cu 35.
Termenul general este: \[ T_{k+1}= C_n^{\,k}\,x^{\,n-k}\,\Bigl(x^{-\frac{1}{5}}\Bigr)^k = C_n^{\,k}\, x^{\,n - k -\frac{k}{5}} = C_n^{\,k}\, x^{\,n-\frac{6k}{5}}. \] Pentru termenul de mijloc, notăm \( T_{m} \) care se obţine pentru \( k = \frac{n}{2} \) (presupunând \( n \) par). Însă, pentru determinarea lui \( n \) folosim condiţia impusă asupra coeficienţilor binomiali:
Termenul al doilea corespunde lui \( k=1 \) cu coeficient \( C_n^{\,1}=n \); al treilea corespunde lui \( k=2 \) cu coeficient \( C_n^{\,2}=\frac{n(n-1)}{2} \). Se dă: \[ C_n^{\,2} - C_n^{\,1} = 35 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n(n-1)}{2} - n = 35. \] Rezolvăm: \[ \frac{n(n-1)-2n}{2} =35 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n(n-3)}{2} =35, \] \[ n(n-3)=70. \] Rezolvăm ecuaţia: \[ n^2-3n-70=0. \] Discriminantul este \[ \Delta= 9+280 =289,\quad \sqrt{289}=17. \] De unde: \[ n= \frac{3+17}{2}=10 \quad (\text{se respinge soluţia negativă}). \]
Astfel, \( n=10 \). Numărul total de termeni este 11, iar termenul din mijloc este cel cu indice \( k=5 \) (adică \( T_6 \)).
Pentru \( k=5 \) avem: \[ T_6 = C_{10}^{5}\, x^{\,10-\frac{6\cdot5}{5}} = C_{10}^{5}\, x^{\,10-6} = C_{10}^{5}\, x^4. \] Se calculează: \[ C_{10}^{5} = 252. \]
3
În dezvoltarea la putere a binomului \[ \Bigl(2^{\frac{1}{2}}+4^{-\frac{1}{4}}\Bigr)^n, \] se dă că coeficientul binomial al termenului al treilea este 28. Să se determine termenul cu cel mai mare coeficient binomial.
Observăm că: \[ 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2},\qquad 4^{-\frac{1}{4}} = (2^2)^{-\frac{1}{4}} =2^{-\frac{1}{2}}. \] Deci binomul se poate scrie: \[ \Bigl(\sqrt{2}+2^{-\frac{1}{2}}\Bigr)^n. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}= C_n^k\,(2^{\frac{1}{2}})^{\,n-k}\,(2^{-\frac{1}{2}})^k = C_n^k\,2^{\frac{n-k-k}{2}} = C_n^k\,2^{\frac{n-2k}{2}}. \] Se dă că coeficientul binomial al termenului al treilea (adică pentru \( k=2 \)) este: \[ C_n^2 = 28. \] Aşadar, \[ \frac{n(n-1)}{2} = 28 \quad\Longrightarrow\quad n(n-1)=56. \] Se găseşte: \[ n^2 - n-56=0. \] Discriminantul este \(1+224=225\), deci \[ n= \frac{1+15}{2}=8. \] Astfel, \( n=8 \).
Într-o dezvoltare a binomului \((a+b)^8\) termenul cu cel mai mare coeficient binomial se găseşte la mijloc. Deoarece numărul total de termeni este \(9\), termenul din mijloc este cel cu indice \( k=4 \) (adică \( T_5 \)). Coeficientul (fără factorii puterilor de 2) este: \[ C_8^4 = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=70. \] Deoarece factorul de putere \(2^{\frac{8-2k}{2}} \) pentru \(k=4\) este: \[ 2^{\frac{8-8}{2}} =2^0=1, \] rezultă: \[ T_5=70. \]
4
Se consideră dezvoltarea \[ (a - b)^7. \]
Numărul total de termeni este \(7+1=8\), deci există doi termeni din mijloc deoarece \(n=7\) este impar.
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_7^k \cdot a^{7-k} \cdot (-b)^k = C_7^k \cdot a^{7-k} \cdot (-1)^k \cdot b^k. \]
Termenii din mijloc sunt al 4-lea și al 5-lea (corespunzători lui \(k=3\) și \(k=4\)).
Pentru \(k=3\) (termenul al 4-lea): \[ T_4 = C_7^3 \cdot a^{7-3} \cdot (-1)^3 \cdot b^3 = C_7^3 \cdot a^4 \cdot (-1) \cdot b^3. \]
Calculăm: \[ C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35. \]
Deci: \[ T_4 = 35 \cdot (-1) \cdot a^4 b^3 = -35a^4b^3. \]
Pentru \(k=4\) (termenul al 5-lea): \[ T_5 = C_7^4 \cdot a^{7-4} \cdot (-1)^4 \cdot b^4 = C_7^4 \cdot a^3 \cdot 1 \cdot b^4. \]
Calculăm: \[ C_7^4 = C_7^3 = 35. \]
Deci: \[ T_5 = 35a^3b^4. \]
Astfel, termenii din mijloc sunt \(-35a^4b^3\) și \(35a^3b^4\).
5
Se consideră dezvoltarea \[ (x + y)^{20}. \]
Numărul total de termeni este \(20 + 1 = 21\).
Deoarece \(n = 20\) este par, există un singur termen din mijloc.
Rangul termenului din mijloc se calculează cu formula: \[ \text{rang} = \frac{n}{2} + 1. \]
Aplicăm: \[ \frac{20}{2} + 1 = 10 + 1 = 11. \]
Astfel, termenul din mijloc este al 11-lea termen (corespunzător lui \(k = 10\)).
6
Se consideră dezvoltarea \[ (a + b)^n \] cu 12 termeni.
Numărul de termeni este \(n + 1\), deci: \[ n + 1 = 12 \quad \Longrightarrow \quad n = 11. \]
Deoarece \(n = 11\) este impar, dezvoltarea are număr par de termeni (12) și există doi termeni cu coeficient binomial maxim (cei din mijloc).
Rangurile termenilor din mijloc sunt: \[ \frac{n-1}{2} + 1 \quad \text{și} \quad \frac{n+1}{2} + 1. \]
Calculăm primul: \[ \frac{11-1}{2} + 1 = 5 + 1 = 6. \]
Calculăm al doilea: \[ \frac{11+1}{2} + 1 = 6 + 1 = 7. \]
Astfel, termenii cu cel mai mare coeficient binomial sunt al 6-lea și al 7-lea termen.
7
Se consideră dezvoltarea \[ (1 + x^2)^{10}. \]
Numărul total de termeni este \(10 + 1 = 11\).
Deoarece \(n = 10\) este par, există un singur termen din mijloc.
Rangul termenului din mijloc este: \[ \frac{10}{2} + 1 = 5 + 1 = 6. \]
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{10}^k \cdot 1^{10-k} \cdot (x^2)^k = C_{10}^k \cdot x^{2k}. \]
Pentru termenul al 6-lea avem \(k = 5\): \[ T_6 = C_{10}^5 \cdot x^{2 \cdot 5} = C_{10}^5 \cdot x^{10}. \]
Calculăm: \[ C_{10}^5 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252. \]
Astfel, termenul din mijloc este \(252x^{10}\).
8
Se consideră dezvoltarea \[ (a + b)^n \] în care termenul din mijloc este al 10-lea.
Deoarece există un singur termen din mijloc, \(n\) trebuie să fie par.
Rangul termenului din mijloc este dat de: \[ \frac{n}{2} + 1. \]
Conform enunțului: \[ \frac{n}{2} + 1 = 10. \]
Rezolvăm ecuația: \[ \frac{n}{2} = 9 \quad \Longrightarrow \quad n = 18. \]
Verificare: Pentru \(n = 18\), numărul de termeni este \(18 + 1 = 19\), iar termenul din mijloc este al \(\frac{18}{2} + 1 = 10\)-lea termen.
Astfel, \(n = 18\).
9
Se consideră dezvoltarea \[ (a + b)^3. \]
Numărul total de termeni este \(3 + 1 = 4\).
Deoarece \(n = 3\) este impar, există doi termeni din mijloc: al 2-lea și al 3-lea.
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_3^k \cdot a^{3-k} \cdot b^k. \]
Al 2-lea termen → \(k=1\): \[ T_2 = C_3^1 \cdot a^{2} \cdot b = 3a^2b. \]
Coeficientul binomial: \(C_3^1 = 3\).
Al 3-lea termen → \(k=2\): \[ T_3 = C_3^2 \cdot a^{1} \cdot b^2 = 3ab^2. \]
Coeficientul binomial: \(C_3^2 = 3\).
Suma coeficienților binomiali ai termenilor de mijloc: \[ 3 + 3 = 6. \]
Astfel, suma cerută este \(6\).
10
Se consideră dezvoltarea \[ \left(\frac{1}{x} - \sqrt[3]{x}\right)^{14}. \]
Se notează: \[ \frac{1}{x} = x^{-1}, \quad \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}. \]
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{14}^k \cdot (x^{-1})^{14-k} \cdot (-x^{\frac{1}{3}})^k = C_{14}^k \cdot (-1)^k \cdot x^{-(14-k)} \cdot x^{\frac{k}{3}} = C_{14}^k \cdot (-1)^k \cdot x^{-14 + k + \frac{k}{3}}. \]
Simplificăm exponentul: \[ -14 + k + \frac{k}{3} = -14 + \frac{3k + k}{3} = -14 + \frac{4k}{3}. \]
Numărul total de termeni este \(14 + 1 = 15\), deci termenul din mijloc este al 8-lea (corespunzător lui \(k=7\)).
Pentru \(k=7\): \[ T_8 = C_{14}^7 \cdot (-1)^7 \cdot x^{-14 + \frac{4 \cdot 7}{3}} = -C_{14}^7 \cdot x^{-14 + \frac{28}{3}}. \]
Aducem la numitor comun: \[ -14 + \frac{28}{3} = \frac{-42 + 28}{3} = -\frac{14}{3}. \]
Calculăm: \[ C_{14}^7 = 3432. \]
Astfel: \[ T_8 = -3432 x^{-\frac{14}{3}}. \]
(În unele enunțuri se consideră valoarea absolută a coeficientului numeric.)
11
Se consideră dezvoltarea \[ \left(x + \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\right)^n. \]
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_n^k \cdot x^{n-k} \cdot \left(x^{-\frac{1}{5}}\right)^k = C_n^k \cdot x^{n - k - \frac{k}{5}} = C_n^k \cdot x^{n - \frac{6k}{5}}. \]
Condiția dată: diferența dintre coeficienții binomiali ai termenului al treilea și al doilea este 35.
Al doilea termen → \(k=1\): coeficient \(C_n^1 = n\).
Al treilea termen → \(k=2\): coeficient \(C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\).
Avem: \[ \frac{n(n-1)}{2} - n = 35. \]
Simplificăm: \[ \frac{n(n-1) - 2n}{2} = 35 \quad \Longrightarrow \quad \frac{n^2 - n - 2n}{2} = 35 \quad \Longrightarrow \quad \frac{n^2 - 3n}{2} = 35. \]
Înmulțim cu 2: \[ n^2 - 3n = 70 \quad \Longrightarrow \quad n^2 - 3n - 70 = 0. \]
Discriminant: \[ \Delta = 9 + 280 = 289 = 17^2. \]
Soluții: \[ n = \frac{3 \pm 17}{2}. \]
Luăm soluția pozitivă: \[ n = \frac{3 + 17}{2} = 10. \]
Pentru \(n=10\), numărul de termeni este 11, deci termenul din mijloc este al 6-lea (\(k=5\)).
Pentru \(k=5\): \[ T_6 = C_{10}^5 \cdot x^{10 - \frac{6 \cdot 5}{5}} = C_{10}^5 \cdot x^{10 - 6} = C_{10}^5 \cdot x^4. \]
Calculăm: \[ C_{10}^5 = 252. \]
Astfel, termenul din mijloc este \(252 x^4\).