Termenul general - proprietăți
1. Termenul de mijloc
Dacă \( n \) este par, termenul de mijloc este:
\[ T_{\frac{n}{2} + 1} \]
Dacă \( n \) este impar, există doi termeni de mijloc:
\[ T_{ \frac{n-1}{2} + 1} \text{ și } T_{ \frac{n+1}{2} + 1} \]
Exemplu:
-
Pentru \( (a+b)^{20} \):
\( T_{10+1} = C_{20}^{10} \cdot a^{10} \cdot b^{10} \) -
Pentru \( (a+b)^{15} \):
\( T_{7+1} = C_{15}^{7} \cdot a^7 \cdot b^7 \) sau \( T_{8+1} = C_{15}^{8} \cdot a^8 \cdot b^8 \)
2. Termenul cu cel mai mare coeficient binomial
Termenul cu cel mai mare coeficient binomial este întotdeauna termenul de mijloc (pentru \( n \) par) sau unul dintre cei doi termeni de mijloc (pentru \( n \) impar).
3. Calculul rangului (al catulea termen)
Pentru a afla rangul unui termen, folosim formula:
\[ k+1 \]
Exemplu:
-
Dacă avem termenul \( T_{4+1} \), atunci rangul său este:
\( 4+1 = 5 \).
4. Dezvoltarea binomului la putere contine \( n+1 \) termeni
Exemplu:
-
Daca un binom contine 18 termeni, atunci: \(\displaystyle n+1 = 18 \rightarrow n = 17\)
Exerciții
1
Să se determine termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle \left(\frac{1}{x} - \sqrt[3]{x}\right)^{14} \).
2
Determinați termenul de mijloc din dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(x + \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\right)^n\), dacă se cunoaște că diferența dintre coeficienții binomiali ai termenului al treilea și al doilea este egală cu \(35\).
3
În dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(2^{\frac{1}{2}} + 4^{-\frac{1}{4}}\right)^n\), coeficientul binomial al termenului al treilea este egal cu \(28\). Determinați termenul cu cel mai mare coeficient binomial.
4
Aflați termenii din mijloc ai dezvoltării binomului \(\displaystyle (a - b)^7\).
5
Determinați rangul termenului din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle (x + y)^{20}\).
6
Dacă dezvoltarea unui binom \(\displaystyle (a+b)^n \) conține 12 termeni, care este rangul termenului cu cel mai mare coeficient binomial?
7
Să se afle termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle (1 + x^2)^{10}\).
8
Determinați valoarea lui \(n\) dacă termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle (a+b)^n \) este al 10-lea termen.
9
Aflați suma coeficienților binomiali ai termenilor de mijloc pentru dezvoltarea binomului \(\displaystyle (a+b)^3\).
10
Să se determine termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle \left(\frac{1}{x} - \sqrt[3]{x}\right)^{14}\).
11
Determinați termenul de mijloc din dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(x + \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\right)^n\), dacă se cunoaște că diferența dintre coeficienții binomiali ai termenului al treilea și al doilea este egală cu \(35\).