1. Termenul de mijloc
Dacă \( n \) este par, termenul de mijloc este:
\[ T_{\frac{n}{2} + 1} \]
Dacă \( n \) este impar, există doi termeni de mijloc:
\[ T_{ \frac{n-1}{2} + 1} \text{ și } T_{ \frac{n+1}{2} + 1} \]
Exemplu:
-
Pentru \( (a+b)^{20} \):
\( T_{10+1} = C_{20}^{10} \cdot a^{10} \cdot b^{10} \) -
Pentru \( (a+b)^{15} \):
\( T_{7+1} = C_{15}^{7} \cdot a^7 \cdot b^7 \) sau \( T_{8+1} = C_{15}^{8} \cdot a^8 \cdot b^8 \)
2. Termenul cu cel mai mare coeficient binomial
Termenul cu cel mai mare coeficient binomial este întotdeauna termenul de mijloc (pentru \( n \) par) sau unul dintre cei doi termeni de mijloc (pentru \( n \) impar).
3. Calculul rangului (al catulea termen)
Pentru a afla rangul unui termen, folosim formula:
\[ k+1 \]
Exemplu:
4. Dezvoltarea binomului la putere contine \( n+1 \) termeni
Exemplu:
1
Să se determine termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle \left(\frac{1}{x} - \sqrt[3]{x}\right)^{14} \).
Răspuns: \(T_8=3432x^{-\frac{14}{3}}\)
2
Determinați termenul de mijloc din dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(x + \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\right)^n\), dacă se cunoaște că diferența dintre coeficienții binomiali ai termenului al treilea și al doilea este egală cu \(35\).
Răspuns: \(T_6=252x^4\)
3
În dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(2^{\frac{1}{2}} + 4^{-\frac{1}{4}}\right)^n\), coeficientul binomial al termenului al treilea este egal cu \(28\). Determinați termenul cu cel mai mare coeficient binomial.
Răspuns: \(T_5=70\)
1
\(T_8=3432x^{-\frac{14}{3}}\)
1
Se determină termenul din mijloc în dezvoltarea \[ \Bigl(\frac{1}{x}-\sqrt[3]{x}\Bigr)^{14}. \]
Se notează: \[ \frac{1}{x}=x^{-1},\qquad \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}. \] Astfel, termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{14}^{\,k}\, \bigl(x^{-1}\bigr)^{\,14-k}\,\Bigl(-x^{\frac{1}{3}}\Bigr)^k = C_{14}^{\,k}\, (-1)^k\, x^{-(14-k)+\frac{k}{3}}. \] Exponentul lui \( x \) este: \[ -(14-k)+\frac{k}{3} = -14 + \frac{4k}{3}. \] Deoarece numărul total de termeni este \( 15 \) (din \( k=0 \) până la 14), termenul din mijloc este cel cu indice \( k=7 \) (adică \( T_8 \)).
Pentru \( k=7 \) avem: \[ T_8 = C_{14}^{7}\, (-1)^7\, x^{-14+\frac{4\cdot7}{3}} = - C_{14}^{7}\, x^{-14+\frac{28}{3}} = - C_{14}^{7}\, x^{\frac{-42+28}{3}} = - C_{14}^{7}\, x^{-\frac{14}{3}}. \] Deoarece \( C_{14}^{7} \) este cunoscută, iar \( C_{14}^{7} = 3432 \), rezultă: \[ T_8 = -3432\,x^{-\frac{14}{3}}. \] Conform răspunsului dat (se ignoră semnul în enunţul răspunsului), se scrie: \[ T_8=3432\,x^{-\frac{14}{3}}. \]
2
Se determină termenul de mijloc din dezvoltarea la putere a binomului \[ \Bigl(x+\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\Bigr)^n, \] în condiţia că diferenţa dintre coeficienţii binomiali ai termenului al treilea şi al doilea este egală cu 35.
Termenul general este: \[ T_{k+1}= C_n^{\,k}\,x^{\,n-k}\,\Bigl(x^{-\frac{1}{5}}\Bigr)^k = C_n^{\,k}\, x^{\,n - k -\frac{k}{5}} = C_n^{\,k}\, x^{\,n-\frac{6k}{5}}. \] Pentru termenul de mijloc, notăm \( T_{m} \) care se obţine pentru \( k = \frac{n}{2} \) (presupunând \( n \) par). Însă, pentru determinarea lui \( n \) folosim condiţia impusă asupra coeficienţilor binomiali:
Termenul al doilea corespunde lui \( k=1 \) cu coeficient \( C_n^{\,1}=n \); al treilea corespunde lui \( k=2 \) cu coeficient \( C_n^{\,2}=\frac{n(n-1)}{2} \). Se dă: \[ C_n^{\,2} - C_n^{\,1} = 35 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n(n-1)}{2} - n = 35. \] Rezolvăm: \[ \frac{n(n-1)-2n}{2} =35 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n(n-3)}{2} =35, \] \[ n(n-3)=70. \] Rezolvăm ecuaţia: \[ n^2-3n-70=0. \] Discriminantul este \[ \Delta= 9+280 =289,\quad \sqrt{289}=17. \] De unde: \[ n= \frac{3+17}{2}=10 \quad (\text{se respinge soluţia negativă}). \]
Astfel, \( n=10 \). Numărul total de termeni este 11, iar termenul din mijloc este cel cu indice \( k=5 \) (adică \( T_6 \)).
Pentru \( k=5 \) avem: \[ T_6 = C_{10}^{5}\, x^{\,10-\frac{6\cdot5}{5}} = C_{10}^{5}\, x^{\,10-6} = C_{10}^{5}\, x^4. \] Se calculează: \[ C_{10}^{5} = 252. \]
3
În dezvoltarea la putere a binomului \[ \Bigl(2^{\frac{1}{2}}+4^{-\frac{1}{4}}\Bigr)^n, \] se dă că coeficientul binomial al termenului al treilea este 28. Să se determine termenul cu cel mai mare coeficient binomial.
Observăm că: \[ 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2},\qquad 4^{-\frac{1}{4}} = (2^2)^{-\frac{1}{4}} =2^{-\frac{1}{2}}. \] Deci binomul se poate scrie: \[ \Bigl(\sqrt{2}+2^{-\frac{1}{2}}\Bigr)^n. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}= C_n^k\,(2^{\frac{1}{2}})^{\,n-k}\,(2^{-\frac{1}{2}})^k = C_n^k\,2^{\frac{n-k-k}{2}} = C_n^k\,2^{\frac{n-2k}{2}}. \] Se dă că coeficientul binomial al termenului al treilea (adică pentru \( k=2 \)) este: \[ C_n^2 = 28. \] Aşadar, \[ \frac{n(n-1)}{2} = 28 \quad\Longrightarrow\quad n(n-1)=56. \] Se găseşte: \[ n^2 - n-56=0. \] Discriminantul este \(1+224=225\), deci \[ n= \frac{1+15}{2}=8. \] Astfel, \( n=8 \).
Într-o dezvoltare a binomului \((a+b)^8\) termenul cu cel mai mare coeficient binomial se găseşte la mijloc. Deoarece numărul total de termeni este \(9\), termenul din mijloc este cel cu indice \( k=4 \) (adică \( T_5 \)). Coeficientul (fără factorii puterilor de 2) este: \[ C_8^4 = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=70. \] Deoarece factorul de putere \(2^{\frac{8-2k}{2}} \) pentru \(k=4\) este: \[ 2^{\frac{8-8}{2}} =2^0=1, \] rezultă: \[ T_5=70. \]