Ecuații de gradul 1

Definiție

O ecuație de gradul 1 este o relație de forma:

\( ax + b = 0 \), unde \( a \neq 0 \)

Rezolvarea ecuației constă în găsirea valorii necunoscutei \( x \) care satisface această relație.

Metoda de rezolvare

Desfacerea parantezelor:
Dacă ecuația conține paranteze, le desfacem folosind proprietățile distributive ale operațiilor: \[ a(b + c) = ab + ac \] Exemplu: \( 2(x + 3) = 4 \) devine \( 2x + 6 = 4 \).

Daca avem doua paranteze inmultite: \( (a + b)(c + d) \), atunci inmultim fiecare termen din prima paranteza cu fiecare termen din a doua paranteza: \[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
Adunarea sau scăderea termenilor:
Mutăm toți termenii care conțin \( x \) în partea stângă și termenii fără \( x \) în partea dreaptă a ecuației. Schimbăm semnul termenilor care trec dintr-o parte în alta. Exemplu: \( 2x + 6 = 4 \) devine \( 2x = 4 - 6 \).
Împărțirea pentru izolarea lui \(x\):
Împărțim toți termenii ecuației la coeficientul lui \( x \), astfel încât să obținem \( x \) izolat. Exemplu: \( 2x = -2 \) devine \( x = \frac{-2}{2} = -1 \).

Răspunsul final

Soluția unei ecuații de gradul 1 este scrisă sub forma:

\( S = \{ x \} \)

Unde \( x \) este soluția ecuației.

De exemplu, pentru ecuația \( 2x - 4 = 0 \), soluția este:

\( S = \{ 2 \} \)

Exemple

Rezolvați ecuația: \( 3x - 7 = 2x + 5 \)

Soluție: \[ 3x - 2x = 5 + 7 \] \[ x = 12 \] Răspuns: \( S = \{ 12 \} \)
Rezolvați ecuația: \( 5(x - 2) + 4 = 3x + 14 \)

Soluție:
Desfacem parantezele: \[ 5x - 10 + 4 = 3x + 14 \] Grupăm termenii cu \( x \) în stânga și termenii liberi în dreapta: \[ 5x - 3x = 14 + 10 - 4 \] Simplificăm: \[ 2x = 20 \] Împărțim la 2: \[ x = 10 \] Răspuns: \( S = \{ 10 \} \)
Rezolvați ecuația: \( -6(x + 2) = 3x - 18 \)

Soluție:
Desfacem parantezele: \[ -6x - 12 = 3x - 18 \] Grupăm termenii: \[ -6x - 3x = -18 + 12 \] Simplificăm: \[ -9x = -6 \] Împărțim la \(-9\): \[ x = \frac{-6}{-9} = \frac{2}{3} \] Răspuns: \( S = \left\{ \frac{2}{3} \right\} \)

Proprietăți utile

Orice ecuație de forma \( ax = 0 \) are soluția \( x = 0 \) dacă \( a \neq 0 \).
O ecuație nu are soluție dacă ambele părți sunt egale, dar necunoscuta se elimină (ex.: \( 0 = 5 \)).
O ecuație este adevărată pentru orice valoare a lui \( x \) dacă ambele părți sunt identice (ex.: \( 0 = 0 \)).

Exerciții

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \left(\frac{1}{27}\right)^{0,5x-1} = 9 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \left( \frac{4}{9} \right)^{\sqrt{x}} = (2,25)^{\sqrt{x} - 1} \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \left(\frac{1}{64}\right)^{x+2}=8 \cdot 2^{-x} \)

Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 2^{x+3} = 16 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 4^{-3x-6} = 2^{-x} \cdot 8 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} + \frac{x+1}{x+2} = 1 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \frac{2 \cdot \lg x}{\lg(5x-4)} = 1 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{x+2}{x-2}=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{1}{x^{2}-x}=1-\frac{1}{x}\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{3x^2 + x}{12x + 4} = 0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{-x^2+6} = \sqrt{5x+10} \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{5x-12} \cdot \sqrt{x} = 3\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{8 x-x^{2}-7}=3-3 x\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{3} x+\log _{3}(x+3)=\log _{3}(x+24) \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \sqrt{7 - 3x} = x + 7 \)

Răspunsuri

\( x = 4 \)

\( S = \left\{ \frac{1}{4} \right\} \)

\( S = \{-3\} \)

\( x = 1 \)

\( S = \{-3\} \)

\( S = \{0\} \)

\( S = \{4\} \)

\(S=\{-1\}\)

\(S=\{2\}\)

\(S=\{0\}\)

\(S=\{-1\}\)

\(S=\{3\}\)

\( S=\{1\} \)

\( \displaystyle S=\{4\} \)

\( \emptyset \)

Rezolvări

Transformăm bazele în aceeași putere a lui 3:
\( \displaystyle \frac{1}{27} = 3^{-3} \), \( 9 = 3^{2} \)
Ecuația devine:
\( \displaystyle (3^{-3})^{0,5x-1} = 3^{2} \)
\( \displaystyle 3^{-3(0,5x-1)} = 3^{2} \)
Egalează exponenții (baza 3 > 1):
\( \displaystyle -3(0,5x - 1) = 2 \)
\( \displaystyle -1,5x + 3 = 2 \)
\( \displaystyle -1,5x = -1 \)
\( \displaystyle x = \frac{2}{3} \)
Răspuns: \( x = 4 \)

Transformăm bazele:
\( \displaystyle \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \), \( 2,25 = \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \)
Ecuația devine:
\( \displaystyle \left( \left(\frac{2}{3}\right)^2 \right)^{\sqrt{x}} = \left( \left(\frac{3}{2}\right)^2 \right)^{\sqrt{x} - 1} \)
\( \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{x}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2(\sqrt{x} - 1)} \)
Observăm că \( \displaystyle \frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \), deci:
\( \displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{2(\sqrt{x} - 1)} = \left( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \right)^{2(\sqrt{x} - 1)} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2(\sqrt{x} - 1)} \)
Ecuația:
\( \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{x}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2(\sqrt{x} - 1)} \)
Egalează exponenții (baza \( 0 < \frac{2}{3} < 1 \), sensul se inversează):
\( 2\sqrt{x} = -2(\sqrt{x} - 1) \)
\( 2\sqrt{x} = -2\sqrt{x} + 2 \)
\( 4\sqrt{x} = 2 \)
\( \sqrt{x} = \frac{1}{2} \)
\( x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
Răspuns: \( S = \left\{ \dfrac{1}{4} \right\} \)

Transformăm toate bazele în puteri ale lui 2:
\( \displaystyle \frac{1}{64} = 2^{-6} \quad \Rightarrow \quad \left(2^{-6}\right)^{x+2} = 2^{-6(x+2)} \)
\( 8 = 2^3 \quad \Rightarrow \quad 8 \cdot 2^{-x} = 2^3 \cdot 2^{-x} = 2^{3-x} \)
Ecuația devine:
\( 2^{-6(x+2)} = 2^{3-x} \)
Egalează exponenții (baza 2 > 1):
\( -6(x+2) = 3 - x \)
\( -6x - 12 = 3 - x \)
\( -6x + x = 3 + 12 \)
\( -5x = 15 \)
\( x = -3 \)
Răspuns: \( S = \{-3\} \)

Transformăm 16 în putere a lui 2:
\( 16 = 2^4 \)
Ecuația devine:
\( 2^{x+3} = 2^4 \)
Egalează exponenții (baza 2 > 1):
\( x + 3 = 4 \)
\( x = 1 \)
Răspuns: \( x = 1 \)

Transformăm toate bazele în puteri ale lui 2:
\( 4 = 2^2 \quad \Rightarrow \quad 4^{-3x-6} = (2^2)^{-3x-6} = 2^{2(-3x-6)} = 2^{-6x-12} \)
\( 8 = 2^3 \quad \Rightarrow \quad 2^{-x} \cdot 8 = 2^{-x} \cdot 2^3 = 2^{3-x} \)
Ecuația devine:
\( 2^{-6x-12} = 2^{3-x} \)
Egalează exponenții:
\( -6x - 12 = 3 - x \)
\( -6x + x = 3 + 12 \)
\( -5x = 15 \)
\( x = -3 \)
Răspuns: \( S = \{-3\} \)

Domeniul de definiție:
\( x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2 \)
\( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \)
Deci \( x \neq \pm 2 \)
Aducem toți termenii la stânga:
\( \displaystyle \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} + \frac{x+1}{x+2} - 1 = 0 \)
MMC = (x² - 4)(x + 2) = (x-2)(x+2)^2
Numărător comun:
\( (x^2 - x - 2)(x+2) + (x+1)(x^2 - 4) - (x^2 - 4)(x+2) = 0 \)
Dezvoltăm fiecare termen:
Primul: \( (x^2 - x - 2)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - x^2 - 2x - 2x - 4 = x^3 + x^2 - 4x - 4 \)
Al doilea: \( (x+1)(x^2 - 4) = x^3 - 4x + x^2 - 4 = x^3 + x^2 - 4x - 4 \)
Al treilea: \( -(x^2 - 4)(x + 2) = -(x^3 + 2x^2 - 4x - 8) = -x^3 - 2x^2 + 4x + 8 \)
Adunăm:
\( x^3 + x^2 - 4x - 4 + x^3 + x^2 - 4x - 4 - x^3 - 2x^2 + 4x + 8 = 0 \)
\( x^3 - 4x = 0 \)
\( x(x^2 - 4) = 0 \)
\( x(x - 2)(x + 2) = 0 \)
Soluții: x = 0, x = 2, x = -2
Excludem x = ±2 (din domeniul de definiție)
Rămâne: x = 0
Răspuns: \( S = \{0\} \)

Ecuația devine:
\( \displaystyle \frac{2 \lg x}{\lg(5x-4)} = 1 \)
\( 2 \lg x = \lg(5x-4) \)
\( \lg x^2 = \lg(5x-4) \)
Deoarece logaritmul este injectiv:
\( x^2 = 5x - 4 \)
\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)
\( (x - 1)(x - 4) = 0 \)
Soluții: x = 1 sau x = 4
Domeniul de definiție:
1. \( x > 0 \) (pentru \(\lg x\))
2. \( 5x - 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{5} \) (pentru \(\lg(5x-4)\))
Deci \( x > \frac{4}{5} \)
Ambele soluții satisfac.
Răspuns: \( S = \{4\} \)

Pasul 1: Factorizăm numitorul din partea dreaptă:
\(\displaystyle \frac{x+2}{x-2} = \frac{x^2}{(x-2)(x+2)}\)
Pasul 2: Înmulțim ambele părți cu \( (x-2)(x+2) \), cu condiția ca \( x \neq 2 \) și \( x \neq -2 \):
\(\displaystyle (x+2)^2 = x^2\)
\(\displaystyle x^2 + 4x + 4 = x^2\)
\(\displaystyle 4x + 4 = 0\)
\(\displaystyle 4x = -4\)
\(\displaystyle x = -1\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență: \( x \neq 2 \) și \( x \neq -2 \). Soluția \( x = -1 \) respectă aceste condiții.

Pasul 1: Aduce la același numitor în partea dreaptă:
\(\displaystyle \frac{1}{x^2 - x} = \frac{x-1}{x}\)
Pasul 2: Observăm că \( x^2 - x = x(x-1) \), deci putem scrie:
\(\displaystyle \frac{1}{x(x-1)} = \frac{x-1}{x}\)
Pasul 3: Înmulțim ambele părți cu \( x(x-1) \), cu condiția ca \( x \neq 0 \) și \( x \neq 1 \):
\(\displaystyle 1 = (x-1)^2\)
\(\displaystyle 1 = x^2 - 2x + 1\)
\(\displaystyle x^2 - 2x = 0\)
\(\displaystyle x(x-2) = 0\)
Deci, \( x = 0 \) sau \( x = 2 \).
Pasul 4: Verificăm condițiile de existență: \( x \neq 0 \) și \( x \neq 1 \).
Soluția \( x = 0 \) nu este validă, deoarece nu respectă condiția \( x \neq 0 \). Soluția \( x = 2 \) este validă, deoarece respectă condițiile.

Pasul 1: Condițiile de existență a radicalilor:
\(\displaystyle -x^2 + 6 \geq 0\) și \(\displaystyle 5x + 10 \geq 0\)
\(\displaystyle x^2 \leq 6\) și \(\displaystyle x \geq -2\)
\(\displaystyle -\sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6}\) și \(\displaystyle x \geq -2\)
Deci \(\displaystyle -2 \leq x \leq \sqrt{6}\)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle -x^2 + 6 = 5x + 10\)
\(\displaystyle x^2 + 5x + 4 = 0\)
\(\displaystyle (x+1)(x+4) = 0\)
\(\displaystyle x = -1\) sau \(\displaystyle x = -4\)
Pasul 3: Verificăm condițiile:
Pentru \( x = -1 \): respectă condiția \( -2 \leq x \leq \sqrt{6} \). Deci, e solutie.
Pentru \( x = -4 \): nu respectă condiția \( -2 \leq x \leq \sqrt{6} \).

Pasul 1: Condițiile de existență a radicalilor:
\(\displaystyle 5x - 12 \geq 0\) și \(\displaystyle x \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq \frac{12}{5}\) și \(\displaystyle x \geq 0\)
Deci, \( x \geq \frac{12}{5} \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle (5x - 12) \cdot x = 9\)
\(\displaystyle 5x^2 - 12x = 9\)
\(\displaystyle 5x^2 - 12x - 9 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(\displaystyle x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(5)(-9)}}{2(5)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 180}}{10} = \frac{12 \pm \sqrt{324}}{10} = \frac{12 \pm 18}{10}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{12 - 18}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{12 + 18}{10} = \frac{30}{10} = 3\)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = -\frac{3}{5} \): nu respectă condiția \( x \geq \frac{12}{5} \).
Pentru \( x = 3 \): respectă condiția \( x \geq \frac{12}{5} \).
Verificăm ecuația inițială: \( \sqrt{5(3)-12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \). Deci, \( x = 3 \) este o soluție.

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 8x - x^2 - 7 \geq 0\)
\(\displaystyle x^2 - 8x + 7 \leq 0\)
\(\displaystyle (x-1)(x-7) \leq 0\)
Deci, \( x \in [1, 7] \)
Pasul 2: Pentru ca radicalul să fie egal cu \( 3-3x \), trebuie ca \( 3-3x \geq 0 \), deci \( x \leq 1 \).
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle 8x - x^2 - 7 = (3-3x)^2\)
\(\displaystyle 8x - x^2 - 7 = 9 - 18x + 9x^2\)
\(\displaystyle 10x^2 - 26x + 16 = 0\)
\(\displaystyle 5x^2 - 13x + 8 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(5)(8)}}{2(5)} = \frac{13 \pm \sqrt{169-160}}{10} = \frac{13 \pm 3}{10} \)
\(\displaystyle x_1 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}, x_2 = 1 \)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 1 \): respectă condițiile \( x \in [1, 7] \) și \( x \leq 1 \). Verificăm în ecuația inițială: \( \sqrt{8(1) - (1)^2 - 7} = \sqrt{0} = 0 \) și \( 3 - 3(1) = 0 \). Deci, \( x = 1 \) este o soluție.
Pentru \( x = 8/5 \): \( 8/5 \leq 1 \) nu e adevarat. Deci nu e solutie.

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_3(x(x+3)) = \log_3(x+24)\)
Pasul 2: Deoarece baza este aceeași, putem egala argumentele:
\(\displaystyle x(x+3) = x + 24\)
\(\displaystyle x^2 + 3x = x + 24\)
\(\displaystyle x^2 + 2x - 24 = 0\)
\(\displaystyle (x+6)(x-4) = 0\)
\(\displaystyle x = -6\) sau \(\displaystyle x = 4\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmilor:
\( x > 0 \)
\( x + 3 > 0 \), deci \( x > -3 \)
\( x + 24 > 0 \), deci \( x > -24 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -6 \): \( -6 < 0 \). Deci, \( x = -6 \) nu este o soluție.
Pentru \( x = 4 \): \( 4 > 0 \), \( 4 + 3 = 7 > 0 \) și \( 4 + 24 = 28 > 0 \). Deci, \( x = 4 \) este o soluție.

Domeniul de definiție:
\( 7 - 3x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{7}{3} \)
Partea dreaptă trebuie ≥ 0 (radical ≥ 0):
\( x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7 \)
DVA: \( -7 \leq x \leq \frac{7}{3} \)
Izolăm radicalul (deja izolat):
\( \sqrt{7 - 3x} = x + 7 \)
Ridicăm la pătrat (sensul rămâne deoarece dreapta ≥ 0 în DVA):
\( 7 - 3x = (x + 7)^2 \)
\( 7 - 3x = x^2 + 14x + 49 \)
\( 0 = x^2 + 17x + 42 \)
\( \Delta = 289 - 168 = 121 = 11^2 \)
\( x = \frac{-17 \pm 11}{2} \)
\( x_1 = \frac{-6}{2} = -3 \quad \text{sau} \quad x_2 = \frac{-28}{2} = -14 \)
Verificăm în DVA \( [-7, \frac{7}{3}] \):
- \( x = -3 \): \( \sqrt{7 - 3(-3)} = \sqrt{16} = 4 \), dreapta: \( -3 + 7 = 4 \) → egalitate adevărată
- \( x = -14 \): \( -14 \notin [-7, \frac{7}{3}] \) → exclus
Soluție: \( x = -3 \)
Răspuns: \( x = -3 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări