Prisma Patrulateră
1. Definiție
O prismă patrulateră este definită de următoarele caracteristici:
- Bazele sunt două patrulatere congruente și paralele.
- Muchiile laterale sunt paralele între ele și perpendiculare pe bază (în cazul unei prisme drepte) sau oblice (în cazul unei prisme oblice).
- Are 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri.
2. Tipuri de prisme patrulatere
- Prismă dreaptă: Muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază.
- Prismă oblică: Muchiile laterale nu sunt perpendiculare pe bază.
- Prismă regulată: Baza este un patrat.
3. Formule importante
3.1. Aria laterală
Aria laterală a unei prisme patrulatere se calculează astfel:
\[ A_{lat} = P_{b} \cdot h \]
Unde:
- \(P_{b}\) este perimetrul bazei.
- \(h\) este înălțimea prismei.
3.2. Aria totală
Aria totală este suma ariei laterale și a ariilor celor două baze:
\[ A_{tot} = A_{lat} + 2 \cdot A_{b} \]
3.3. Volumul
Volumul prismei patrulatere se determină folosind formula:
\[ V = A_{b} \cdot h \]
Unde \(A_{b}\) este aria bazei, iar \(h\) este înălțimea prismei.
4. Exemplu rezolvat
Exemplu: Fie o prismă patrulateră cu baza dreptunghiulară având lungimea \(a = 5 \;\text{cm}\) și lățimea \(b = 3 \;\text{cm}\). Înălțimea prismei este \(h = 10 \;\text{cm}\). Calculați aria laterală, aria totală și volumul prismei.
4.1. Aria laterală
Perimetrul bazei este:
\[ P_{b} = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (5 + 3) = 16 \;\text{cm} \]
Aria laterală este:
\[ A_{lat} = P_{b} \cdot h = 16 \cdot 10 = 160 \;\text{cm}^2 \]
4.2. Aria totală
Aria bazei este:
\[ A_{b} = a \cdot b = 5 \cdot 3 = 15 \;\text{cm}^2 \]
Aria totală este:
\[ A_{tot} = A_{lat} + 2 \cdot A_{b} = 160 + 2 \cdot 15 = 190 \;\text{cm}^2 \]
4.3. Volumul
Volumul este:
\[ V = A_{b} \cdot h = 15 \cdot 10 = 150 \;\text{cm}^3 \]
Exerciții
1
Fie o prisma patrulatera dreapta, in care baza este un patrat cu laturile de \(2\sqrt{2}\) cm. Calculati diagonala prismei daca inaltimea ei este de 3 cm.
2
Muchiile \(AB\) și \(BC\) ale paralelipipedului dreptunghic \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) au lungimile de \(3 \, \text{cm}\) și, respectiv, \(4 \, \text{cm}\). Diagonala \(A_1C\) formează cu planul bazei \(ABCD\) un unghi de \(30^\circ\). Determinați volumul paralelipipedului.
3
Să se determine cantitatea de vopsea necesară pentru a vopsi pe din afară un garaj de forma și dimensiunile indicate în desen, consumul de vopsea fiind de \(40 \, \text{g}\) la \(1 \, \text{m}^2\).
4
Baza unei prisme drepte este un trapez isoscel cu bazele de \(10 \, \text{cm}\) și \(4 \, \text{cm}\). Unghiul ascuțit al trapezului este congruent cu unghiul format de diagonala prismei și planul bazei și este de \(45^\circ\). Să se afle lungimea:
a) muchiei laterale a prismei;
b) diagonalei prismei.
a) muchiei laterale a prismei;
b) diagonalei prismei.