Radicali
Radicalul unui număr este operația opusă ridicării la putere. Notația generală este:
\( \sqrt[n]{a} \), unde:
- \( a \) este numărul radicalizat.
- \( n \) este ordinul radicalului.
Radicalul simplu, \(\sqrt{a}\), care nu are ordinul specificat se considera ca are ordinul 2
Proprietățile Radicalilor
- \( (\sqrt{a})^2 = a \)
- \( (\sqrt[n]{a})^n = a \).
- \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \).
- \(\displaystyle \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \).
- \(\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{ \frac{1}{n}} \)
- \(\displaystyle \sqrt{a} = a^{ \frac{1}{2}} \).
Pătrate perfecte
Pătratele perfecte sunt numerele care sunt pătrate ale numerelor întregi. De exemplu: \( 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 \). Acestea sunt utile pentru simplificarea radicalilor.
- \( 1^2 = 1 \)
- \( 2^2 = 4 \)
- \( 3^2 = 9 \)
- \( 4^2 = 16 \)
- \( 5^2 = 25 \)
- \( 6^2 = 36 \)
- \( 7^2 = 49 \)
- \( 8^2 = 64 \)
- \( 9^2 = 81 \)
- \( 10^2 = 100 \)
- \( 11^2 = 121 \)
- \( 12^2 = 144 \)
- \( 13^2 = 169 \)
- \( 14^2 = 196 \)
- \( 15^2 = 225 \)
Exemplu Rezolvat
Calculați valoarea expresiei:
\[ \sqrt[4]{32} \cdot \sqrt[4]{8} + \left(\sqrt[3]{64}\right)^{-1} - \sqrt{1\frac{9}{16}}. \]
Rezolvare pas cu pas:
\[ \sqrt[4]{32 \cdot 8} + \left( 64 ^{\frac{1}{3}}\right)^{-1} - \sqrt{\frac{25}{16}}. \]
\[ \sqrt[4]{2^5 \cdot 2^3} + 64^{-\frac{1}{3}} - \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}. \]
\[ \sqrt[4]{2^8} + \left( 4^3 \right)^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{4}. \]
\[ \left( 2^8 \right)^{\frac{1}{4}} + 4^{-1} - \frac{5}{4}. \]
\[ 2^2 + \frac{1}{4} - \frac{5}{4} \]
\[ 4 + \frac{-4}{4} \]
\[ 4 - 1 \]
\[ 3 \]
Răspuns: \( 3 \)
Exerciții
1
Calculați: \(\displaystyle \sqrt{27^{\frac{2}{3}} + \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}}\)
2
Calculați: \(\displaystyle 2^{-2} + \sqrt[3]{\frac{3}{64} - 2}\)
3
Calculati: \(\displaystyle \sqrt{27^{\frac{2}{3}} + \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} }\)
4
Calculați: \(\displaystyle \sqrt[3]{4 - 5 \cdot 32^{-0,6}}\)
5
Calculați: \(\displaystyle \sqrt{0,09} - \sqrt[3]{0,008} + \left(\sqrt[3]{2\sqrt{2}}\right)^2\)
6
Calculați: \(\displaystyle \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} + \frac{\sqrt[3]{64}}{2} + \sqrt{\sqrt{16}}\)
7
Calculați: \(\displaystyle \sqrt{49} + \sqrt[3]{-1000} + \sqrt[3]{-0,008}\)
8
Calculați: \(\displaystyle (0,027)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{10}\right)^{-2}\)
9
Calculați: \(\displaystyle \sqrt{\left(\frac{27}{64}\right)^{-\frac{2}{3}} - \left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^{-2}}\)
10
Calculați: \(\displaystyle \sqrt[3]{-128 \cdot 0,125^{\frac{1}{3}}}\)
11
Calculați: \(\displaystyle \sqrt[3]{343} + \sqrt{16} + \sqrt[3]{-27}\)