Item 3 - exercitii de exersare

Exerciții

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle 27^{1-0.5x} = 9\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{3x^2 + x}{12x + 4} = 0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{6x - 4} = 0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_2 (x - 1) = \log_2 (x^2 - 3)\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( 81^x \leq \frac{1}{3} \cdot 27^{2x+1} \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x + 7}{x^2 - 9} \geq 0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_2(3x - 4) \leq 4 \).

Se consideră matricea \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} \log_2(x-3) & \sqrt{3} - i \\ \sqrt{3} + i & 2 \end{pmatrix} \). Să se rezolve în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \( \det A \leq 2 \), unde \( \det A \) este determinantul matricei \( A \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \begin{vmatrix} x^2 - 4 & -1 \\ x-2 & x+2 \end{vmatrix} = 0. \)

Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 5^{-x+4} = 125 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \( \sqrt{1-x}(x^2 + 7x - 18) = 0.\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{2}\left(x^{2}-5 x+14\right)=3 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{2}(x-1)=\log _{2}\left(x^{2}-3\right) \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{2}\left(x^{2}-4\right)=\log _{2} x+\log _{2} 3 \)

Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 3^{2x-1} = 81 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^{2x-3} \leq \frac{27}{8} \)

Fie \(D(x) = \begin{vmatrix} 2^{x-1} & 4 \\ 8 & 4^x\end{vmatrix} \). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(D(x) = 0\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \left(x^{2}-1\right) \sqrt{2 x-1}=0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{2}(x-2)+\log _{2}(x-4) \geq 3 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{1}{x-1} \leq \frac{x}{2}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{3}\left(x^{2}-x-20\right)-\log _{3}(x+4)=1 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{10}} \frac{2 x^{2}-54}{x+3}=\log _{\frac{1}{10}}(x-4) \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{4x + 12} = x\)

Fie matricea \( \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ x & -1 & x \\ 2 & 3 & -x\end{array}\right) \). Determinaţi valorile reale ale lui \( \displaystyle x \) pentru care expresia \( \displaystyle \frac{\operatorname{det} A-8 x-8}{x^{2}-1} \geq 0 \)

Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 2^{x^2 + 3x} = 16 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_8(x^2 - 4x + 3) \leq 1 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x+2}{x-2} - \frac{x^2}{x^2 - 4} = 0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_2 (1 - x) = 2 \log_4 (3 - 2x)\)

Fie \( \displaystyle D(x)=\left|\begin{array}{ll}\sqrt{x}-1 & 3 \\ 1-\sqrt{x} & 2\end{array}\right| \). Rezolvați în R inecuația \( \displaystyle D(x)< 5 \).

Fie \( D(x)=\left|\begin{array}{cc}3^{2x+8} & 27 \\ 3 & 9^{x+6}\end{array}\right| \). Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( D(x)=0 \)

Rezolvați ecuația \(\sqrt{x + 9} + x + 8 = 0\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\lg \frac{2}{x-1} = \lg x\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle 6 \sqrt{x} - x = -16\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_3 (x^2 - 8x) = \log_3 9\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\log_3 x + \log_3(x-8) \geq 2\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{1}{x^2 - x} + \frac{1}{x} = 1\)

Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( (0,5)^{-x^2 + 3} = 0,25 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^{2x-1} = \displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x-5} \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}\left(2 x^{2}+x\right) \leq-1 \)

Fie \(\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} \lg(12-x) & 2 \\ \lg x & 1 \end{vmatrix} \) Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( D(x) = 0 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{x^{2}-3 x}=3 x+1\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \begin{vmatrix} 4 + i\sqrt{3} & (2+\sqrt{5})x \\ (2-\sqrt{5})x & 4 - i\sqrt{3} \end{vmatrix} = 6x + 14. \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(3x + 5 = \sqrt{3 - x}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{x-5}=35-x\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}\left(x^{2}+8 x\right) \geq-2 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \lg(3x) \leq \lg(4 - x^2) \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} + \frac{x+1}{x+2} = 1\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left( \frac{9}{2} \right)^{x^2 + x} \geq \left( \frac{4}{81} \right)^{2x - 7}. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{5x-12} \cdot \sqrt{x} = 3\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{x+5} = x-1 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_4 (4 - x^2) = \log_4 \frac{x + 8}{3}\)

Determinați pătratul sumei soluțiilor reale ale ecuației \(\displaystyle \begin{vmatrix} x^2 && 2x \\ 2 && x \end{vmatrix} = 0 \).

Rezolvați în R inecuația \( \displaystyle \left|\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ 1-x & 1-x & 4-x \\ 2 x & 2 x & 2 x+1\end{array}\right|< 7 \).

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\begin{vmatrix} 9^x & 1 \\ 2 & 3^x\end{vmatrix} = 7\).

Fie matricea \( \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ x & -1 & x \\ 2 & 3 & -x\end{array}\right) \). Determinați valorile reale ale lui \( \displaystyle x \) pentru care expresia \( \displaystyle \frac{\operatorname{det} A+6}{x^{2}-4} \geq 0\)

Se consideră matricea \(A = \begin{pmatrix} \log_2(x-3) & \sqrt{3} - 1 \\ \sqrt{3} + 1 & 2 \end{pmatrix}\). Rezolvați în mulțimea \(\mathbb{R}\) inecuația \(\det A \leq 2\), unde \(\det A\) reprezintă determinantul matricei \(A\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\lg(x^2 - 4x) = \lg [3(2 - x)]\)

Rezolvați inecuația: \(\displaystyle \frac{1}{8}\sqrt{2^{x-1}} < 4^{-1.25}\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle 7^{3 x^{2}-x}=49 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-5x + 12} = 3\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 5^{4\sqrt{x-3} - x} = 1 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}(x-6) \geq 2\)

Determinaţi valorile complexe ale lui \(z\) pentru care matricea \( \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & z & 1 \\ z & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right) \) nu este inversabilă.

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{3}\left(x^{2}-7\right)=2 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \left(5 x^{2}-x-4\right) \sqrt{2 x+1}=0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{8 x-x^{2}-7}=3-3 x\)

Fie determinantul \(\displaystyle d = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 0 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \). Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x < 4d \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \sqrt{10-x} = 4-x \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 + 12x + 20}{x+2} - \frac{x-6}{3} = 0\)

Fie \(D(x) = \begin{vmatrix} \log_2 x & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}\). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(D(x) \leq 0\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{1}{x^{2}-x}=1-\frac{1}{x}\)

Aflați cea mai mare soluție întreagă a inecuației \( 2^x + (0.5)^{3-x} < 9 \).

Determinați suma soluțiilor reale ale ecuației \( \begin{vmatrix} x^2 & 9x \\ 4 & x \end{vmatrix} = 0 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle 2^{x^{2}-1} \cdot 5^{x^{2}-1}=0,001 \cdot\left(10^{x+2}\right)^{3} \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \frac{\log _{3}\left(2 x^{2}-x\right)}{\log _{2}(2 x+3)}=0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle 5^{3 x^{2}-10 x} \leq \frac{1}{125} \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația Rezolvați în R inecuația \( 3^{\frac{1}{x}} \geq \frac{1}{9} \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x+1}{x+d} \leq 0\), dacă \(\displaystyle d = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \log _{5}(6 x+2)=\log _{5}\left(2 x^{2}+3 x\right)\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle (x-1)\sqrt{x^2-x-2} = 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_{(x-2)} 9 = 2\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{3 - 2x^2} = 1\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle 6 \sqrt{x}+16=x\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \begin{vmatrix} 2^x + 16 && 2^x \\ 2 && 1 \end{vmatrix} = 0 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2+10} \leq \frac{25}{4}\).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt{4 - x} = x - 2\).

Fie \(D(x) = \begin{vmatrix} \sqrt{x} - 1 & 3 \\ 1 - \sqrt{x} & 2 \end{vmatrix}\). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(D(x) < 5\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^{-3 x^{2}+10} \leq \frac{25}{4} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 - 2}{x^2 + x} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x - 3}{x}\)

Fie matricea \( \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}i z & 2 i-1 \\ 3 & 1\end{array}\right) \). Determinați numerele complexe \( \displaystyle z \) pentru care matricea \( \displaystyle A \) nu este inversabilă.

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x}{x+2} \leq 2x \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\log_8(x^2 - 4x + 3) < 1\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 3^{x+2} = \left( \frac{1}{3} \right)^{2x-5} \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x + 1}{x - 1} > \frac{x + 3}{x + 1}\)

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\begin{vmatrix} \sqrt{x-2} & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} < 1\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{6}(x-1)=2-\log _{6}(5 x+3) \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \log_3 (x - 3) + \log_3 (x + 3) = 3. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația Rezolvați în R inecuația \( \displaystyle (0,5)^{\frac{x^{2}-10}{x}} \geq 8 \)

Fie \( D(x) = \begin{vmatrix} \displaystyle 1 & 1 \\ \log_3 x & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( D(X) \geq 0 \).

100

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}\left(x^{2}-10 x+9\right) \geq-2 \)

101

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( \left(\displaystyle \frac{2}{9}\right)^{x^2 + x} \geq (20.25)^{2x - 7} \).

102

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x + 1} - 2x = 1\)

103

Să se rezolve în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left( \frac{2}{9} \right)^{2x+3} \leq (4,5)^{x-2} \)

104

Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} = \sqrt{3} \)

105

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{2 x+1}\left(2 x^{2}-8 x+15\right)=2 \)

106

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_2(x-3) \leq 1 \).

107

Fie \( \displaystyle D(x)=\left|\begin{array}{rr}2^{x^{2}} & 8 \\ 1 & 1\end{array}\right| \). Rezolvați în R inecuația \( \displaystyle D(x) \leq 0 \).

108

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{2 \cdot \lg x}{\lg(5x-4)} = 1 \).

109

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{4}{x} < \frac{3}{5-x}\)

110

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_x (x^2 + 2x) = 3\)

111

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \sqrt{2x+3} = x \)

112

Fie \( d = \begin{vmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \sqrt{x - 5} < 2 \).

113

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle 4^{-3 x-6}=2^{-x} \cdot 8 \)

114

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) inecuația \(9^{\log_3 x} < 1\).

115

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_{\frac{1}{2}}(2x-1) - 2 \geq 0 \).

116

Rezolvați în \( \mathbb{Z} \) inecuația \( \log_{ \frac{1}{2}}(x^2 - 5|x| + 4) \geq -2 \)

117

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{x+3}{x-2} - \frac{x+2}{x-1} = \frac{3}{2} \)

118

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{5}} \frac{2+x}{10}=\log _{\frac{1}{5}} \frac{2}{x+1} \)

119

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left| \begin{array}{cc} \log_3(x+6) & \log_3 x \\ 2 & 1 \end{array} \right| \leq 0 \)

120

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{x \cdot 3^{x-1} - 81x}{x+3} = 0 \).

121

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle 8 \cdot 2^{x^2-3x} < (0.5)^{-1} \)

122

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 2\sqrt{5 - x} - 3(x + 2) = 0 \).

123

Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 2^{x+3} = 16 \)

124

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_{0.5}(x^2 - 5x + 6) > -1 \).

125

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{-x^2+6} = \sqrt{5x+10} \)

126

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{6-x^2}{2}} \leq 8 \).

127

Fie \(d = \begin{vmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix}\). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\sqrt{x-2} < d\).

128

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \begin{vmatrix} \log_3(x-4) & \log_4 5 \\ \log_5 4 & 2 \end{vmatrix} = 3 \)

129

Se consideră matricea \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} x & 2 \\ x+1 & 3 \end{pmatrix} \). Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \det A = \sqrt{4 + x} \), unde \( \det A \) reprezintă determinantul matricei \( A \).

130

Fie \(D(x) = \begin{vmatrix} \lg(12 - x) & 2 \\ \lg x & 1 \end{vmatrix}\). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(D(x) = 0\).

131

Se consideră matricea \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} \log_2(x-3) & \sqrt{3} - 1 \\ \sqrt{3} + 1 & 2 \end{pmatrix} \). Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \( \det A \leq 2 \), unde \( \det A \) reprezintă determinantul matricei \( A \).

132

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{2}(1+3 x) \leq \log _{2}(4 x-3) \)

133

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left(\frac{1}{25}\right)^{3-2x} \geq \frac{1}{5}\)

134

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}\left(x^{2}+3x-4\right)=\log _{\frac{1}{3}}(2 x+2) \)

135

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{3}\left(x^{2}-4 x+3\right)=\log _{3}(3 x+21) \)

136

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_x (x + 3) = \log_x (x^2 + 1)\)

137

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \left(x^{2}-16\right) \sqrt{-x^{2}+2 x+15}=0\)

138

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{15 + 3x} = 1 - x\)

139

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \log_8(x-1) + \log_8(x+27) = \frac{7}{3} \).

140

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{2}{x} \geq 3-x\)

141

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(4^{\sqrt{x+1}} = 64 \cdot 2^{\sqrt{x+1}}\).

142

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{2}\left(x^{2}-2 x\right)=3 \)

143

Fie \( D(x) = \begin{vmatrix} 3^{3x - 1} && 3 \\ 27 && 9^x \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( D(x) = 0 \).

144

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x - 1} - x = -7\)

145

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{x}=x-2\)

146

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \sqrt{3x^2 - x} = 3 + x. \)

147

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right)^{6x+10-x^2} < \left( \frac{64}{27} \right)^{-1} \).

148

Determinați numărul complex \( \displaystyle z=a+b i \), pentru care \( \displaystyle \left|\begin{array}{cc}2 z+\bar{z} & i \\ 1-3 i & 1\end{array}\right|=i \), iar \( \displaystyle \bar{z} \) este conjugatul lui \( \displaystyle z \)

149

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{15+3 x}=1-x\)

150

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_{\frac{4}{5}}(1 - 2x) - 2 \geq 0 \).

151

Rezolvați în R inecuaţia \( \displaystyle D(x)+(x-1)^{2} \geq 0 \), unde \( \displaystyle D(x)=\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & x \\ -2 & 2 & -x\end{array}\right| \).

152

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \det A = \sqrt{4-x} \), unde \(\det A\) este determinantul matricei \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & x+1 \\ 2 & 3x \end{pmatrix} \)

153

Determinaţi valorile reale ale lui \( \displaystyle x \) pentru care matricea \( \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 1 & x & 1 \\ -2 & -2 & x-2\end{array}\right) \) este inversabilă.

154

Să se rezolve în mulțimea \(\mathbb{R}\) inecuația \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} \leq (4,5)^{x-2}\).

155

\( d = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 0 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația: \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x < 2d. \)

156

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{x+2}-x=0\)

157

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 3^{\log_5(x-1)} = \log_3 27 \).

158

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{x+3} - \sqrt{ \left( \frac{27}{8} \right)^{x} } > 0 \).

159

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle x + \frac{2}{x} \geq 3\)

160

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\log_3(6x+1) > \log_3(4x-3)\)

161

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( (6,25)^{x+3} < (0,4)^{9-5x} \).

162

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\lg(x^2 - 4x + 2) = \lg(x - 2)\)

163

Fie matricea pătratică \( \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2+i & 1 & -1 \\ i & 1 & 0 \\ 1+b i & 2 & 2-i\end{array}\right) \). Determinați valorile reale ale lui \( \displaystyle b \), astfel încât \( \displaystyle \operatorname{det} A\in \mathbb{R} \).

164

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}\left(x^{2}-6 x+9\right)>-2 \)

165

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_3 \frac{x+2}{3x-1} \leq 1\)

166

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{1+x}{x} \geq 2 \)

167

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{7 - 3x} = x + 7\)

168

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{3}(x-2)+\log _{3} x=\log _{3} 8 \)

169

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle 4 \cdot (0.5)^{x^2+3x} < (0.25)^{2x} \)

170

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}(1+x)>1 \)

171

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( D(x) \leq 0 \), dacă \( D(x) = \begin{vmatrix} 5^{x^2} & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \)

172

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \left(x^{2}-3 x-10\right) \sqrt{4-x}=0\)

173

Fie \( \displaystyle D(x)=\left|\begin{array}{cc}1 & x & -1 \\ 2 &1 & 2x \\ 3 & x & 4\end{array}\right| \). Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \frac{D(x)}{x+1} \geq 1 \)

174

Să se rezolve în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_{1/3}(1+x) > 1 \).

175

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{x+1}\left(x^{2}-3 x+1\right)=1 \)

176

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 6x + 9) > -2\)

177

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{x}(4 x-3)=2 \)

178

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{x+2}{x-2}=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}\)

179

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \sqrt{4-x} \cdot (x^2 - 3x - 10) = 0 \).

180

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x} + 2 = x\)

181

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{2}}(x-2) \geq-1 \)

182

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \log _{2}(2 x-3)=\log _{2}(x-1)\)

183

Fie \(D(x) = \begin{vmatrix} 3^{x^2} & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(D(x) \leq 0\).

184

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( 8 \cdot 2^{x^2 - 3x} < (0.5)^{-1} \).

185

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 4^{-3x-6} = 2^{-x} \cdot 8 \).

186

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 2 - 3^{x^2 - 1} = 1 \)

187

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \log_7 (x-3) > \log_7 (2x+6) \)

188

Aflați cea mai mare soluție întreagă a inecuației \( \displaystyle \left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 1 \\ 1 & x+2 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right|< 0 \).

189

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \left(\frac{1}{64}\right)^{x+2}=8 \cdot 2^{-x}\)

190

Rezolvați în \( \mathbb{N} \) inecuația \(\displaystyle \left(\frac{1}{8}\right)^{3 - x} < 0.25. \)

191

Se consideră determinantul \(\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} \sqrt{5x^2 - x} & x \\ -3 & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( D(x) = 1 \).

192

Rezolvați ecuația \(\sqrt{24 - 10x} - 3 + 4x = 0\).

193

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{9x-5x^2} = 2 \)

194

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 + 4x + 3}{x+1} = \frac{5x - 3}{2}\)

195

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \log_3[5 + 4\log_3(x-1)] = 2 \).

196

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{1}{27}\right)^{0,5x-1} = 9 \)

197

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \lg (3 x) \leq \lg \left(4-x^{2}\right) \)

198

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{1+3 x-x^{3}}=\sqrt{1-x}\)

199

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle 9^{-4x-5} = 3^{-x} \cdot \frac{1}{27} \).

200

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \begin{vmatrix} \sqrt{x-2} & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} < 1 \).

201

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{3} x+\log _{3}(x+3)=\log _{3}(x+24) \)

202

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{3 - x} = 2x\)

203

Fie \( D(x) = \left| \begin{array}{cc} 2 & \log_3(x+1) \\ 1 & \log_3(5-x) \end{array} \right| \). Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( D(x) = 0 \).

204

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle x \geq \frac{9}{x}\)

205

Fie matricea \(\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\log_2 m & 2\log_2{m-1}\\ 2 &\log_2{(2m)} \end{array}\right) \). Determinați valorile reale ale lui \(m\), pentru care matricea \(A\) este inversabilă.

206

Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \( (0.7)^{2x-5} < 2\frac{2}{49} \).

207

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{3} = 0\)

208

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{6-x^2}{2}} \leq 8\).

209

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & x-1 & -1 \\ x & x-2 & 0 \\ 1 & x-2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 3x \)

210

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x + 2} - x = 0\)

211

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \left( \frac{4}{9} \right)^{\sqrt{x}} = (2,25)^{\sqrt{x} - 1} \).

212

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x^2 - 1} = 2\)

213

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{2}{2x + 3} > \frac{1}{4}\)

214

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \log_8(x^2 - 4x + 3) < 1\)

215

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{-x} \cdot \sqrt{3-x}=0\)

216

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(3^{x+2} = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 5}\).

217

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \left(9-x^{2}\right) \sqrt{2-x}=0\)

218

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{x-1}+7=x\)

219

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_x (6x - 5) = 2\)

220

Determinați valorile reale ale lui \( \displaystyle x \) și \( \displaystyle y \) pentru care \( \displaystyle \left|\begin{array}{cc}x-y i & 2+i \\ 2 x & i\end{array}\right|=1+2 i \).

221

Fie \( D(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \log_3 x & 1 \end{vmatrix} \). Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( D(x) \geq 0 \).

222

Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{R} \) ecuația \( \log_x(4x - 3) = 2 \).

223

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \begin{vmatrix} 9^x & 1 \\ 2 & 3^x \end{vmatrix} = 7. \)

224

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{3} \frac{x-3}{x+3}=1 \)

225

Rezolvați în R inecuația \( \displaystyle D(x)+8 \geq 0 \), unde \( \displaystyle D(x)=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ x & -1 & x \\ 2 & 3 & -x\end{array}\right| \).

Răspunsuri

Rezolvări

Pasul 1: Aduce la aceeași bază:
\(\displaystyle (3^3)^{1-0.5x} = 3^2\)
\(\displaystyle 3^{3-1.5x} = 3^2\)
Pasul 2: Egalează exponenții:
\(\displaystyle 3 - 1.5x = 2\)
Pasul 3: Rezolvă ecuația:
\(\displaystyle 1.5x = 1\)
\(\displaystyle x = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}\)

Rezolvare:
\(\displaystyle \det A = 2\log_2(x-3) - (\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i) = 2\log_2(x-3) - (3 + 1) = 2\log_2(x-3) - 4 \) Obținem inecuația \( 2\log_2(x-3) - 4 \leq 2 \Rightarrow \log_2(x-3) \leq 3 \Rightarrow x - 3 \leq 8 \Rightarrow x \leq 11 \). DVA: \( x > 3 \).

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{2}\left(x^{2}-5 x+14\right)=3 \Leftrightarrow x^{2}-5 x+14=8 \Leftrightarrow x^{2}-5 x+6=0 \Leftrightarrow x \in\{2 ; 3\} \)

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{2}(x-1)=\log _{2}\left(x^{2}-3\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} x-1=x^{2}-3 \\ x-1>0 \end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { x ^ { 2 } - x - 2 = 0 } \\ { x > 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {\left[\begin{array}{c} x=-1 \\ x=2 \end{array}\right.} \\ x>1 \end{array} \Leftrightarrow x=2\right.\right. \)

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{2}\left(x^{2}-4\right)=\log _{2} x+\log _{2} 3 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { \operatorname { l o g } _ { 2 } ( x ^ { 2 } - 4 ) = \operatorname { l o g } _ { 2 } ( 3 x ) } \\ { x > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x^{2}-4=3 x \\ 3 x>0 \end{array} \Leftrightarrow\right.\right. \)
\( \displaystyle \left\{\begin{array} { c } { x ^ { 2 } - 3 x - 4 = 0 } \\ { x > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {\left[\begin{array}{c} x=-1 \\ x=4 \end{array}\right.} \\ x>0 \end{array}\right.\right. \)

Rezolvare:
\(\displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^{2x-3} \leq \frac{27}{8} \Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^{4x-6} \leq \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \Leftrightarrow 4x - 6 \geq -3 \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{4} \)

Pasul 1: Pentru ca produsul să fie zero, unul dintre factori trebuie să fie zero.
Deci, \( x^2 - 1 = 0 \) sau \( \sqrt{2x - 1} = 0 \)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( x^2 - 1 = 0 \):
\(\displaystyle x^2 = 1\)
\(\displaystyle x = \pm 1\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația \( \sqrt{2x-1} = 0 \):
\(\displaystyle 2x - 1 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\)
Pasul 4: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 2x - 1 \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq \frac{1}{2}\)
Pasul 5: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = -1 \): nu respectă condiția \( x \geq \frac{1}{2} \)
Pentru \( x = 1 \): respectă condiția \( x \geq \frac{1}{2} \)
Pentru \( x = \frac{1}{2} \): respectă condiția \( x \geq \frac{1}{2} \)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_2((x-2)(x-4)) \geq 3\)
Pasul 2: Trecem la forma exponențială:
\(\displaystyle (x-2)(x-4) \geq 2^3\)
\(\displaystyle x^2 - 6x + 8 \geq 8\)
\(\displaystyle x^2 - 6x \geq 0\)
\(\displaystyle x(x-6) \geq 0\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Rădăcinile sunt \( x = 0 \) și \( x = 6 \). Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută în afara rădăcinilor:
\(\displaystyle x \in (-\infty, 0] \cup [6, +\infty)\)
Pasul 4: Condițiile de existență a logaritmilor:
\( x - 2 > 0 \), deci \( x > 2 \)
\( x - 4 > 0 \), deci \( x > 4 \)
Pasul 5: Intersectăm soluțiile: \( x \in (-\infty, 0] \cup [6, +\infty) \) și \( x > 4 \). Deci, \( x \in [6, +\infty) \).

Condiții:
\( \displaystyle x \neq 1 \)
\( \displaystyle \frac{1}{x-1} - \frac{x}{2} \leq 0 \)
\( \displaystyle \frac{2 - x(x-1)}{2(x-1)} \leq 0 \)
\( \displaystyle \frac{2 - x^2 + x}{2(x-1)} \leq 0 \)
\( \displaystyle \frac{-x^2 + x + 2}{2(x-1)} \leq 0 \)
\( \displaystyle \frac{x^2 - x - 2}{x-1} \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{(x-2)(x+1)}{x-1} \geq 0 \)
Tabel de semne:
\( \displaystyle x \in [-1, 1) \cup [2, \infty) \)

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{3}\left(x^{2}-x-20\right)-\log _{3}(x+4)=1 \Leftrightarrow \log _{3}\left(x^{2}-x-20\right)=\log _{3}(x+4)+\log _{3} 3 \Leftrightarrow \)
\( \displaystyle \left\{\begin{array} { c } { \operatorname { l o g } _ { 3 } ( x ^ { 2 } - x - 2 0 ) = \operatorname { l o g } _ { 3 } [ ( x + 4 ) \cdot 3 ] } \\ { x + 4 > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x^{2}-x-20=3(x+4) \\ 3(x+4)>0 \end{array} \Leftrightarrow\right.\right. \)
\( \displaystyle \left\{\begin{array} { c } { x ^ { 2 } - 4 x - 3 2 = 0 } \\ { x > - 4 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{c} x=-4 \\ x=8 \end{array}\right.} \\ x>-4 \end{array} \Leftrightarrow x=8 .\right.\right. \)

Pasul 1: Deoarece baza este aceeași, putem egala argumentele:
\(\displaystyle \frac{2x^2 - 54}{x+3} = x - 4\)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația:
\(\displaystyle 2x^2 - 54 = (x-4)(x+3)\)
\(\displaystyle 2x^2 - 54 = x^2 - x - 12\)
\(\displaystyle x^2 + x - 42 = 0\)
\(\displaystyle (x+7)(x-6) = 0\)
\(\displaystyle x = -7\) sau \(\displaystyle x = 6\)
Pasul 3: Condițiile de existență:
\( \frac{2x^2 - 54}{x+3} > 0 \), \( 2x^2 - 54 > 0 \) și \( x + 3 > 0 \)
\( x-4 > 0 \)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x=-7 \), \( \frac{2(-7)^2-54}{-7+3} = \frac{98-54}{-4} = \frac{44}{-4} < 0 \), deci nu e solutie.
Pentru \( x=6 \), \( \frac{2(6)^2-54}{6+3} = \frac{72-54}{9} = \frac{18}{9} > 0 \), iar \( 6-4 > 0 \). Deci, e solutie.

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle \begin{aligned} \operatorname{det} A &= 1 \cdot ((-1) \cdot (-x) - x \cdot 3) - 1 \cdot (x \cdot (-x) - x \cdot 2) + 3 \cdot (x \cdot 3 - (-1) \cdot 2) \\ &= x - 3x + x^2 + 2x + 9x + 6 \\ &= x^2 + 9x + 6 \end{aligned} \)
Atunci \( \displaystyle \frac{\operatorname{det} A-8 x-8}{x^{2}-1} = \frac{x^2+9x+6 - 8x - 8}{x^2-1} = \frac{x^2+x-2}{x^2-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+2}{x+1} \)
Inecuația devine: \( \displaystyle \frac{x+2}{x+1} \geq 0 \) Realizăm tabelul de semne:
- Soluțiile sunt: \( \displaystyle x \in (-\infty, -2] \cup (-1, \infty) \)

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle D(x) = (\sqrt{x} - 1) \cdot 2 - 3(1 - \sqrt{x}) = 2\sqrt{x} - 2 - 3 + 3\sqrt{x} = 5\sqrt{x} - 5 \)
Inecuația devine: \( \displaystyle 5\sqrt{x} - 5 < 5 \), adică \( \displaystyle 5\sqrt{x} < 10 \), deci \( \displaystyle \sqrt{x} < 2 \)
Atunci \( \displaystyle x < 4 \). De asemenea, trebuie ca \( \displaystyle x \geq 0 \) pentru ca \( \displaystyle \sqrt{x} \) să fie definit.
Deci \( \displaystyle x \in [0, 4) \)

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}\left(2 x^{2}+x\right) \leq-1 \Leftrightarrow \log _{\frac{1}{3}}\left(2 x^{2}+x\right) \leq \log _{\frac{1}{3}} 3 \Leftrightarrow 2 x^{2}+x \geq 3 \Leftrightarrow 2 x^{2}+x-3 \geq 0 \Leftrightarrow \)
\( \displaystyle x \in(-\infty ;-1,5] \cup[1 ;+\infty) \)

Pasul 1: Condițiile de existență:
\( x^2 - 3x \geq 0 \), deci \( x(x-3) \geq 0 \), adică \( x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty) \)
Pentru ca radicalul să fie egal cu \( 3x+1 \), trebuie ca \( 3x+1 \geq 0 \), deci \( x \geq -\frac{1}{3} \).
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri:
\(\displaystyle x^2 - 3x = (3x+1)^2\)
\(\displaystyle x^2 - 3x = 9x^2 + 6x + 1\)
\(\displaystyle 8x^2 + 9x + 1 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(8)(1)}}{2(8)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81-32}}{16} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{16} = \frac{-9 \pm 7}{16} \)
\(\displaystyle x_1 = \frac{-9-7}{16} = \frac{-16}{16} = -1, x_2 = \frac{-9+7}{16} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8} \)
Pasul 3: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = -1 \), nu respectă \( x \geq -\frac{1}{3} \).
Pentru \( x = -\frac{1}{8} \), \( -\frac{1}{8} \geq -\frac{1}{3} \) nu e adevarat.
Verificăm din nou condițiile de existență: Pentru \( x = -1 \), \( x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty) \) și \( x \geq -\frac{1}{3} \) nu e adevarat.
Pentru \( x = -\frac{1}{8} \), \( x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty) \) și \( x \geq -\frac{1}{3} \) nu e adevarat.

Rezolvare:
\(\displaystyle (4 + i\sqrt{3})(4 - i\sqrt{3}) - (2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})x^2 = 16 - 3i^2 - (4-5)x^2 = 16 + 3 + x^2 = x^2 + 19. \) Obținem ecuația \( x^2 + 19 = 6x + 14 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 5 = 0 \), cu soluțiile \( x_1 = 1, x_2 = 5 \).

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle x - 5 \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq 5\)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle x - 5 = (35 - x)^2\)
\(\displaystyle x - 5 = 1225 - 70x + x^2\)
\(\displaystyle x^2 - 71x + 1230 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(\displaystyle x = \frac{-(-71) \pm \sqrt{(-71)^2 - 4(1)(1230)}}{2(1)} = \frac{71 \pm \sqrt{5041 - 4920}}{2} = \frac{71 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{71 \pm 11}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{71 - 11}{2} = \frac{60}{2} = 30\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{71 + 11}{2} = \frac{82}{2} = 41\)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 30 \): \( \sqrt{30-5} = \sqrt{25} = 5 \) și \( 35 - 30 = 5 \). Deci, \( x = 30 \) este o soluție.
Pentru \( x = 41 \): \( \sqrt{41-5} = \sqrt{36} = 6 \) și \( 35 - 41 = -6 \). Deci, \( x = 41 \) nu este o soluție.

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}\left(x^{2}+8 x\right) \geq-2 \Leftrightarrow \log _{\frac{1}{3}}\left(x^{2}+8 x\right) \geq \log _{\frac{1}{3}} 9 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x ^ { 2 } + 8 x \leq 9 } \\ { x ^ { 2 } + 8 x > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x^{2}+8 x-9 \leq 0 \\ x(x+8)>0 \end{array} \Leftrightarrow\right.\right. \)
\( \displaystyle \left\{\begin{array}{c} x \in[-9 ; 1] \\ x \in(-\infty ;-8) \cup(0 ;+\infty) \end{array} \Leftrightarrow x \in[-9 ;-8) \cup(0 ; 1] .\right. \)

Pasul 1: Condițiile de existență a radicalilor:
\(\displaystyle 5x - 12 \geq 0\) și \(\displaystyle x \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq \frac{12}{5}\) și \(\displaystyle x \geq 0\)
Deci, \( x \geq \frac{12}{5} \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle (5x - 12) \cdot x = 9\)
\(\displaystyle 5x^2 - 12x = 9\)
\(\displaystyle 5x^2 - 12x - 9 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(\displaystyle x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(5)(-9)}}{2(5)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 180}}{10} = \frac{12 \pm \sqrt{324}}{10} = \frac{12 \pm 18}{10}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{12 - 18}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{12 + 18}{10} = \frac{30}{10} = 3\)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = -\frac{3}{5} \): nu respectă condiția \( x \geq \frac{12}{5} \).
Pentru \( x = 3 \): respectă condiția \( x \geq \frac{12}{5} \).
Verificăm ecuația inițială: \( \sqrt{5(3)-12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \). Deci, \( x = 3 \) este o soluție.

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle x + 5 \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq -5\)
Pasul 2: Pentru ca radicalul să fie egal cu \( x-1 \), trebuie ca \( x-1 \geq 0 \), deci \( x \geq 1 \).
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle x + 5 = (x-1)^2\)
\(\displaystyle x + 5 = x^2 - 2x + 1\)
\(\displaystyle x^2 - 3x - 4 = 0\)
\(\displaystyle (x-4)(x+1) = 0\)
\(\displaystyle x = 4\) sau \(\displaystyle x = -1\)
Pasul 4: Verificăm condițiile:
Pentru \( x = -1 \): nu respectă condiția \( x \geq 1 \).
Pentru \( x = 4 \): respectă condițiile \( x \geq -5 \) și \( x \geq 1 \). Verificăm în ecuația inițială: \( \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3 \) și \( 4 - 1 = 3 \). Deci, \( x = 4 \) este o soluție.

Rezolvare:
Elementelor din coloana a doua și a treia se adună elementele coloanei întâi, înmulțite cu -1.
Calculăm determinantul: \( \displaystyle \left|\begin{array}{ccc}3 & 2-3 & 1-3 \\ 1-x & 1-x-(1-x) & 4-x-(1-x) \\ 2 x & 2 x-2x & 2 x+1-2x \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 \\ 1-x & 0 & 3 \\ 2 x & 0 & 1 \end{array}\right| \)
Calculăm determinantul folosind regula triunghiului: \( \displaystyle 3(0 \cdot 1 - 0 \cdot 3) - (-1)((1-x) \cdot 1 - 3 \cdot 2x) + (-2)((1-x)\cdot 0 - 0\cdot 2x) = (1-x - 6x) = 1 - 7x \)
Deci inecuația devine: \( \displaystyle |1 - 7x| < 7 \).
\( \displaystyle -7 < 1 - 7x < 7 \)
\( \displaystyle -8 < -7x < 6 \)
\( \displaystyle \frac{-6}{7} < x < \frac{8}{7} \)

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle \operatorname{det} A = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ x & -1 & x \\ 2 & 3 & -x\end{array}\right |= 1(x-3x) - 2(-x^2-2x) + 3(3x+2) = -2x + 2x^2 + 4x + 9x + 6 = 2x^2 + 11x + 6 \)
Atunci, \( \displaystyle \frac{\operatorname{det} A+6}{x^{2}-4} = \frac{2x^2 + 11x + 6 + 6}{x^2 - 4} = \frac{2x^2 + 11x + 12}{x^2 - 4} \)
Factorizăm numărătorul: \( \displaystyle 2x^2 + 11x + 12 = (2x+3)(x+4) \) și numitorul: \( \displaystyle x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \)
Inecuația devine: \( \displaystyle \frac{(2x+3)(x+4)}{(x-2)(x+2)} \geq 0 \)
Realizăm tabelul de semne:
Soluțiile sunt: \( \displaystyle x \in (-\infty, -4] \cup (-2, -3/2] \cup (2, +\infty) \)

Pasul 1: Aduce la aceeași bază:
\(\displaystyle 7^{3x^2 - x} = 7^2\)
Pasul 2: Egalează exponenții:
\(\displaystyle 3x^2 - x = 2\)
Pasul 3: Rezolvă ecuația:
\(\displaystyle 3x^2 - x - 2 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{1 \pm 5}{6}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1\)

Rezolvare:
Exponențială egală cu 1: \( 4\sqrt{x-3} - x = 0 \) sau \( 4\sqrt{x-3} - x = 0 \implies x = 4\sqrt{x-3} \implies x_1 = 4, x_2 = 12 \).

Rezolvare:
Matricea A nu este inversabila, daca determinantul ei este 0.
Calculam determinantul: \( \displaystyle \det(A)=0\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 2 & 1\end{vmatrix} -z\begin{vmatrix}z & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}z & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 -z(z-0) + 1(2z -2) = -z^2 +2z -2\)
Pentru a nu fi inversabila, trebuie sa avem \( \det(A) = 0 \):
\( \displaystyle -z^2 +2z -2=0 \Leftrightarrow z=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4*(-1)*(-2)}}{2*(-1)} = \frac{-2\pm\sqrt{-4}}{-2} = \frac{-2\pm 2i}{-2} = 1 \mp i \)
Rezulta \( z= 1 -i \) sau \( z= 1 + i \)

Pasul 1: Trecem la forma exponențială:
\(\displaystyle x^2 - 7 = 3^2\)
\(\displaystyle x^2 - 7 = 9\)
\(\displaystyle x^2 = 16\)
\(\displaystyle x = \pm 4\)
Pasul 2: Verificăm condițiile de existență ale logaritmului:
\( x^2 - 7 > 0 \), adică \( x^2 > 7 \), deci \( x < -\sqrt{7} \) sau \( x > \sqrt{7} \)
Pasul 3: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -4 \): \( (-4)^2 - 7 = 16 - 7 = 9 > 0 \). Deci, \( x = -4 \) este o soluție.
Pentru \( x = 4 \): \( (4)^2 - 7 = 16 - 7 = 9 > 0 \). Deci, \( x = 4 \) este o soluție.

Pasul 1: Pentru ca produsul să fie zero, unul dintre factori trebuie să fie zero.
Deci, \( 5x^2 - x - 4 = 0 \) sau \( \sqrt{2x + 1} = 0 \)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( 5x^2 - x - 4 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(5)(-4)}}{2(5)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{10} = \frac{1 \pm 9}{10}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația \( \sqrt{2x+1} = 0 \):
\(\displaystyle 2x + 1 = 0\)
\(\displaystyle x = -\frac{1}{2}\)
Pasul 4: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 2x + 1 \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq -\frac{1}{2}\)
Pasul 5: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = -\frac{4}{5} \): nu respectă condiția \( x \geq -\frac{1}{2} \)
Pentru \( x = 1 \): respectă condiția \( x \geq -\frac{1}{2} \)
Pentru \( x = -\frac{1}{2} \): respectă condiția \( x \geq -\frac{1}{2} \)

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 8x - x^2 - 7 \geq 0\)
\(\displaystyle x^2 - 8x + 7 \leq 0\)
\(\displaystyle (x-1)(x-7) \leq 0\)
Deci, \( x \in [1, 7] \)
Pasul 2: Pentru ca radicalul să fie egal cu \( 3-3x \), trebuie ca \( 3-3x \geq 0 \), deci \( x \leq 1 \).
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle 8x - x^2 - 7 = (3-3x)^2\)
\(\displaystyle 8x - x^2 - 7 = 9 - 18x + 9x^2\)
\(\displaystyle 10x^2 - 26x + 16 = 0\)
\(\displaystyle 5x^2 - 13x + 8 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(5)(8)}}{2(5)} = \frac{13 \pm \sqrt{169-160}}{10} = \frac{13 \pm 3}{10} \)
\(\displaystyle x_1 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}, x_2 = 1 \)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 1 \): respectă condițiile \( x \in [1, 7] \) și \( x \leq 1 \). Verificăm în ecuația inițială: \( \sqrt{8(1) - (1)^2 - 7} = \sqrt{0} = 0 \) și \( 3 - 3(1) = 0 \). Deci, \( x = 1 \) este o soluție.
Pentru \( x = 8/5 \): \( 8/5 \leq 1 \) nu e adevarat. Deci nu e solutie.

Pasul 1: Aduce la același numitor în partea dreaptă:
\(\displaystyle \frac{1}{x^2 - x} = \frac{x-1}{x}\)
Pasul 2: Observăm că \( x^2 - x = x(x-1) \), deci putem scrie:
\(\displaystyle \frac{1}{x(x-1)} = \frac{x-1}{x}\)
Pasul 3: Înmulțim ambele părți cu \( x(x-1) \), cu condiția ca \( x \neq 0 \) și \( x \neq 1 \):
\(\displaystyle 1 = (x-1)^2\)
\(\displaystyle 1 = x^2 - 2x + 1\)
\(\displaystyle x^2 - 2x = 0\)
\(\displaystyle x(x-2) = 0\)
Deci, \( x = 0 \) sau \( x = 2 \).
Pasul 4: Verificăm condițiile de existență: \( x \neq 0 \) și \( x \neq 1 \).
Soluția \( x = 0 \) nu este validă, deoarece nu respectă condiția \( x \neq 0 \). Soluția \( x = 2 \) este validă, deoarece respectă condițiile.

Rezolvare:
Determinantul: \( x^2 \cdot x - 4 \cdot 9x = x^3 - 36x = 0 \implies x(x-6)(x+6) = 0 \). Soluții: \( x_1 = 0, x_2 = -6, x_3 = 6 \). Suma: \( 0 + (-6) + 6 = 0 \).

Pasul 1: Simplifică:
\(\displaystyle (2 \cdot 5)^{x^2 - 1} = 10^{-3} \cdot 10^{3x + 6}\)
\(\displaystyle 10^{x^2 - 1} = 10^{3x + 3}\)
Pasul 2: Egalează exponenții:
\(\displaystyle x^2 - 1 = 3x + 3\)
Pasul 3: Rezolvă ecuația:
\(\displaystyle x^2 - 3x - 4 = 0\)
\(\displaystyle (x-4)(x+1) = 0\)
\(\displaystyle x = 4\) sau \(\displaystyle x = -1\)

Pasul 1: Pentru ca o fracție să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero.
Deci, \( \log_3(2x^2 - x) = 0 \) și \( \log_2(2x + 3) \neq 0 \).
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( \log_3(2x^2 - x) = 0 \):
\(\displaystyle 2x^2 - x = 3^0\)
\(\displaystyle 2x^2 - x = 1\)
\(\displaystyle 2x^2 - x - 1 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
Pasul 3: Verificăm condiția \( \log_2(2x + 3) \neq 0 \), adică \( 2x + 3 \neq 1 \), deci \( 2x \neq -2 \), adică \( x \neq -1 \). Ambele soluții respectă această condiție.
Pasul 4: Condițiile de existență ale logaritmilor:
\( 2x^2 - x > 0 \), adică \( x(2x - 1) > 0 \), deci \( x < 0 \) sau \( x > \frac{1}{2} \).
\( 2x + 3 > 0 \), adică \( 2x > -3 \), deci \( x > -\frac{3}{2} \).
Pasul 5: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -\frac{1}{2} \): \( 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 > 0 \) și \( 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2 > 0 \). Deci, \( x = -\frac{1}{2} \) este o soluție.
Pentru \( x = 1 \): \( 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1 > 0 \) și \( 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 > 0 \). Deci, \( x = 1 \) este o soluție.

Pasul 1: Exprimăm ambele părți ale inegalității în aceeași bază:
\(\displaystyle 5^{3x^2 - 10x} \leq \frac{1}{5^3}\)
\(\displaystyle 5^{3x^2 - 10x} \leq 5^{-3}\)
Pasul 2: Deoarece baza este mai mare decât 1 (5 > 1), funcția exponențială este crescătoare, deci putem compara exponenții:
\(\displaystyle 3x^2 - 10x \leq -3\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea:
\(\displaystyle 3x^2 - 10x + 3 \leq 0\)
Găsim rădăcinile ecuației \( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:
\(\displaystyle x \in \left[\frac{1}{3}, 3\right]\)

Rezolvare: DVA: \( x \in R^{*} \)
\( \begin{array}{l} 3^{\frac{1}{x}} \geq \frac{1}{9} \Leftrightarrow 3^{\frac{1}{x}} \geq 3^{-2} \Leftrightarrow \frac{1}{x} \geq-2 \Leftrightarrow \frac{1+2 x}{x} \geq 0 \Leftrightarrow x \in\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right] \cup(0 ;+\infty) \end{array} \)

Pasul 1: Deoarece baza este aceeași, putem egala argumentele:
\(\displaystyle 6x + 2 = 2x^2 + 3x\)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația:
\(\displaystyle 2x^2 - 3x - 2 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmilor:
\( 6x + 2 > 0 \), deci \( x > -\frac{1}{3} \)
\( 2x^2 + 3x > 0 \), deci \( x(2x + 3) > 0 \), deci \( x < -\frac{3}{2} \) sau \( x > 0 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -\frac{1}{2} \): \( 6\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = -3 + 2 = -1 \), care nu este mai mare decât 0. Deci, \( x = -\frac{1}{2} \) nu este o soluție.
Pentru \( x = 2 \): \( 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14 > 0 \) și \( 2(2)^2 + 3(2) = 8 + 6 = 14 > 0 \). Deci, \( x = 2 \) este o soluție.

Pasul 1: Pentru ca produsul să fie zero, unul dintre factori trebuie să fie zero.
Deci, \( x - 1 = 0 \) sau \( \sqrt{x^2 - x - 2} = 0 \)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( x - 1 = 0 \):
\( x = 1 \)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația \( \sqrt{x^2 - x - 2} = 0 \):
\(\displaystyle x^2 - x - 2 = 0\)
\(\displaystyle (x-2)(x+1) = 0\)
Deci, \( x = 2 \) sau \( x = -1 \)
Pasul 4: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle x^2 - x - 2 \geq 0\)
\(\displaystyle (x-2)(x+1) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty) \)
Pasul 5: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 1 \): nu respectă condiția \( x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty) \)
Pentru \( x = 2 \): respectă condiția \( x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty) \)
Pentru \( x = -1 \): respectă condiția \( x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty) \)

Pasul 1: Izolăm radicalul:
\(\displaystyle 6\sqrt{x} = x - 16\)
Pasul 2: Condițiile de existență:
\( x \geq 0 \)
\( x - 16 \geq 0 \), deci \( x \geq 16 \)
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri:
\(\displaystyle 36x = (x-16)^2\)
\(\displaystyle 36x = x^2 - 32x + 256\)
\(\displaystyle x^2 - 68x + 256 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-(-68) \pm \sqrt{(-68)^2 - 4(1)(256)}}{2(1)} = \frac{68 \pm \sqrt{4624 - 1024}}{2} = \frac{68 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{68 \pm 60}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{68 - 60}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{68 + 60}{2} = \frac{128}{2} = 64\)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 4 \): nu respectă condiția \( x \geq 16 \).
Pentru \( x = 64 \): respectă condiția \( x \geq 16 \). Verificăm ecuația inițială: \( 6\sqrt{64} + 16 = 6(8) + 16 = 48 + 16 = 64 \). Deci, \( x = 64 \) este o soluție.

Pasul 1: Exprimăm ambele părți ale inegalității în aceeași bază:
\(\displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \left(\frac{5}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^{-3x^2 + 10} \leq \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\)
Pasul 2: Deoarece baza este mai mică decât 1 (\(\displaystyle \frac{2}{5} < 1\)), funcția exponențială este descrescătoare, deci inversăm semnul inegalității și comparăm exponenții:
\(\displaystyle -3x^2 + 10 \geq -2\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea:
\(\displaystyle -3x^2 + 12 \geq 0\)
\(\displaystyle 3x^2 - 12 \leq 0\)
\(\displaystyle x^2 - 4 \leq 0\)
\(\displaystyle (x - 2)(x + 2) \leq 0\)
Inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:
\(\displaystyle x \in [-2, 2]\)

Rezolvare:
Matricea nu este inversabilă dacă determinantul este 0.
Calculăm determinantul: \( \displaystyle \det(A) = iz - 3(2i-1) = iz - 6i + 3 = 3 + i(z - 6) \)
Pentru ca determinantul să fie 0, trebuie ca partea reală și partea imaginară să fie 0. Deci \( \displaystyle 3 = 0 \) și \( \displaystyle z - 6 = 0 \). Prima ecuație nu are soluție. Am greșit undeva.
Fie \( \displaystyle z = a + bi \). Atunci \( \displaystyle \det(A) = i(a + bi) - 6i + 3 = ai - b - 6i + 3 = (3 - b) + i(a - 6) \).
Pentru ca determinantul să fie 0, trebuie ca \( \displaystyle 3 - b = 0 \) și \( \displaystyle a - 6 = 0 \). Deci \( \displaystyle b = 3 \) și \( \displaystyle a = 6 \).
Atunci \( \displaystyle z = 6 + 3i \).

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_6(x-1) + \log_6(5x+3) = 2\)
\(\displaystyle \log_6((x-1)(5x+3)) = 2\)
Pasul 2: Trecem la forma exponențială:
\(\displaystyle (x-1)(5x+3) = 6^2\)
\(\displaystyle 5x^2 - 2x - 3 = 36\)
\(\displaystyle 5x^2 - 2x - 39 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(5)(-39)}}{2(5)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 780}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{784}}{10} = \frac{2 \pm 28}{10}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{2 - 28}{10} = \frac{-26}{10} = -\frac{13}{5}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{2 + 28}{10} = \frac{30}{10} = 3\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmilor:
\( x - 1 > 0 \), deci \( x > 1 \)
\( 5x + 3 > 0 \), deci \( x > -\frac{3}{5} \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -\frac{13}{5} \): \( -\frac{13}{5} - 1 < 0 \). Deci, \( x = -\frac{13}{5} \) nu este o soluție.
Pentru \( x = 3 \): \( 3 - 1 = 2 > 0 \) și \( 5(3) + 3 = 18 > 0 \). Deci, \( x = 3 \) este o soluție.

Rezolvare:
DVA: \( \displaystyle x \in R^{*} \).
\( \displaystyle (0,5)^{\frac{x^{2}-10}{x}} \geq 8 \Leftrightarrow 2^{-\frac{x^{2}-10}{x}} \geq 2^{3} \Leftrightarrow \frac{-x^{2}+10}{x} \geq 3 \Leftrightarrow \frac{-x^{2}-3 x+10}{x} \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{x^{2}+3 x-10}{x} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(x+5)(x-2)}{x} \leq 0 \Leftrightarrow x \in(-\infty ;-5] \cup(0 ; 2] \)

100

Pasul 1: Trecem la forma exponențială. Deoarece baza este mai mică decât 1 (\(\displaystyle \frac{1}{3} < 1\)), inversăm semnul inegalității:
\(\displaystyle x^2 - 10x + 9 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
\(\displaystyle x^2 - 10x + 9 \leq 9\)
\(\displaystyle x^2 - 10x \leq 0\)
\(\displaystyle x(x - 10) \leq 0\)
Pasul 2: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Rădăcinile sunt \( x = 0 \) și \( x = 10 \). Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:
\(\displaystyle x \in [0, 10]\)
Pasul 3: Condiția de existență a logaritmului: \( x^2 - 10x + 9 > 0 \).
Găsim rădăcinile ecuației \( x^2 - 10x + 9 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută în afara rădăcinilor:
\(\displaystyle x \in (-\infty, 1) \cup (9, +\infty)\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile: \( x \in [0, 10] \) și \( x \in (-\infty, 1) \cup (9, +\infty) \). Deci, \( x \in [0, 1) \cup (9, 10] \).

105

Pasul 1: Trecem în forma exponențială:
\(\displaystyle 2x^2 - 8x + 15 = (2x+1)^2\)
\(\displaystyle 2x^2 - 8x + 15 = 4x^2 + 4x + 1\)
\(\displaystyle 2x^2 + 12x - 14 = 0\)
\(\displaystyle x^2 + 6x - 7 = 0\)
\(\displaystyle (x+7)(x-1) = 0\)
\(\displaystyle x=-7, x=1\)
Pasul 2: Condiții de existență:
\( 2x+1 > 0; 2x+1 \neq 1; 2x^2-8x+15 > 0 \)
\( x > -\frac{1}{2}; x \neq 0; 2x^2-8x+15 > 0 \)
Pasul 3: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x=-7 \), \( x<-1/2 \), deci nu convine.
Pentru \( x=1 \), \( 2x+1 = 3 > 0, 2x+1 \neq 1 \) și \( 2x^2-8x+15 = 2-8+15 = 9 > 0 \). Deci, e solutie.

107

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle D(x) = 2^{x^2} \cdot 1 - 8 \cdot 1 = 2^{x^2} - 8 \).
Inecuația devine: \( \displaystyle 2^{x^2} - 8 \leq 0 \), adică \( \displaystyle 2^{x^2} \leq 8 = 2^3 \).
Deoarece funcția exponențială cu baza 2 este crescătoare, obținem \( \displaystyle x^2 \leq 3 \), adică \( \displaystyle -\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3} \).

109

Condiții:
\( \displaystyle x \neq 0, x \neq 5 \)
\( \displaystyle \frac{4}{x} - \frac{3}{5-x} < 0 \)
\( \displaystyle \frac{4(5-x) - 3x}{x(5-x)} < 0 \)
\( \displaystyle \frac{20 - 4x - 3x}{x(5-x)} < 0 \)
\( \displaystyle \frac{20 - 7x}{x(5-x)} < 0 \)
\( \displaystyle \frac{7x - 20}{x(x-5)} > 0 \)
Tabel de semne:
\( \displaystyle x \in (0, 5) \cup (\frac{20}{7}, \infty) \)

111

Pasul 1: Condițiile de existență:
\(\displaystyle 2x + 3 \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq -\frac{3}{2}\)
Pentru ca radicalul să fie egal cu \( x \), trebuie ca \( x \geq 0 \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri:
\(\displaystyle 2x+3 = x^2\)
\(\displaystyle x^2 - 2x - 3 = 0\)
\(\displaystyle (x-3)(x+1) = 0\)
\(\displaystyle x = 3; x=-1\)
Pasul 3: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x=3 \), respectă \( x \geq -\frac{3}{2} \) și \( x \geq 0 \)
Pentru \( x=-1 \), nu respectă \( x \geq 0 \)

113

Pasul 1: Aduce la aceeași bază:
\(\displaystyle (2^2)^{-3x-6} = 2^{-x} \cdot 2^3\)
\(\displaystyle 2^{-6x - 12} = 2^{-x + 3}\)
Pasul 2: Egalează exponenții:
\(\displaystyle -6x - 12 = -x + 3\)
Pasul 3: Rezolvă ecuația:
\(\displaystyle -5x = 15\)
\(\displaystyle x = -3\)

117

Pasul 1: Aducem la același numitor:
\(\displaystyle \frac{(x+3)(x-1) - (x+2)(x-2)}{(x-2)(x-1)} = \frac{3}{2} \)
\(\displaystyle \frac{x^2 + 2x - 3 - (x^2 - 4)}{x^2 - 3x + 2} = \frac{3}{2} \)
\(\displaystyle \frac{2x + 1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{3}{2} \)
Pasul 2: Înmulțim încrucișat:
\(\displaystyle 2(2x + 1) = 3(x^2 - 3x + 2) \)
\(\displaystyle 4x + 2 = 3x^2 - 9x + 6 \)
\(\displaystyle 3x^2 - 13x + 4 = 0 \)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(\displaystyle x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 48}}{6} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{6} = \frac{13 \pm 11}{6} \)
\(\displaystyle x_1 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\(\displaystyle x_2 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență: \( x \neq 2 \) și \( x \neq 1 \). Ambele soluții respectă aceste condiții.
\(\displaystyle S = \{ \frac{1}{3}; 4 \} \)

118

Pasul 1: Deoarece baza este aceeași, putem egala argumentele:
\(\displaystyle \frac{2+x}{10} = \frac{2}{x+1}\)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația:
\(\displaystyle (2+x)(x+1) = 20\)
\(\displaystyle x^2 + 3x + 2 = 20\)
\(\displaystyle x^2 + 3x - 18 = 0\)
\(\displaystyle (x+6)(x-3) = 0\)
\(\displaystyle x = -6\) sau \(\displaystyle x = 3\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmilor:
\( \frac{2+x}{10} > 0 \), deci \( x > -2 \)
\( \frac{2}{x+1} > 0 \), deci \( x > -1 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -6 \): \( \frac{2+(-6)}{10} = \frac{-4}{10} < 0 \). Deci, \( x = -6 \) nu este o soluție.
Pentru \( x = 3 \): \( \frac{2+3}{10} = \frac{5}{10} > 0 \) și \( \frac{2}{3+1} = \frac{2}{4} > 0 \). Deci, \( x = 3 \) este o soluție.

125

Pasul 1: Condițiile de existență a radicalilor:
\(\displaystyle -x^2 + 6 \geq 0\) și \(\displaystyle 5x + 10 \geq 0\)
\(\displaystyle x^2 \leq 6\) și \(\displaystyle x \geq -2\)
\(\displaystyle -\sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6}\) și \(\displaystyle x \geq -2\)
Deci \(\displaystyle -2 \leq x \leq \sqrt{6}\)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle -x^2 + 6 = 5x + 10\)
\(\displaystyle x^2 + 5x + 4 = 0\)
\(\displaystyle (x+1)(x+4) = 0\)
\(\displaystyle x = -1\) sau \(\displaystyle x = -4\)
Pasul 3: Verificăm condițiile:
Pentru \( x = -1 \): respectă condiția \( -2 \leq x \leq \sqrt{6} \). Deci, e solutie.
Pentru \( x = -4 \): nu respectă condiția \( -2 \leq x \leq \sqrt{6} \).

132

Pasul 1: Deoarece baza este mai mare decât 1 (2 > 1), funcția logaritmică este crescătoare, deci putem compara argumentele:
\(\displaystyle 1 + 3x \leq 4x - 3\)
Pasul 2: Rezolvăm inegalitatea:
\(\displaystyle -x \leq -4\)
\(\displaystyle x \geq 4\)
Pasul 3: Condițiile de existență a logaritmilor:
\( 1 + 3x > 0 \), deci \( 3x > -1 \), adică \( x > -\frac{1}{3} \)
\( 4x - 3 > 0 \), deci \( 4x > 3 \), adică \( x > \frac{3}{4} \)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile: \( x \geq 4 \), \( x > -\frac{1}{3} \) și \( x > \frac{3}{4} \). Deci, \( x \in [4, +\infty) \).

133

Pasul 1: Exprimăm ambele părți ale inegalității în aceeași bază:
\(\displaystyle \left(\frac{1}{5^2}\right)^{3-2x} \geq \frac{1}{5}\)
\(\displaystyle \left(5^{-2}\right)^{3-2x} \geq 5^{-1}\)
\(\displaystyle 5^{-6+4x} \geq 5^{-1}\)
Pasul 2: Deoarece baza este mai mare decât 1 (5 > 1), funcția exponențială este crescătoare, deci putem compara exponenții:
\(\displaystyle -6 + 4x \geq -1\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea:
\(\displaystyle 4x \geq 5\)
\(\displaystyle x \geq \frac{5}{4}\)

134

Pasul 1: Deoarece baza este aceeași, putem egala argumentele:
\(\displaystyle x^2 + 3x - 4 = 2x + 2\)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația:
\(\displaystyle x^2 + x - 6 = 0\)
\(\displaystyle (x+3)(x-2) = 0\)
\(\displaystyle x = -3\) sau \(\displaystyle x = 2\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmilor:
\( x^2 + 3x - 4 > 0 \), adică \( (x+4)(x-1) > 0 \), deci \( x < -4 \) sau \( x > 1 \)
\( 2x + 2 > 0 \), adică \( x > -1 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -3 \): \( (-3+4)(-3-1) = 1 * -4 = -4 < 0 \) Deci, \( x = -3 \) nu este o soluție.
Pentru \( x = 2 \): \( (2+4)(2-1) = 6 * 1 = 6 > 0 \) și \( 2(2) + 2 = 6 > 0 \). Deci, \( x = 2 \) este o soluție.

135

Pasul 1: Deoarece baza este aceeași, putem egala argumentele:
\(\displaystyle x^2 - 4x + 3 = 3x + 21\)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația:
\(\displaystyle x^2 - 7x - 18 = 0\)
\(\displaystyle (x-9)(x+2) = 0\)
\(\displaystyle x = 9\) sau \(\displaystyle x = -2\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmilor:
\( x^2 - 4x + 3 > 0 \), adică \( (x-1)(x-3) > 0 \), deci \( x < 1 \) sau \( x > 3 \)
\( 3x + 21 > 0 \), adică \( x > -7 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -2 \): \( (-2-1)(-2-3) = (-3)(-5) = 15 > 0 \) și \( 3(-2) + 21 = -6 + 21 = 15 > 0 \). Deci, \( x = -2 \) este o soluție.
Pentru \( x = 9 \): \( (9-1)(9-3) = (8)(6) = 48 > 0 \) și \( 3(9) + 21 = 27 + 21 = 48 > 0 \). Deci, \( x = 9 \) este o soluție.

137

Pasul 1: Pentru ca produsul să fie zero, unul dintre factori trebuie să fie zero.
Deci, \( x^2 - 16 = 0 \) sau \( \sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 0 \)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( x^2 - 16 = 0 \):
\(\displaystyle x^2 = 16\)
\(\displaystyle x = \pm 4\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația \( \sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 0 \):
\(\displaystyle -x^2 + 2x + 15 = 0\)
\(\displaystyle x^2 - 2x - 15 = 0\)
\(\displaystyle (x-5)(x+3) = 0\)
\(\displaystyle x = 5\) sau \(\displaystyle x = -3\)
Pasul 4: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle -x^2 + 2x + 15 \geq 0\)
\(\displaystyle x^2 - 2x - 15 \leq 0\)
\(\displaystyle (x-5)(x+3) \leq 0\)
Deci, \( x \in [-3, 5] \)
Pasul 5: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 4 \): respectă condiția \( x \in [-3, 5] \)
Pentru \( x = -4 \): nu respectă condiția \( x \in [-3, 5] \)
Pentru \( x = 5 \): respectă condiția \( x \in [-3, 5] \)
Pentru \( x = -3 \): respectă condiția \( x \in [-3, 5] \)

140

Condiții:
\( \displaystyle x \neq 0 \)
\( \displaystyle \frac{2}{x} - (3-x) \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{2 - 3x + x^2}{x} \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{x^2 - 3x + 2}{x} \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{x} \geq 0 \)
Tabel de semne:
\( \displaystyle x \in (0, 1] \cup [2, \infty) \)

142

Pasul 1: Trecem la forma exponențială:
\(\displaystyle x^2 - 2x = 2^3\)
\(\displaystyle x^2 - 2x = 8\)
\(\displaystyle x^2 - 2x - 8 = 0\)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(\displaystyle x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmului:
\( x^2 - 2x > 0 \), adică \( x(x - 2) > 0 \), deci \( x < 0 \) sau \( x > 2 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -2 \): \( (-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8 > 0 \). Deci, \( x = -2 \) este o soluție.
Pentru \( x = 4 \): \( (4)^2 - 2(4) = 16 - 8 = 8 > 0 \). Deci, \( x = 4 \) este o soluție.

145

Pasul 1: Condiția de existență:
\( x \geq 0 \)
Pentru ca radicalul să fie egal cu \( x-2 \), trebuie ca \( x-2 \geq 0 \), deci \( x \geq 2 \).
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri:
\(\displaystyle x = (x-2)^2\)
\(\displaystyle x = x^2 - 4x + 4\)
\(\displaystyle x^2 - 5x + 4 = 0\)
\(\displaystyle (x-4)(x-1) = 0\)
\(\displaystyle x = 4\) sau \(\displaystyle x = 1\)
Pasul 3: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 4 \), avem \( \sqrt{4} = 2 \) și \( 4-2 = 2 \). Deci, \( x=4 \) e solutie.
Pentru \( x = 1 \), avem \( \sqrt{1} = 1 \) și \( 1-2 = -1 \), deci nu e solutie.

147

Rezolvare:
Se scrie \(\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right)^{6x+10-x^2} < \frac{27}{64} \), adică \(\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right)^{6x+10-x^2} < \left( \frac{3}{4} \right)^3 \). Din \(\displaystyle 0 < \frac{3}{4} < 1 \), rezultă \(\displaystyle 6x+10-x^2 > 3 \implies -x^2+6x+7 > 0 \implies x^2-6x-7 < 0 \implies x \in (-1, 7) \).

148

Rezolvare:
Avem \( \displaystyle \bar{z} = a - bi \). Atunci \( \displaystyle 2z + \bar{z} = 2(a + bi) + (a - bi) = 3a + bi \).
Calculăm determinantul: \( \displaystyle (3a + bi)(1) - i(1 - 3i) = 3a + bi - i + 3i^2 = 3a + bi - i - 3 = (3a - 3) + (b - 1)i\)
Deci, \( \displaystyle (3a - 3) + (b - 1)i = i \), ceea ce înseamnă \( \displaystyle 3a - 3 = 0 \) și \( \displaystyle b - 1 = 1 \).
Obținem \( \displaystyle a = 1 \) și \( \displaystyle b = 2 \).
Deci, \( \displaystyle z = 1 + 2i \).

149

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 15 + 3x \geq 0\)
\(\displaystyle 3x \geq -15\)
\(\displaystyle x \geq -5\)
Pasul 2: Pentru ca radicalul să fie egal cu \( 1-x \), trebuie ca \( 1-x \geq 0 \), deci \( x \leq 1 \).
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle 15 + 3x = (1-x)^2\)
\(\displaystyle 15 + 3x = 1 - 2x + x^2\)
\(\displaystyle x^2 - 5x - 14 = 0\)
\(\displaystyle (x-7)(x+2) = 0\)
\(\displaystyle x = 7\) sau \(\displaystyle x = -2\)
Pasul 4: Verificăm condițiile:
Pentru \( x = 7 \): nu respectă condiția \( x \leq 1 \).
Pentru \( x = -2 \): respectă condițiile \( x \geq -5 \) și \( x \leq 1 \). Verificăm în ecuația inițială: \( \sqrt{15+3(-2)} = \sqrt{9} = 3 \) și \( 1 - (-2) = 3 \). Deci, \( x = -2 \) este o soluție.

151

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle D(x) = 2(-x - 2x) - 0 + 1(4 + 2) = -6x + 6 \)
Inecuația devine: \( \displaystyle -6x + 6 + (x-1)^2 \geq 0 \)
\( \displaystyle -6x + 6 + x^2 - 2x + 1 \geq 0 \)
\( \displaystyle x^2 - 8x + 7 \geq 0 \)
\( \displaystyle (x - 1)(x - 7) \geq 0 \)
Soluțiile sunt: \( \displaystyle x \in (-\infty, 1] \cup [7, +\infty) \)

153

Rezolvare:
Matricea A este inversabila daca determinantul ei este nenul, diferit de 0.
Calculam determinantul: \( \displaystyle \det(A)=1\begin{vmatrix}x & 1 \\ -2 & x-2\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1 & 1 \\ -2 & x-2\end{vmatrix} +2\begin{vmatrix}1 & x \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 1(x^2-2x+2) -1(x-2+2) + 2(-2+2x) = x^2-2x+2 -x +(-4+4x) = x^2+x-2\)
Pentru a fi inversabila, trebuie sa avem \( \det(A) \neq 0 \):
\( \displaystyle x^2 +x -2 \neq 0 \Leftrightarrow (x+2)(x-1) \neq 0 \Leftrightarrow x\neq -2, x \neq 1 \)
Rezulta ca x poate fi orice numar real, cu exceptia -2 si 1.

156

Pasul 1: Izolăm radicalul:
\(\displaystyle \sqrt{x+2} = x\)
Pasul 2: Condițiile de existență:
\( x + 2 \geq 0 \), deci \( x \geq -2 \)
\( x \geq 0 \)
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri:
\(\displaystyle x+2 = x^2\)
\(\displaystyle x^2 - x - 2 = 0\)
\(\displaystyle (x-2)(x+1) = 0\)
\(\displaystyle x = 2\) sau \(\displaystyle x = -1\)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 2 \): respectă condițiile \( x \geq -2 \) și \( x \geq 0 \). Verificăm ecuația inițială: \( \sqrt{2+2} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 \). Deci, \( x = 2 \) este o soluție.
Pentru \( x = -1 \): nu respectă condiția \( x \geq 0 \).

163

Rezolvare:
Calculăm determinantul:
\( \displaystyle \operatorname{det} A = (2+i)\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 2 & 2-i\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}i & 0 \\ 1+bi & 2-i\end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix}i & 1 \\ 1+bi & 2\end{vmatrix} \)
\( \displaystyle = (2+i)(2-i) - (i(2-i)) - (2i - (1+bi)) = 4 + 1 - 2i + i^2 + 1 + bi - 2i = 5 - 2i -1 - 2i + 1 + bi = 5 + (b-4)i \)
Pentru ca \( \displaystyle \det A \) să fie real, partea imaginară trebuie să fie 0: \( \displaystyle b - 4 = 0 \), deci \( \displaystyle b = 4 \).

164

Pasul 1: Trecem la forma exponențială. Deoarece baza este mai mică decât 1 (\(\displaystyle \frac{1}{3} < 1\)), inversăm semnul inegalității:
\(\displaystyle x^2 - 6x + 9 < \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
\(\displaystyle x^2 - 6x + 9 < 9\)
\(\displaystyle x^2 - 6x < 0\)
\(\displaystyle x(x - 6) < 0\)
Pasul 2: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Rădăcinile sunt \( x = 0 \) și \( x = 6 \). Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:
\(\displaystyle x \in (0, 6)\)
Pasul 3: Condiția de existență a logaritmului: \( x^2 - 6x + 9 > 0 \).
Observăm că \( x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \). Deci, \( (x-3)^2 > 0 \) pentru orice \( x \neq 3 \).
Pasul 4: Intersectăm soluțiile: \( x \in (0, 6) \) și \( x \neq 3 \). Deci, \( x \in (0, 3) \cup (3, 6) \).

166

Condiții:
\( \displaystyle x \neq 0 \)
\( \displaystyle \frac{1+x}{x} - 2 \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{1+x - 2x}{x} \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{1 - x}{x} \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{x-1}{x} \leq 0 \)
\( \displaystyle x \in (0, 1] \)

168

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_3((x-2)x) = \log_3 8\)
Pasul 2: Deoarece baza este aceeași, putem egala argumentele:
\(\displaystyle (x-2)x = 8\)
\(\displaystyle x^2 - 2x = 8\)
\(\displaystyle x^2 - 2x - 8 = 0\)
\(\displaystyle (x-4)(x+2) = 0\)
\(\displaystyle x = 4\) sau \(\displaystyle x = -2\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmilor:
\( x - 2 > 0 \), deci \( x > 2 \)
\( x > 0 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = 4 \): \( 4 - 2 = 2 > 0 \) și \( 4 > 0 \). Deci, \( x = 4 \) este o soluție.
Pentru \( x = -2 \): \( -2 - 2 = -4 < 0 \). Deci, \( x = -2 \) nu este o soluție.

170

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}(1+x)>\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 1 + x < \frac { 1 } { 3 } } \\ { 1 + x > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x<-\frac{2}{3} \\ x>-1 \end{array} \Leftrightarrow x \in\left(-1 ;-\frac{2}{3}\right) .\right.\right. \)

172

Pasul 1: Pentru ca produsul să fie zero, unul dintre factori trebuie să fie zero.
Deci, \( x^2 - 3x - 10 = 0 \) sau \( \sqrt{4-x} = 0 \)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( x^2 - 3x - 10 = 0 \):
\(\displaystyle (x-5)(x+2) = 0\)
\(\displaystyle x = 5\) sau \(\displaystyle x = -2\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația \( \sqrt{4-x} = 0 \):
\(\displaystyle 4-x = 0\)
\(\displaystyle x = 4\)
Pasul 4: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 4 - x \geq 0\)
\(\displaystyle x \leq 4\)
Pasul 5: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 5 \): nu respectă condiția \( x \leq 4 \)
Pentru \( x = -2 \): respectă condiția \( x \leq 4 \)
Pentru \( x = 4 \): respectă condiția \( x \leq 4 \)

173

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle D(x) = 1(4 - 2x^2) - x(8 - 6x) - 1(2x - 3) = 4 - 2x^2 - 8x + 6x^2 - 2x + 3 = 4x^2 - 10x + 7 \)
Inecuația devine: \( \displaystyle \frac{4x^2 - 10x + 7}{x + 1} \geq 1 \)
\( \displaystyle \frac{4x^2 - 10x + 7}{x + 1} - 1 \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{4x^2 - 10x + 7 - (x+1)}{x + 1} \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{4x^2 - 11x + 6}{x + 1} \geq 0 \)
Factorizăm numărătorul: \( \displaystyle 4x^2 - 11x + 6 = (x - 2)(4x - 3) \)
Inecuația devine: \( \displaystyle \frac{(x - 2)(4x - 3)}{x + 1} \geq 0 \)
Realizăm tabelul de semne:
Soluțiile sunt: \( \displaystyle x \in (-1, \frac{3}{4}] \cup [2, +\infty) \)

175

Pasul 1: Trecem în forma exponențială:
\(\displaystyle x^2 - 3x + 1 = (x+1)^1\)
\(\displaystyle x^2 - 3x + 1 = x + 1\)
\(\displaystyle x^2 - 4x = 0\)
\(\displaystyle x(x-4) = 0\)
\(\displaystyle x=0, x=4\)
Pasul 2: Condiții de existență:
\( x+1 > 0; x+1 \neq 1; x^2 - 3x + 1 > 0 \)
\( x > -1; x \neq 0; x^2 - 3x + 1 > 0 \)
Pasul 3: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 0 \), avem \( x+1 = 1 \) deci nu convine.
Pentru \( x = 4 \), \( x+1 = 5 \) și \( x^2-3x+1 = 16-12+1 = 5 \) și \( 5 > 0 \). Deci, e solutie.

177

Pasul 1: Trecem la forma exponențială:
\(\displaystyle 4x - 3 = x^2\)
\(\displaystyle x^2 - 4x + 3 = 0\)
\(\displaystyle (x-1)(x-3) = 0\)
\(\displaystyle x = 1\) sau \(\displaystyle x = 3\)
Pasul 2: Condițiile de existență:
\( x > 0 \)
\( x \neq 1 \)
\( 4x - 3 > 0 \), deci \( x > \frac{3}{4} \)
Pasul 3: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x=1 \), nu este definit logaritmul. Deci, \(x=1\) nu e solutie.
Pentru \( x=3 \), \( x > 0 \), \( x > \frac{3}{4} \) și \(x \neq 1 \). Deci, e solutie.

178

Pasul 1: Factorizăm numitorul din partea dreaptă:
\(\displaystyle \frac{x+2}{x-2} = \frac{x^2}{(x-2)(x+2)}\)
Pasul 2: Înmulțim ambele părți cu \( (x-2)(x+2) \), cu condiția ca \( x \neq 2 \) și \( x \neq -2 \):
\(\displaystyle (x+2)^2 = x^2\)
\(\displaystyle x^2 + 4x + 4 = x^2\)
\(\displaystyle 4x + 4 = 0\)
\(\displaystyle 4x = -4\)
\(\displaystyle x = -1\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență: \( x \neq 2 \) și \( x \neq -2 \). Soluția \( x = -1 \) respectă aceste condiții.

181

Pasul 1: Trecem la forma exponențială. Deoarece baza este mai mică decât 1 (\(\displaystyle \frac{1}{2} < 1\)), inversăm semnul inegalității:
\(\displaystyle x - 2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\)
\(\displaystyle x - 2 \leq 2\)
\(\displaystyle x \leq 4\)
Pasul 2: Condiția de existență a logaritmului: \( x - 2 > 0 \), deci \( x > 2 \).
Pasul 3: Intersectăm soluțiile: \( x \leq 4 \) și \( x > 2 \). Deci, \( x \in (2, 4] \).

182

Pasul 1: Deoarece baza este aceeași, putem egala argumentele:
\(\displaystyle 2x - 3 = x - 1\)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația:
\(\displaystyle x = 2\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmilor:
\( 2x - 3 > 0 \), deci \( x > \frac{3}{2} \)
\( x - 1 > 0 \), deci \( x > 1 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluția respectă condițiile de existență: \( x = 2 \) respectă condițiile \( x > \frac{3}{2} \) și \( x > 1 \).

187

Pasul 1: Deoarece baza este mai mare decât 1 (7 > 1), funcția logaritmică este crescătoare, deci putem compara argumentele:
\(\displaystyle x - 3 > 2x + 6\)
Pasul 2: Rezolvăm inegalitatea:
\(\displaystyle -x > 9\)
\(\displaystyle x < -9\)
Pasul 3: Condițiile de existență a logaritmilor:
\( x - 3 > 0 \), deci \( x > 3 \)
\( 2x + 6 > 0 \), deci \( 2x > -6 \), adică \( x > -3 \)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile: \( x < -9 \), \( x > 3 \) și \( x > -3 \). Nu există intersecție, deci nu există soluții.

188

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle 2(3(x+2) - 1) + 3(3 + 2) + 1(-1 - 2(x+2)) = 2(3x + 5) + 15 - 1 - 2x - 4 = 6x + 10 + 15 - 5 - 2x = 4x + 20 \).
Inecuația devine: \( \displaystyle 4x + 20 < 0 \), adică \( \displaystyle 4x < -20 \), deci \( \displaystyle x < -5 \).
Cea mai mare soluție întreagă este -6.

189

Pasul 1: Aduce la aceeași bază:
\(\displaystyle (2^{-6})^{x+2} = 2^3 \cdot 2^{-x}\)
\(\displaystyle 2^{-6x-12} = 2^{3-x}\)
Pasul 2: Egalează exponenții:
\(\displaystyle -6x - 12 = 3 - x\)
Pasul 3: Rezolvă ecuația:
\(\displaystyle -5x = 15\)
\(\displaystyle x = -3\)

193

Pasul 1: Condițiile de existență:
\(\displaystyle 9x - 5x^2 \geq 0\)
\(\displaystyle x(9-5x) \geq 0\)
\(\displaystyle x(x - \frac{9}{5}) \leq 0\)
\(\displaystyle x \in [0, \frac{9}{5}]\)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri:
\(\displaystyle 9x - 5x^2 = 4\)
\(\displaystyle 5x^2 - 9x + 4 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(5)(4)}}{2(5)} = \frac{9 \pm \sqrt{81-80}}{10} = \frac{9 \pm 1}{10}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{9-1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8; x_2 = \frac{9+1}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
Pasul 3: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 0.8 \), respectă \( x \in [0, \frac{9}{5}] \)
Pentru \( x = 1 \), respectă \( x \in [0, \frac{9}{5}] \)

197

Rezolvare:
\( \displaystyle \lg (3 x) \leq \lg \left(4-x^{2}\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { 3 x \leq 4 - x ^ { 2 } } \\ { 3 x > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 \leq 0 } \\ { x > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x \in[-4 ; 1] \\ x>0 \end{array} \Leftrightarrow x \in(0 ; 1]\right.\right.\right. \text {. } \)

198

Pasul 1: Condițiile de existență a radicalilor:
\(\displaystyle 1 + 3x - x^3 \geq 0\) și \(\displaystyle 1 - x \geq 0\), deci \( x \leq 1 \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle 1 + 3x - x^3 = 1 - x\)
\(\displaystyle 4x - x^3 = 0\)
\(\displaystyle x(4 - x^2) = 0\)
\(\displaystyle x(2 - x)(2 + x) = 0\)
Deci, \( x = 0 \), \( x = 2 \) sau \( x = -2 \)
Pasul 3: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 0 \): \( \sqrt{1+0-0} = \sqrt{1} \) și \( \sqrt{1-0} = \sqrt{1} \). Deci, \( x = 0 \) este o soluție.
Pentru \( x = 2 \): nu respectă condiția \( x \leq 1 \).
Pentru \( x = -2 \): respectă condiția \( x \leq 1 \), și \( 1+3(-2) - (-2)^3 = 1-6+8 = 3 \geq 0 \).
Verificăm ecuația inițială: \( \sqrt{1+3(-2)-(-2)^3} = \sqrt{1-6+8} = \sqrt{3} \) și \( \sqrt{1-(-2)} = \sqrt{3} \). Deci, \( x = -2 \) este o soluție.

200

Rezolvare:
Determinantul: \( \sqrt{x-2} \cdot 1 - 2 \cdot 1 < 1 \implies \sqrt{x-2} < 3 \implies x - 2 < 9 \implies x < 11 \), cu \( x \geq 2 \).

201

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_3(x(x+3)) = \log_3(x+24)\)
Pasul 2: Deoarece baza este aceeași, putem egala argumentele:
\(\displaystyle x(x+3) = x + 24\)
\(\displaystyle x^2 + 3x = x + 24\)
\(\displaystyle x^2 + 2x - 24 = 0\)
\(\displaystyle (x+6)(x-4) = 0\)
\(\displaystyle x = -6\) sau \(\displaystyle x = 4\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmilor:
\( x > 0 \)
\( x + 3 > 0 \), deci \( x > -3 \)
\( x + 24 > 0 \), deci \( x > -24 \)
Pasul 4: Verificăm dacă soluțiile respectă condițiile de existență:
Pentru \( x = -6 \): \( -6 < 0 \). Deci, \( x = -6 \) nu este o soluție.
Pentru \( x = 4 \): \( 4 > 0 \), \( 4 + 3 = 7 > 0 \) și \( 4 + 24 = 28 > 0 \). Deci, \( x = 4 \) este o soluție.

204

Condiții:
\( \displaystyle x \neq 0 \)
\( \displaystyle x - \frac{9}{x} \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{x^2 - 9}{x} \geq 0 \)
\( \displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x} \geq 0 \)
Tabel de semne:
\( \displaystyle x \in [-3, 0) \cup [3, \infty) \)

205

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle \det(A) = \log_2(m) \cdot \log_2(2m) - 4 \log_2(m-1) \)
Matricea este inversabilă dacă și numai dacă \( \displaystyle \det(A) \neq 0 \).
\( \displaystyle \log_2(m) \cdot \log_2(2m) - 4 \log_2(m-1) \neq 0 \)
Condiții de existență: \( \displaystyle m > 0 \), \( \displaystyle m-1 > 0 \), deci \( \displaystyle m > 1 \).
Folosim proprietatea \( \displaystyle \log_2(2m) = \log_2 2 + \log_2 m = 1 + \log_2 m \)
\( \displaystyle \log_2(m) \cdot (1 + \log_2 m) - 4 \log_2(m-1) \neq 0 \)
\( \displaystyle \log_2^2(m) + \log_2(m) - 4 \log_2(m-1) \neq 0 \)
Fie \( \displaystyle y = \log_2 m \). Atunci \( \displaystyle m = 2^y \), iar \( \displaystyle m - 1 = 2^y - 1 \).
\( \displaystyle y^2 + y - 4 \log_2(2^y - 1) \neq 0 \)
Nu putem rezolva analitic această ecuație.
Încercăm să găsim valorile lui \( m \) pentru care \( \displaystyle \det(A) = 0 \):
\( \displaystyle \log_2(m) \cdot (1 + \log_2 m) = 4 \log_2(m-1) \)
Pentru \( \displaystyle m = 2 \), \( \displaystyle \log_2(2) \cdot (1 + \log_2 2) = 1 \cdot (1 + 1) = 2 \) și \( \displaystyle 4 \log_2(2-1) = 4 \log_2(1) = 0 \). Nu e soluție.
Pentru \( \displaystyle m = 4 \), \( \displaystyle \log_2(4) \cdot (1 + \log_2 4) = 2 \cdot (1 + 2) = 6 \) și \( \displaystyle 4 \log_2(4-1) = 4 \log_2(3) = 4 * 1.58 = 6.32 \). Nu e soluție exactă, dar aproape.
Deducem că \( \displaystyle m = 2 \) și \( \displaystyle m = 4 \) sunt valori de interes (unde determinantul s-ar putea anula sau schimba semnul).

209

Rezolvare:
\(\displaystyle x-2 + 0 - x(x-2) + x-2 - x(x-1) - 0 = 2-3x \\ x-2 - x^2 + 2x + x-2 - x^2 + x = 2-3x \\ -2x^2 + 5x - 4 = 2 - 3x \\ -2x^2 + 8x - 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \) cu soluții \( x_1 = 1, x_2 = 3 \).

214

Pasul 1: Trecem la forma exponențială:
\(\displaystyle x^2 - 4x + 3 < 8^1\)
\(\displaystyle x^2 - 4x + 3 < 8\)
\(\displaystyle x^2 - 4x - 5 < 0\)
Pasul 2: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( x^2 - 4x - 5 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:
\(\displaystyle x \in (-1, 5)\)
Pasul 3: Condiția de existență a logaritmului: \( x^2 - 4x + 3 > 0 \).
Găsim rădăcinile ecuației \( x^2 - 4x + 3 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută în afara rădăcinilor:
\(\displaystyle x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile: \( x \in (-1, 1) \cup (3, 5) \).

215

Pasul 1: Pentru ca produsul să fie zero, unul dintre factori trebuie să fie zero.
Deci, \( \sqrt{-x} = 0 \) sau \( \sqrt{3-x} = 0 \)
Pasul 2: Caz 1: \( \sqrt{-x} = 0 \)
\(\displaystyle -x = 0\)
\(\displaystyle x = 0\)
Caz 2: \( \sqrt{3-x} = 0 \)
\(\displaystyle 3-x = 0\)
\(\displaystyle x = 3\)
Pasul 3: Condițiile de existență:
\( -x \geq 0 \), deci \( x \leq 0 \)
\( 3-x \geq 0 \), deci \( x \leq 3 \)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 0 \): respectă condițiile \( x \leq 0 \) și \( x \leq 3 \).
Pentru \( x = 3 \): nu respectă condiția \( x \leq 0 \).

217

Pasul 1: Pentru ca produsul să fie zero, unul dintre factori trebuie să fie zero.
Deci, \( 9 - x^2 = 0 \) sau \( \sqrt{2-x} = 0 \)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( 9 - x^2 = 0 \):
\(\displaystyle x^2 = 9\)
\(\displaystyle x = \pm 3\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația \( \sqrt{2-x} = 0 \):
\(\displaystyle 2 - x = 0\)
\(\displaystyle x = 2\)
Pasul 4: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 2 - x \geq 0\)
\(\displaystyle x \leq 2\)
Pasul 5: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 3 \): nu respectă condiția \( x \leq 2 \)
Pentru \( x = -3 \): respectă condiția \( x \leq 2 \)
Pentru \( x = 2 \): respectă condiția \( x \leq 2 \)

218

Pasul 1: Izolăm radicalul:
\(\displaystyle \sqrt{x-1} = x - 7\)
Pasul 2: Condițiile de existență:
\( x - 1 \geq 0 \), deci \( x \geq 1 \)
\( x - 7 \geq 0 \), deci \( x \geq 7 \)
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri:
\(\displaystyle x - 1 = (x-7)^2\)
\(\displaystyle x - 1 = x^2 - 14x + 49\)
\(\displaystyle x^2 - 15x + 50 = 0\)
\(\displaystyle (x-5)(x-10) = 0\)
\(\displaystyle x = 5\) sau \(\displaystyle x = 10\)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 5 \): nu respectă condiția \( x \geq 7 \).
Pentru \( x = 10 \): respectă condiția \( x \geq 7 \). Verificăm ecuația inițială: \( \sqrt{10-1} + 7 = 3 + 7 = 10 \). Deci, \( x = 10 \) este o soluție.

220

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle (x - yi)i - 2x(2+i) = xi + y - 4x - 2xi = (y - 4x) + (x - 2x)i = (y - 4x) - xi \)
Deci, \( \displaystyle (y - 4x) - xi = 1 + 2i \). Egalăm părțile reale și imaginare:
\( \displaystyle y - 4x = 1 \) și \( \displaystyle -x = 2 \), deci \( \displaystyle x = -2 \)
Înlocuim în prima ecuație: \( \displaystyle y - 4(-2) = 1 \), deci \( \displaystyle y + 8 = 1 \), deci \( \displaystyle y = -7 \)

221

Rezolvare:
\( D(x) = 1 - \log_3 x \geq 0 \implies \log_3 x \leq 1 \implies x \leq 3 \), cu \( x > 0 \).

224

Pasul 1: Trecem la forma exponențială:
\(\displaystyle \frac{x-3}{x+3} = 3^1\)
\(\displaystyle \frac{x-3}{x+3} = 3\)
Pasul 2: Rezolvăm ecuația:
\(\displaystyle x - 3 = 3(x + 3)\)
\(\displaystyle x - 3 = 3x + 9\)
\(\displaystyle -2x = 12\)
\(\displaystyle x = -6\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență ale logaritmului:
\( \frac{x-3}{x+3} > 0 \), adică \( \frac{-6-3}{-6+3} = \frac{-9}{-3} = 3 > 0 \)
\( x - 3 > 0 \), deci \( x > 3 \)
\( x + 3 > 0 \), deci \( x > -3 \)
Pasul 4: Soluția \( x = -6 \) trebuie să respecte condițiile \( x > 3 \) și \( x > -3 \). Dar, \( x = -6 \) nu respectă aceste condiții.
\(x-3 < 0, x+3 < 0 \), deci \( x < 3 \) și \( x < -3 \)
Deci, \( x < -3 \)
Soluția \( x = -6 \) respectă condiția \( x < -3 \)

225

Rezolvare:
Calculăm determinantul: \( \displaystyle 1(x - 3x) - 2(-x^2 - 2x) + 3(3x + 2) = -2x + 2x^2 + 4x + 9x + 6 = 2x^2 + 11x + 6 \).
Inecuația devine: \( \displaystyle 2x^2 + 11x + 6 + 8 \geq 0 \), adică \( \displaystyle 2x^2 + 11x + 14 \geq 0 \).
Calculăm discriminantul: \( \displaystyle \Delta = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 14 = 121 - 112 = 9 \).
Soluțiile ecuației \( \displaystyle 2x^2 + 11x + 14 = 0 \) sunt \( \displaystyle x_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-11 \pm 3}{4} \), adică \( \displaystyle x_1 = -2 \) și \( \displaystyle x_2 = -\frac{7}{2} = -3.5 \).
Deoarece coeficientul lui \( \displaystyle x^2 \) este pozitiv, parabola este pozitivă în afara intervalului dintre rădăcini.
Deci, \( \displaystyle S = (-\infty, -3.5] \cup [-2, +\infty) \).

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări