Probabilitate

Probabilitatea este o ramură a matematicii care studiază șansele ca un anumit eveniment să se producă.

Definiții de bază

Un experiment este o acțiune care produce un rezultat. Un eveniment este un rezultat posibil al unui experiment.

\[ P(A) = \frac{m}{n} \]

Unde:

$ m $ - reprezintă numărul de cazuri favorabile (cazuri care verifică condiția evenimentului $ A $);
$ n $ - reprezintă numărul total de cazuri posibile.

Exemplu de bază

Să presupunem că aruncăm un zar. Care este probabilitatea apare o față cu un număr par?

Rezolvare:
Numărul de cazuri favorabile ($ m $) este 3 ($ \{2, 4, 6\} $), iar numărul total de cazuri ($ n $) este 6 (zarul are 6 fete).
$\displaystyle P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.

Exemplu complex

Într-o cutie sunt 4 creioane roșii și 6 creioane verzi. Care este probabilitatea ca, dacă alegem două creioane, acestea să fie de aceeași culoare?

Rezolvare:

Evenimentul $ A $: să alegem două creioane de aceeași culoare ($ 2 $ roșii sau $ 2 $ verzi).
Numărul total de cazuri posibile ($ n $): $\displaystyle C_{10}^2 = \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 $.
Numărul de cazuri favorabile ($ m $): $ C_6^2 + C_4^2 $:
- $\displaystyle C_6^2 = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 $;
- $\displaystyle C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $.
Total: $ m = 15 + 6 = 21 $.
Calculăm probabilitatea: $\displaystyle P(A) = \frac{m}{n} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15} $.

Răspuns: Probabilitatea este $\displaystyle \frac{7}{15} $.

Exerciții

Într-o urnă sunt 10 bile albe și 4 bile roșii. Care este probabilitatea că se vor extrage 2 bile de aceeași culoare?

Într-o cutie sunt 60 monede, dintre care 10 sunt false. Se extrag la întâmplare 2 monede. Care este probabilitatea ca ambele monede vor fi adevărate?

Într-o urnă sunt 7 bile albe și 3 bile negre. Care este probabilitatea ca se vor extrage 2 bile de culori diferite?

Într-o urnă cu 20 de bile, 4 sunt albe iar celelalte sunt negre. Se extrag 3 bile. Determinați probabilitatea ca cel puțin 2 bile sunt negre.

Într-o clasă sunt 17 fete și 13 băieți. Se aleg la întâmplare 2 elevi. Calculați probabilitatea ca se aleg 2 băieți.

Într-o clasă sunt 15 fete și 20 băieți. Se aleg la întâmplare 2 elevi. Calculați probabilitatea ca se alege o fată și un băiat.

Răspunsuri

$\displaystyle \frac{51}{91}$

$\displaystyle \frac{245}{354}$

$\displaystyle \frac{7}{15}$

$\displaystyle \frac{52}{57}$

$\displaystyle \frac{26}{145}$

$\displaystyle \frac{60}{119}$

Rezolvări

Total bile: 10 + 4 = 14
Numărul total de moduri de a extrage 2 bile: $$ C_{14}^2 = 91 $$
Număr moduri cu 2 bile de aceeași culoare:
alb: $$ C_{10}^2 = 45 $$
roșii: $$ C_{4}^2 = 6 $$
Total favorabile: 45 + 6 = 51
Probabilitatea: $$ P = \frac{51}{91} $$

Număr monede adevărate: 60 - 10 = 50
Total moduri de a extrage 2 monede: $$ C_{60}^2 = 1770 $$
Moduri de a extrage 2 monede adevărate: $$ C_{50}^2 = 1225 $$
Probabilitatea ca ambele să fie adevărate: $$ P = \frac{1225}{1770} = \frac{245}{354} $$

Într-o urnă sunt 7 bile albe și 3 bile negre.
Total bile: 7 + 3 = 10
Total moduri de extragere a 2 bile: $$ C_{10}^2 = 45 $$
Moduri favorabile (o bilă albă și una neagră): $$ C_7^1 \cdot C_3^1 = 7 \cdot 3 = 21 $$
Probabilitatea: $$ P = \frac{21}{45} = \frac{7}{15} $$

Într-o urnă cu 20 de bile, 4 sunt albe (restul negre, deci 16 negre).
Total moduri de extragere a 3 bile: $$ C_{20}^3 = 1140 $$
Favorabile (cel puțin 2 negre):
exact 2 negre și 1 alb: $$ C_{16}^2 \cdot C_{4}^1 = 120 \cdot 4 = 480 $$
exact 3 negre: $$ C_{16}^3 = 560 $$
Total favorabile: 480 + 560 = 1040
Probabilitatea: $$ P = \frac{1040}{1140} = \frac{52}{57} $$

Într-o clasă sunt 17 fete și 13 băieți.
Total elevi: 17 + 13 = 30
Total moduri de a alege 2 elevi: $$ C_{30}^2 = 435 $$
Moduri de a alege 2 băieți: $$ C_{13}^2 = 78 $$
Probabilitatea: $$ P = \frac{78}{435} = \frac{26}{145} $$

Într-o clasă sunt 15 fete și 20 băieți.
Total elevi: 15 + 20 = 35
Total moduri de a alege 2 elevi: $$ C_{35}^2 = 595 $$
Moduri favorabile (o fată și un băiat): 15 × 20 = 300
Probabilitatea: $$ P = \frac{300}{595} = \frac{60}{119} $$

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări