Ecuații exponentiale (puteri)

Definiție

O ecuație exponențială este o ecuație care conține \(x\) la putere, de forma generală:

\[ a^{f(x)} = a^{g(x)}\]

Metoda de rezolvare

  1. Transformăm toate puterile astfel încât să aibă aceeași bază.
  2. Egalăm puterile:

    3. \[ a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x). \]

  3. Rezolvăm ecuația.

Exemplu rezolvat

Rezolvați ecuația: \[ \left( \frac{1}{5} \right)^{x+3-x^2} - 125 = 0 \]

  1. Scriem ecuația astfel: \[ \left( \frac{1}{5} \right)^{x+3-x^2} = 125 \]
  2. Transformăm bazele astfel încât să fie egale: \[ \left( 5^{-1} \right)^{x+3-x^2} = 5^3 \] Ecuația devine: \[ 5^{-1 \cdot (x+3-x^2)} = 5^3 \]
  3. Egalăm exponenții: \[ -1 \cdot (x+3-x^2) = 3. \] Rezultă: \[ -x - 3 + x^2 = 3 \implies x^2 - x - 6 = 0 \]
  4. Rezolvăm ecuația de gradul 2 folosind formula generală: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25, \quad \sqrt{\Delta} = 5 \] Soluțiile sunt: \[ x_1 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]

Răspuns: \( S = \{-2; 3\} \)

Exerciții

1
Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 2^{x+3} = 16 \)
2
Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 3^{2x-1} = 81 \)
3
Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 5^{-x+4} = 125 \)
4
Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 2^{x^2 + 3x} = 16 \)
5
Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( (0,5)^{-x^2 + 3} = 0,25 \)
6
Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} = \sqrt{3} \)
7
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 4^{-3x - 6} = 2^{-x} \cdot 8 \)
8
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^{2x-1} = \displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x-5} \)
9
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 2 - 3^{x^2 - 1} = 1 \)
10
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{1}{27}\right)^{0,5x-1} = 9 \)
11
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(3^{x+2} = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 5}\).
12
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(4^{-3x - 6} = 2^{-x} \cdot 8\).
13
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 2^{x^2 - 1} \cdot 5^{x^2 - 1} = 0,001 \cdot (10^{x+2})^3 \)
14
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( (0,25)^x = \frac{128}{2^{x-1}} \)
15
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( (0,5)^{x^2} \cdot 2^{2x+3} = 64^{-1} \)
16
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^x \cdot \displaystyle \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{\lg 4}{\lg 8} \)
17
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{2x^2}{3}} = 4^{-x} \cdot 8^{-4} \)
18
\( 0,6 \cdot \left( \frac{25}{9} \right)^{x^2 - 12} = \left( \frac{27}{125} \right)^3 \)
19
Să se afle suma soluțiilor reale ale ecuației \(\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \displaystyle \left(\frac{9}{25}\right)^{x^2 + 2x - 11} = \displaystyle \left(\frac{3}{5}\right)^{-9}\).
20
Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(9^{-4x - 5} = 3^{-x} \cdot \frac{1}{27}\).

Răspunsuri

Înapoi Următor