Logaritmi
1. Definitii ale logaritmilor
Logaritmul este operatia de a afla la ce putere trebuie ridicata baza logaritmului, ca rezultatul sa fie numarul dinauntrul logaritmului.
\( \log_a b = c \iff a^c = b \).
Se citeste ca "logaritm in baza a din b"
Proprietăți ale logaritmilor
- \( \log_a 1 = 0 \)
- \( \log_a a = 1 \)
- \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \)
- \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \)
- \( \log_a b^n = n \cdot \log_a b \)
- \( \log_{a^m} b = \frac{1}{m} \cdot \log_a b \)
- \( a^{\displaystyle \log_a b} = b \)
- \(\displaystyle \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \)
- \( \ln a = \log_e a \), unde \( e \approx 2.71 \) (logaritm natural)
- \( \lg a = \log_{10} a \) (logaritm zecimal)
2. Exemple simple rezolvate
- \( \log_{16} 1 = 0 \); \( \log_{15} 1 = 0 \).
- \( \log_9 9 = 1 \); \( \log_4 4 = 1 \); \( \log_{30} 30 = 1 \).
- \( \log_2 32 = 5 \); \( \log_{11} 11^6 = 6 \log_{11} 11 = 6 \cdot 1 = 6 \).
- \( \log_{36} 6 + \log_{36} 6 = \log_{36} (6 \cdot 6) = \log_{36} 36 = 1 \).
- \( \log_9 18 - \log_9 2 = \log_9 \frac{18}{2} = \log_9 9 = 1 \).
- \( \log_7 7^2 = 2 \cdot \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2 \).
- \( \log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \log_2 2 = \frac{3}{2} \).
- \(\displaystyle \frac{1}{\log_5 4} = \log_4 5 \); \(\displaystyle \frac{1}{\log_7 9} = \log_9 7 \).
3. Exemplu complex rezolvat
De rezolvat: \(\displaystyle \log_3 \frac{2}{3} + \log_3 18 - \log_{\sqrt{3}} 2 \) \[ \log_3 \left( \frac{2}{3} \cdot 18 \right) - \log_{3^\frac{1}{2}} 2 \]
\[ \log_3 \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{18}{1} \right) - \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 2 \]
\[ \log_3 \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{6}{1} \right) - 1 : \frac{1}{2} \cdot \log_3 2 \]
\[ \log_3 12 - 1 \cdot \frac{2}{1} \cdot \log_3 2 \]
\[ \log_3 12 - 2 \cdot \log_3 2 \]
\[ \log_3 12 - \log_3 2^2 \]
\[ \log_3 12 - \log_3 4 \]
\[ \log_3 \frac{12}{4} \]
\[ \log_3 3 \]
\[ 1 \]
\[ \log_3 \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{18}{1} \right) - \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 2 \]
\[ \log_3 \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{6}{1} \right) - 1 : \frac{1}{2} \cdot \log_3 2 \]
\[ \log_3 12 - 1 \cdot \frac{2}{1} \cdot \log_3 2 \]
\[ \log_3 12 - 2 \cdot \log_3 2 \]
\[ \log_3 12 - \log_3 2^2 \]
\[ \log_3 12 - \log_3 4 \]
\[ \log_3 \frac{12}{4} \]
\[ \log_3 3 \]
\[ 1 \]
Răspuns: \( 1 \)
Exerciții
1
Calculați: \(\displaystyle \log_2 8\)
2
Calculați: \(\displaystyle \log_5 25\)
3
Calculați: \(\displaystyle \log_3 81\)
4
Calculați: \(\displaystyle \lg 1000\)
5
Calculați: \(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}\)
6
Calculați: \(\displaystyle \log_7 49\)
7
Calculați: \(\displaystyle \log_3 \frac{1}{27}\)
8
Calculați: \( \lg 0,001 \)
9
Calculați: \(\displaystyle \log_4 8\)
10
Calculați: \(\displaystyle \log_4 \sqrt[4]{8}\)
11
Calculați: \(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{9}\)
12
Calculați: \(\displaystyle \log_6 48 - \log_6 4 + \log_6 3 + \log_2 \frac{1}{8}\)
13
Calculați: \(\displaystyle \log_7 56 + \log_7 2 - 2 \log_7 4\)
14
Calculați: \(\displaystyle \log_{12} 3 + \log_{12} 4 + 12^{\log_{144} 4} + \log_{\frac{1}{2}} 8\)
15
Calculați: \(\displaystyle 0,8 \cdot \big(1 + 9^{\log_3 8} \big) ^ {\log_{65} 5} \)
16
Calculați: \(\displaystyle 2^{3 + \log_2 3} - \log_3 \frac{1}{27}\)
17
Calculați: \(\displaystyle \sqrt{100^{1 - \lg 2}}\)
18
Calculați: \(\displaystyle 2^{2 + \log_8 125} - 2^{\frac{2}{\log_7 2}}\)
19
Calculați: \(\displaystyle 2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 16\)
20
Calculați: \(\displaystyle \log_{125} 5 - \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{2} + \log_{2,5} 0,4 - \log_8 2\)