Ecuații de Gradul 2 în C

Teorie

O ecuație de gradul 2 în forma generală este: \[ z^2 + bz + c = 0, \] unde coeficienții \( a, b, c \in \mathbb{C} \) și \( a \neq 0 \).

Acestea se rezolva asemanator ecuatiilor simple de gradul 2. Deci, se folosește formula generală a soluțiilor: \[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \] unde discriminantul este definit astfel: \[ \Delta = b^2 - 4ac. \]

În \( \mathbb{C} \), rădăcina pătrată a unui număr negativ se exprimă cu unitatea imaginară \( i \), unde \( i^2 = -1 \): \[ \sqrt{-a} = i\sqrt{a}, \quad a > 0. \]

Exemplu Rezolvat

Rezolvați ecuația în \( \mathbb{C} \) \(\displaystyle z^2 + 4z + 5 = 0 \)

1) Calculul discriminantului (\( \Delta \))

  • Identificăm coeficienții: \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 5 \).
  • Calculăm discriminantul: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4. \] Deoarece \( \Delta < 0 \), soluțiile vor fi complexe.

2) Calculul soluțiilor

Folosim formula soluțiilor: \[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}. \]

  • Rădăcina pătrată a discriminantului: \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-4} = 2i. \]
  • Substituim în formula soluțiilor: \[ z_1 = \frac{-4 - 2i}{2} = -2 - i, \quad z_2 = \frac{-4 + 2i}{2} = -2 + i. \]

3) Soluția finală

Soluțiile ecuației sunt:

\[ S = \{-2 - i, -2 + i\} \]

Exerciții

1
Rezolvați ecuația: \( z^2 + 2z + 5 = 0 \)
2
Rezolvați ecuația: \( z^2 + 1 = 0 \)
3
Rezolvați ecuația: \( 6z^2 - z + 2 = 0 \)
Înapoi Următor