Asimptote

Asimptota orizontală

O funcție are o asimptotă orizontală dacă există limita funcției la infinit sau la minus infinit:

\[ y = \lim_{x \to \infty} f(x) \quad \text{(sau)} \quad y = \lim_{x \to -\infty} f(x) \]

Rezultatul limitei reprezintă ecuația asimptotei orizontale.

Exemplu:

Calculați asimptota orizontală pentru funcția \(f(x) = \displaystyle \frac{2x + 3}{x + 1}\):

\[ \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{2x + 3}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{2 + \displaystyle \frac{3}{x}}{1 + \displaystyle \frac{1}{x}} = \displaystyle \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2 \]

Asimptota orizontală este \(y = 2\).

Asimptota oblică

O funcție are o asimptotă oblică de forma \(y = mx + n\) dacă:

\[ m = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{f(x)}{x}, \quad n = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right) \]

Exemplu:

Calculați asimptota oblică pentru funcția \(f(x) = \displaystyle \frac{x^2 + x + 1}{x}\):

\[ m = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{x^2 + x + 1}{x^2} = 1 \]

\[ n = \lim_{x \to \infty} \left(\displaystyle \frac{x^2 + x + 1}{x} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\displaystyle \frac{x^2 + x + 1 - x^2}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{x + 1}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \displaystyle \frac{1}{x}) = 1 \]

Asimptota oblică este \(y = x + 1\).

Exerciții

Determinați asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\): \(\displaystyle f(x) = \frac{4x - 6}{x^2 + x - 9} \)

Determinați asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\): \(\displaystyle f(x) = \frac{6x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 9x - 1} \)

Determinați asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\): \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2} \)

Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\): \(\displaystyle f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 2} \)

Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\): \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 3} \)

Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\): \(\displaystyle f(x) = x - \frac{1}{x} \)

Răspunsuri

\( y = 0 \)

\( y = 3 \)

\( y = 1 \)

\( y = x \)

\( y = x+3 \)

\( y=x \)

Rezolvări

Calculăm limita când \( x \to +\infty \) pentru a determina asimptota orizontală.
Observăm că gradul numărătorului este 1, iar gradul numitorului este 2, astfel încât limita este 0, dar vom aplica regula lui L'Hospital pentru demonstrație.
Mai întâi scriem limita: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x-6}{x^2+x-9} \).
Înlocuind \( x \to +\infty \) obținem forma nedeterminată \( \frac{\infty}{\infty} \). Aplicăm regula lui L'Hospital (derivăm numărătorul și numitorul):
Derivata părții de sus: \( \displaystyle (4x-6)' = 4 \).
Derivata părții de jos: \( \displaystyle (x^2+x-9)' = 2x+1 \).
Astfel, limita devine: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{2x+1} \).
Observăm că \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{2x+1} = 0 \).
Deci, asimptota orizontală spre \( +\infty \) este \( y = 0 \)

Pentru \( x \to +\infty \), avem forma \( \frac{\infty}{\infty} \). Aplicăm regula lui L'Hospital:
Derivata numărătorului: \( \displaystyle (6x^2-3x+2)' = 12x-3 \).
Derivata numitorului: \( \displaystyle (2x^2+9x-1)' = 4x+9 \).
Astfel, limita devine: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{12x-3}{4x+9} \).
Împărțim numărătorul și numitorul la \( x \): \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{12-\frac{3}{x}}{4+\frac{9}{x}} = \frac{12}{4} = 3 \).
Deci, asimptota orizontală spre \( +\infty \) este \( y = 3 \)

Rescriem: \( \displaystyle f(x) = 1 + \frac{3}{x^2} \).
Prin urmare, \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \).
Deci, asimptota orizontală este \( y = 1 \)

Pentru a determina ecuația asimptotei oblice spre \( +\infty \), calculăm panta \( m \) și interceptul \( b \) după formula:
\( \displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \) și \( \displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} \Bigl[f(x)-mx\Bigr] \).

Calculăm \( m \):
\( \displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+1}{x(x^2+2)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+1}{x^3+2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{x^3}}{1+\frac{2}{x^2}} = 1 \).

Calculăm \( b \):
\( \displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^3+1}{x^2+2} - x \right] \).
Rescriem expresia din paranteză având același numitor: \[ \displaystyle \frac{x^3+1}{x^2+2} - x = \frac{x^3+1 - x(x^2+2)}{x^2+2} = \frac{x^3+1 - x^3-2x}{x^2+2} = \frac{1-2x}{x^2+2}. \]
Prin urmare, \( \displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-2x}{x^2+2} = 0 \).
Ecuația asimptotei oblice este: \( y = mx + b = x \)

Pentru \( x \to +\infty \) avem forma \( \frac{\infty}{\infty} \). Pentru asimptota oblică efectuăm împărțirea polinomială.
Împărțim \( x^2+2 \) la \( x-3 \):
\( x^2+2 \div (x-3) \): primul termen al câtului: \( x \) (deoarece \( x^2 \div x = x \)).
\( x(x-3)= x^2-3x \). Scădem: \( (x^2+0x+2)-(x^2-3x)= 3x+2 \).
Al doilea termen: \(3x \div x = 3\).
\( 3(x-3)= 3x-9 \).
Scădem: \( (3x+2)-(3x-9)= 11 \).
Deci, \( \displaystyle f(x) = x+3 + \frac{11}{x-3} \).
La \( x \to +\infty \), termenul \( \displaystyle \frac{11}{x-3} \to 0 \).
Astfel, asimptota oblică este: \( y = x+3 \)

Calculăm:
\( \displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x-\frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right)= 1 \).
Și
\( \displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} \left[f(x)-x\right]= \lim_{x \to +\infty} \left(x-\frac{1}{x}-x\right)= \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right)= 0 \).
Deci, ecuația asimptotei oblice este: \( y=x \)

Cuprins

Explicație
Exerciții