Asimptote
Asimptota orizontală
O funcție are o asimptotă orizontală dacă există limita funcției la infinit sau la minus infinit:
\[ y = \lim_{x \to \infty} f(x) \quad \text{(sau)} \quad y = \lim_{x \to -\infty} f(x) \]
Rezultatul limitei reprezintă ecuația asimptotei orizontale.
Exemplu:
Calculați asimptota orizontală pentru funcția \(f(x) = \displaystyle \frac{2x + 3}{x + 1}\):
\[ \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{2x + 3}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{2 + \displaystyle \frac{3}{x}}{1 + \displaystyle \frac{1}{x}} = \displaystyle \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2 \]
Asimptota orizontală este \(y = 2\).
Asimptota oblică
O funcție are o asimptotă oblică de forma \(y = mx + n\) dacă:
\[ m = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{f(x)}{x}, \quad n = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right) \]
Exemplu:
Calculați asimptota oblică pentru funcția \(f(x) = \displaystyle \frac{x^2 + x + 1}{x}\):
\[ m = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{x^2 + x + 1}{x^2} = 1 \]
\[ n = \lim_{x \to \infty} \left(\displaystyle \frac{x^2 + x + 1}{x} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\displaystyle \frac{x^2 + x + 1 - x^2}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{x + 1}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \displaystyle \frac{1}{x}) = 1 \]
Asimptota oblică este \(y = x + 1\).