Șiruri

Definiție

Un șir este o succesiune ordonată de numere, fiecare termen fiind notat cu \( a_n \) sau \( x_n \), unde \( n \) reprezintă poziția termenului în șir. Un șir poate fi definit printr-o formulă predefinită care exprimă termenul general \( a_n \) în funcție de \( n \).

Exemplu de șir cu formulă predefinită

Considerăm șirul definit de relația:

\[ a_n = 2n + 3 \]

Pentru a calcula primii termeni ai șirului, înlocuim pe \( n \) cu valorile 1, 2, 3, și așa mai departe:

  • Primul termen: \( a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \)
  • Al doilea termen: \( a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 7 \)
  • Al treilea termen: \( a_3 = 2 \cdot 3 + 3 = 9 \)
  • Al patrulea termen: \( a_4 = 2 \cdot 4 + 3 = 11 \)

Astfel, primii termeni ai șirului sunt: \( 5, 7, 9, 11, \dots \).

Exerciții Rezolvate

Exercițiul 1

Fie șirul definit prin formula:

\[ a_n = n^2 - 3n + 2 \]

Determinați primii 5 termeni ai șirului.

Rezolvare:

  1. Pentru \( n = 1 \):
    2. \[ a_1 = 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \]
  2. Pentru \( n = 2 \):
    3. \[ a_2 = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 \]
  3. Pentru \( n = 3 \):
    4. \[ a_3 = 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 \]
  4. Pentru \( n = 4 \):
    5. \[ a_4 = 4^2 - 3 \cdot 4 + 2 = 16 - 12 + 2 = 6 \]
  5. Pentru \( n = 5 \):
    6. \[ a_5 = 5^2 - 3 \cdot 5 + 2 = 25 - 15 + 2 = 12 \]

Primii 5 termeni ai șirului sunt: \( 0, 0, 2, 6, 12 \).

Exercițiul 2

Fie șirul definit de:

\[ a_n = 3^n - n \]

Calculați al treilea termen al șirului.

Rezolvare:

Înlocuim \( n = 3 \) în formula dată:

\[ a_3 = 3^3 - 3 = 27 - 3 = 24 \]

Al treilea termen al șirului este: \( 24 \).

Înapoi Următor