Inecuatii rationale (fractii)

O inecuație rațională este forma: \[ \frac{f(x)}{g(x)} \; \ge \; 0, \quad \frac{f(x)}{g(x)} \; \le \; 0, \quad \frac{f(x)}{g(x)} \; > \; 0, \quad \frac{f(x)}{g(x)} \; < \; 0. \]

Metoda de rezolvare

  1. Determinarea Domeniului de Valori Admisibile al Ecuației (DVA): Asigurăm că numitorii tuturor fracțiilor nu sunt egali cu 0: \[ \text{DVA}: \, \text{numitorii} \neq 0 \]
  2. Aflam zerourile: folosim "=" in loc de semnul inegalitatii.
  3. Transformăm ecuația într-o formă fără fracții: Dacă avem o fracție egală cu o fracție: \[ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \]
    înmulțim pe diagonala: \[ A \cdot D = B \cdot C \]
  4. Construim o axa, pe care punem zerourile (colorand cerculetele in dependenta de semnul inecuatiei) si DVA (intotdeauna cu cerculet gol)
  5. Verificam semnul fiecarui interval: luam un numar din fiecare interval si inlocuim in inecuatie. Daca rezultatul este pozitiv, se pune "+", iar daca negativ, atunci se pune "-"
  6. Se aleg intervalele cu "+" daca semnul inecuatiei este ">" sau "\(\geq\)", sau se aleg intervalele cu "-" daca semnul inecuatiei este "<" sau "\(\leq\)"

Exemplu rezolvat

De rezolvat inecuația: \[ \frac{x + 3}{2x - 10} \le 0 \]

  1. Calculam DVA: \[ \text{DVA: } 2x-10 \neq 0 \implies 2x \neq 10 \implies x \neq 5\]
  2. Zerourile: \[ \frac{x + 3}{2x - 10} = 0 \implies \frac{x + 3}{2x - 10} = \frac{0}{1} \implies (x + 3) \cdot 1 = (2x-10) \cdot 0 \implies x+3 = 0 \implies x=-3 \]
  3. Construim axa. Pe -3 il punem cu cerculet colorat, deoarece semnul inecuatiei este "mai mic si egal", iar pe 5 - cu cerculet gol, pentru ca e din DVA.
  4. Luam numarul -4, mai la stanga de -3, si inlocuim in loc de x in inecuatia initiala: \[ \frac{-4 + 3}{2 \cdot (-4) - 10} = \frac{-1}{-18} = \frac{-}{-} = + \]
  5. Luam numarul 0, dintre -3 si 5, si inlocuim in loc de x in inecuatia initiala: \[ \frac{0 + 3}{2 \cdot 0 - 10} = \frac{3}{-10} = \frac{+}{-} = - \]
  6. Luam numarul 6, mai la dreapta de 5, si inlocuim in loc de x in inecuatia initiala: \[ \frac{6 + 3}{2 \cdot 6 - 10} = \frac{9}{2} = \frac{+}{+} = + \]
  7. Punem semnele pe axa:
  8. Deoarece inecuatia are semnul "mai mic si egal", vom alege intervalul cu "-" \[ S = [-3; 5) \]

Exerciții

1
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{6x - 12}{2x + 8} > 0\)
2
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x + 4}{3x + 5} \leq 0\)
3
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{5 - x}{2x - 1} \leq 0\)
4
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{2x + 3}{x + 10} \geq 0\)
5
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{1}{x} \geq 3\)
6
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle x \geq \frac{4}{x}\)
7
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x + 3}{3x^2 + 10x + 3} < 0\)
8
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x - 1}{4} - \frac{5 - 2x}{12} \leq 1\)
9
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 - 6x + 9}{5 - 3x^2 + 2x} < 0\)
Înapoi Următor