O inecuație rațională este forma: \[ \frac{f(x)}{g(x)} \; \ge \; 0, \quad \frac{f(x)}{g(x)} \; \le \; 0, \quad \frac{f(x)}{g(x)} \; > \; 0, \quad \frac{f(x)}{g(x)} \; < \; 0. \]
Metoda de rezolvare Exemplu rezolvat De rezolvat inecuația: \[ \frac{x + 3}{2x - 10} \le 0 \]
Calculam DVA: \[ \text{DVA: } 2x-10 \neq 0 \implies 2x \neq 10 \implies x \neq 5\] Zerourile: \[ \frac{x + 3}{2x - 10} = 0 \implies \frac{x + 3}{2x - 10} = \frac{0}{1} \implies (x + 3) \cdot 1 = (2x-10) \cdot 0 \implies x+3 = 0 \implies x=-3 \] Construim axa. Pe -3 il punem cu cerculet colorat, deoarece semnul inecuatiei este "mai mic si egal", iar pe 5 - cu cerculet gol, pentru ca e din DVA. Luam numarul -4, mai la stanga de -3, si inlocuim in loc de x in inecuatia initiala: \[ \frac{-4 + 3}{2 \cdot (-4) - 10} = \frac{-1}{-18} = \frac{-}{-} = + \] Luam numarul 0, dintre -3 si 5, si inlocuim in loc de x in inecuatia initiala: \[ \frac{0 + 3}{2 \cdot 0 - 10} = \frac{3}{-10} = \frac{+}{-} = - \] Luam numarul 6, mai la dreapta de 5, si inlocuim in loc de x in inecuatia initiala: \[ \frac{6 + 3}{2 \cdot 6 - 10} = \frac{9}{2} = \frac{+}{+} = + \] Punem semnele pe axa: Deoarece inecuatia are semnul "mai mic si egal", vom alege intervalul cu "-" \[ S = [-3; 5) \]
1
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{6x - 12}{2x + 8} > 0\)
Răspuns: \( x \in (-4, -2) \cup (2, +\infty) \)
2
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x + 4}{3x + 5} \leq 0\)
Răspuns: \( x \in \left[ -4, -\dfrac{5}{3} \right] \)
3
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{5 - x}{2x - 1} \leq 0\)
Răspuns: \( x \in \left( -\infty, \dfrac{1}{2} \right] \cup [5, +\infty) \)
4
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{2x + 3}{x + 10} \geq 0\)
Răspuns: \( x \in (-\infty, -10) \cup \left[ -\dfrac{3}{2}, +\infty \right) \)
5
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{1}{x} \geq 3\)
Răspuns: \( x \in \left( 0, \dfrac{1}{3} \right] \)
6
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle x \geq \frac{4}{x}\)
Răspuns: \( x \in [-2, 0) \cup [2, +\infty) \)
7
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x + 3}{3x^2 + 10x + 3} < 0\)
Răspuns: \( x \in (-3, -\dfrac{1}{3}) \)
8
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x-1}{4} - \frac{5-2x}{12} \leq 1\)
Răspuns: \( x \in \left( -\infty, 4 \right] \)
9
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 - 6x + 9}{5 - 3x^2 + 2x} < 0\)
Răspuns: \( x \in \left( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{3} \right) \setminus \{3\} \)
1
\( x \in (-4, -2) \cup (2, +\infty) \)
2
\( x \in \left[ -4, -\dfrac{5}{3} \right] \)
3
\( x \in \left( -\infty, \dfrac{1}{2} \right] \cup [5, +\infty) \)
4
\( x \in (-\infty, -10) \cup \left[ -\dfrac{3}{2}, +\infty \right) \)
5
\( x \in \left( 0, \dfrac{1}{3} \right] \)
6
\( x \in [-2, 0) \cup [2, +\infty) \)
7
\( x \in (-3, -\dfrac{1}{3}) \)
8
\( x \in \left( -\infty, 4 \right] \)
9
\( x \in \left( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{3} \right) \setminus \{3\} \)
1
Simplificăm expresia: Hint: După simplificare, folosește tabelul de semne pe intervalele determinate de zerourile numeratorului și denominatorului. Exclude punctul în care numitorul se anulează.
2
Puncte critice: Hint: Pentru \( \leq 0 \), include punctul unde numeratorul este zero (dacă e în DVA), dar exclude întotdeauna punctul unde denominatorul este zero.
3
Puncte critice: Hint: Când numeratorul și denominatorul au semne opuse sau numeratorul este zero, fracția este negativă sau nulă.
4
Puncte critice: Hint: Include punctul unde numeratorul se anulează pentru inecuații de tip ≥ sau ≤.
5
Transformăm inecuația: Hint: Când aduci la aceeași parte, ai grijă la semnul lui x (schimbă sensul dacă înmulțești cu x negativ).
6
Domeniu de definiție: \( x \neq 0 \) Hint: Când ai fracție cu x la numitor, analizează semnul pe fiecare interval separat și include punctele unde expresia este zero (dacă e definită).
7
Factorizăm denominatorul: Hint: Când numeratorul și un factor din denominator sunt egali, simplificarea nu se face peste acel punct – folosește tabelul de semne cu factorizarea completă.
8
Aducem toți termenii în stânga: Hint: Când aduci toți termenii la aceeași parte și folosești MMC, verifică dacă denominatorul comun influențează sensul (aici nu, fiind pozitiv).
9
Numerator: \( x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \geq 0 \) pentru orice x, egal 0 doar la x = 3 Hint: Când numeratorul este un pătrat perfect (≥ 0 întotdeauna), semnul fracției este opus semnului denominatorului (cu excepția punctelor unde numeratorul e zero).