Ecuația Tangentei

Formula generală a ecuației tangentei

Pentru o funcție \( f(x) \), ecuația tangentei la graficul său în punctul de abscisă \( x_0 \) este dată de formula:

\( y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \)

Această formulă se bazează pe faptul că tangenta la graficul unei funcții este o dreaptă care are panta egală cu derivata funcției în punctul de contact \( x_0 \).

Etape de rezolvare

  1. Calculează derivata funcției, \( f'(x) \).
  2. Determină valoarea derivatei în punctul \( x_0 \): \( f'(x_0) \).
  3. Calculează valoarea funcției în punctul \( x_0 \): \( f(x_0) \).
  4. Substituie valorile în formula ecuației tangentei: \( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \).

Tangenta și Unghiul Format cu Axa Ox

Tangenta graficului unei funcții \( f(x) \) într-un punct \( x_0 \) este o dreaptă care are panta egală cu valoarea derivatei funcției în acel punct, \( f'(x_0) \). Aceasta reprezintă tangenta unghiului format între dreapta tangentei și direcția pozitivă a axei \( Ox \).

Unghiul \( \theta \) format între dreapta tangentei și axa \( Ox \) este legat de derivata funcției prin relația:

\( \operatorname{tg} \theta = f'(x_0) \)

Dacă derivata este pozitivă, tangenta are un unghi ascuțit cu axa \( Ox \). Dacă derivata este negativă, tangenta are un unghi obtuz.

Exemplu rezolvat

Fie funcția \( f(x) = x \cdot e^x \). Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă \( x_0 = 0 \).

  1. Derivata funcției:

    \( f'(x) = (x \cdot e^x)' = x' \cdot e^x + x \cdot (e^x)' = e^x + x \cdot e^x \)

    Deci, \( f'(x) = e^x (1 + x) \).

  2. Valoarea derivatei în punctul \( x_0 = 0 \):

    \( f'(0) = e^0 (1 + 0) = 1 \).

  3. Valoarea funcției în punctul \( x_0 = 0 \):

    \( f(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \).

  4. Ecuația tangentei:

    Substituim în formulă: \( y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0) \)

    \( y = 1 \cdot x + 0 \)

    Deci, ecuația tangentei este:

    \( \boxed{y = x} \)

Exerciții

1
Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = x e^x \). Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de abscisă \( x_0 = 0 \).
2
Fie \( f: [-2; +\infty) \to \mathbb{R} \), \( f(x) = 2\sqrt{2x + 4} \). Determinați măsura în grade a unghiului format de tangenta, dusă la graficul funcției \( f \), în punctul de abscisă \( x_0 = 4 \), cu direcția pozitivă a axei \( O_x \).
3
Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \). Determinați punctele de pe graficul funcției \( f \), în care panta tangentei la grafic este egală cu 9.
4
Se consideră funcția \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), \( f(x) = 2\sqrt{x} (\ln x - 1) \). Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de abscisă \( x = \frac{1}{e} \), situat pe graficul funcției \( f \).
5
Scrieți ecuaţia tangentei la graficul funcţiei \( \displaystyle f: D \rightarrow R, f(x)=\sqrt{x^{2}-8} \) in punctul de abscisă \( \displaystyle x_{0}=3 \).
6
Determinați punctul de pe graficul funcţiei \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=x^{2}+5 x+4 \), în care tangenta la grafic formează un unghi de \( \displaystyle 45^{\circ} \) cu direcţia pozitivă a axei \( \displaystyle O x \).
Înapoi Următor