Ecuații de gradul 2
Definiție
O ecuație de gradul 2 în mulțimea numerelor reale este de forma:
\( ax^2 + bx + c = 0 \), unde \( a, b, c \in \mathbb{R} \) și \( a \neq 0 \).
Metoda de rezolvare
Pentru a rezolva ecuațiile de gradul 2, folosim discriminantul și formula generală:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \text{unde } \Delta = b^2 - 4ac. \]
Cazurile ecuației de gradul 2
1. \( \Delta > 0 \) (Două soluții)
Dacă discriminantul este pozitiv (\( \Delta > 0 \)), ecuația are două soluții:
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}. \]
2. \( \Delta = 0 \) (O soluție)
Dacă discriminantul este egal cu zero (\( \Delta = 0 \)), ecuația are o singura soluție:
\[ x = \frac{-b}{2a}. \]
3. \( \Delta < 0 \) (Nici o soluție reală)
Dacă discriminantul este negativ (\( \Delta < 0 \)), ecuația nu are soluții reale.
Exemplu: Rezolvați ecuația \( x^2 - 5x + 6 = 0 \):
- Calculăm discriminantul: \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
- Calculăm soluțiile: \[ x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]
Răspuns: \( S = \{ 2, 3 \} \)
Exemplu: Rezolvați ecuația \( x^2 + x + 1 = 0 \):
- Calculăm discriminantul: \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \]
- Deoarece \( \Delta < 0 \), nu există soluții reale.
Răspuns: \( S = \emptyset \)
Exemplu: Rezolvați ecuația \( x^2 - 4x + 4 = 0 \):
- Calculăm discriminantul: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \]
- Calculăm soluția: \[ x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Răspuns: \( S = \{ 2 \} \)