Ecuații logaritmice

Metoda de Rezolvare

  1. Transformăm ecuația la forma: \[ \log_a f(x) = \log_a g(x) \]
  2. Determinarea Domeniului de Valori Admisibile ale ecuației (DVA): \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases} \]
  3. Deoarece bazele logaritmilor sunt egale, rezultă: \[ f(x) = g(x) \]
    In situatia in care avem un logaritm in stanga si un numar in dreapta, putem trasnforma numarul din dreapta in logaritm astfel: \[ \log_a f(x) = b \implies \log_a f(x) = \log_a a^b \]
  4. Verificăm soluțiile obținute: Verificăm dacă valorile soluțiilor respectă condițiile impuse de DVA

Exemplu Rezolvat

Rezolvați ecuația în \(\mathbb{R}\):

\[ \log_x(-3x + 4) = 2 \]

Pasul 1: Determinăm DVA

Condițiile de existență sunt: \[ \text{DVA: } \begin{cases} -3x + 4 > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -3x > -4 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < \frac{-4}{-3} \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < \frac{4}{3} \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \]

\[ \text{DVA} = (0; 1) \cup \left(1; \frac{4}{3}\right) \text{ sau } \left(0; \frac{4}{3}\right) \setminus \{ 1 \}\]

Pasul 2: Rezolvăm ecuația

Transformăm ecuația logaritmică folosind regula de bază: \[ \log_x(-3x + 4) = 2 \implies \log_x(-3x + 4) = \log_x x^2 \implies -3x + 4 = x^2 \] Rescriem ecuația: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] Calculăm discriminantul: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] \[ \sqrt{\Delta} = 5 \] Soluțiile ecuației sunt: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Pasul 3: Verificăm soluțiile în DVA

Verificăm dacă soluțiile se află în domeniul de valabilitate:
  • \(x_1 = -4 \notin \text{DVA}\), deci nu este o soluție validă.
  • \(x_2 = 1 \notin \text{DVA}\), deci nu este o soluție validă.
Deoarece niciuna dintre soluții nu respectă DVA, concluzionăm că: \[ S = \emptyset \]

Exerciții

1
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_2 x = \log_2 (3x - 1)\)
2
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_2 (1 - x) = \log_2 (3 - 2x)\)
3
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_x (4x - 3) = 2\)
4
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_x (3x - 2) = 2\)
5
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_{x-1} (x + 19) = 2\)
6
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_3(x^2 - 1) = 1\)
7
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_5(x^2 + 1) = 1\)
8
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_{\sqrt{6}}(x^2 - 5) = 2\)
9
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 1) = 2\)
10
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x - 1) = -2\)
11
Calculați: \(\log^2_5 10 + \log_5 0.5 \cdot \log_5 50 + 3\)
Înapoi Următor