Item 5 - exercitii de exersare

Exerciții

Rezolvați ecuația: \(4^x - 2^x = 56\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x+3}{4x^2 - 9} - \frac{3-x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x-3}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{2x - 8}{\sqrt{6 - x}} + \sqrt{6 - x} = 3 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log_3 \frac{x^2}{3} - 2\log_3(3x^2) = -4 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle 3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}+3} > 84 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația: \(\displaystyle \frac{D(x) + 6}{x^2 - 4} \geq 0, \) dacă: \(\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & -1 & x \\ 2 & 3 & -x \end{vmatrix}. \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_{0,3} \frac{x-3}{1-x} < 0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle (3-x)\sqrt{x^2+x-2} \leq 0 \)

\(\text{Determinați toate valorile reale ale lui } x, \text{ pentru care matricea } A = \begin{pmatrix} e^x & e^{-x} \\ 2 + e^x & 1 \end{pmatrix} \text{ nu este inversabilă.}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{x^2 - 15x} - 4 < 0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \frac{\log _{\frac{1}{3}}^{2}(4-x)}{x^{2}-2 x} \leq 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x+0,5}{9x+3} + \frac{8x^2 + 3}{9x^2 - 1} = \frac{x+2}{3x-1}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \frac{2+\log _{3} x}{\log _{3}^{2} x-4}=0 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația: \(\displaystyle \sqrt{x^2 + 3x - 18} > 2x + 3. \)

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x+3} - \sqrt{\left(\frac{27}{8}\right)^x} > 0\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \sqrt{2x + x^2} \leq 1 - x \).

Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \( \sqrt{x^2 - 16} \cdot (x + 9) > 0 \).

Aflați cea mai mare soluție întreagă a inecuației \(2^x + (0,5)^{3-x} < 9\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{x \cdot 3^{1-x} - 81x}{x+3} = 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle 2 + \frac{(\log_2|x|)^2}{1 + \log_2|x|} > \log_2|x| \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{9 x-5 x^{2}} \leq 2\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{1+3 x^{2}} \leq 2 x-1\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( (0,25)^x = \frac{128}{2^{x-1}} \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația Rezolvați în R ecuația \( 10^{x}-2 \cdot 25^{x}+4^{x}=0 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{x^2 - 4x} > x - 3\)

Rezolvați inecuația \(\displaystyle \log_{ \frac{1}{4}} \frac{2x-1}{x+1} < \cos \displaystyle \frac{2\pi}{3} \).

Determinați valorile parametrului real \(m\) pentru care matricea \[ A = \begin{pmatrix} 2 & x & 3 \\ m & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix} \] este inversabilă pentru orice \(x \in \mathbb{R}\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 2\log_3(x-2) + \log_3(x-4)^2 = 0 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{x^2 - 5x + 4} > x - 3\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{x-6}}{\log_2(x-5) - 1} \geq 0 \).

Determinați valorile reale ale lui \( x \), pentru care matricea \( A = \begin{pmatrix} \sqrt{5 - 3^x} & \sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} & \sqrt{5 + 3^x} \end{pmatrix} \) este inversabilă.

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \log_{1/4} \frac{2x - 1}{x + 1} < \cos \frac{2\pi}{3} \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\left(\frac{4}{9}\right)^{\sqrt{x}} = (2,25)^{\sqrt{x-1}}\).

Determinați soluțiile întregi ale inecuației \( (-3 + \sin x) \cdot (|3x - 2| - 4) \geq 0 \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația: \(\displaystyle \log_{5-x} \frac{1}{27} \geq -3 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația: \( \log_{6-x} \left(\frac{1}{16}\right) \leq 2.\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{1-2x}{6x^2 + 3x} + \frac{2x+1}{14x^2 - 7x} = \frac{8}{12x^2 - 3}\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_5 (2x^2 + 3x) - \log_5 (6x + 2) = 0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( \displaystyle \frac{x \cdot 2^{1-x} - 16x}{(x+3)^2} \geq 0. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \log_3 x^2 - \log_3^2(-x) = -3 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_{2x+1} (2x^2 - 8x + 15) = 2\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\left(x^{2}-4\right)(x-4)}{\sqrt{x^{2}-7 x-8}}=0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{10x-x^2} \geq 3 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{5x-x^2} \leq 2 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\displaystyle \frac{x^2 - 6x + 9}{\,25^x \;-\; 6\cdot 5^x \;+\; 5\,} \;\le\; 0. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle (x-3) \log _{2}^{2}(x-1) \geq 0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}+x-12}}{x-3}=0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{6 - x} < \sqrt{2x}\)

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(9^{-4x - 5} = 3^{-x} \cdot \frac{1}{27}\).

Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{x-5}}{\log_{\sqrt{2}}(x-4) - 1} \geq 0 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{0,2} \frac{x-2}{4-x} \geq 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \lg(3 \cdot 5^x + 24 \cdot 20^x) = x + \lg 18 \).

Fie matricea \( A = \begin{pmatrix} \frac{1}{x - 1} & 9 \\ x & x^3(x - 1) \end{pmatrix} \). Determinați valorile reale ale lui \( x \), pentru care matricea \( A \) este inversabilă.

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{4x^2-4}}{5x^2-9} \leq 0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \sqrt{x-1} < x-1 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \log_2(x^2 - 4) = \log_2 x + \log_2 3 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4} > 0\)

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(5^{4\sqrt{x - 3} - x} = 1\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \sqrt{x^2 - 8x} < 3 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_7 x - \log_x \frac{1}{7} \geq 2 \).

Fie matricea \( M(x) = \begin{pmatrix} 6 & 3 & x - 1 \\ 2x & 1 & 0 \\ 4 & x + 2 & 2 \end{pmatrix}, x \in \mathbb{R} \). Determinați numerele reale \( x \), astfel încât \( M(x) \) să fie inversabilă.

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{|4 - x^2|}{4^x - 2^{x+1} - 8} \geq 0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \log_2 (2^x + 3) \cdot \log_2 (2^{x+2} + 12) = 8 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \left(\frac{1}{7}\right)^{\sqrt{x+2}} \geq\left(\frac{1}{7}\right)^{\sqrt{x^{2}+2 x}} \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{3-2 x} 1 \leq 2 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{3x^2-3}}{3x^2-4} \geq 0 \)

Să se afle suma soluțiilor reale ale ecuației \(\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \displaystyle \left(\frac{9}{25}\right)^{x^2 + 2x - 11} = \displaystyle \left(\frac{3}{5}\right)^{-9}\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{3x + 2}{x - 6} + x \geq 0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{12 - x} - x \leq 0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 3 \ln^2 x + 2 | \ln x| - 5 = 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}} \left| \frac{3-2x}{1-x} \right| > -1 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\log^2_{\frac{2}{3}} |3-x|}{x^2-5x} \leq 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle 2\log_2 x^2 + \log_2^2 (-x) = 12. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle (4-x) \sqrt{x^{2}-x-2} \leq 0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{x^{2}+3 x} < 2\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \frac{4^{2 x+1}-17 \cdot 4^{x}+4}{x-1}=0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \log_2 \left( \frac{1}{|x-1|-1} \right) = 1 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{8-x} < x+4 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{0,3}(x+17)-\log _{0,3}(x+2) \leq \log _{0,3}(5 x+1) \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{2 x^{2}-7 x} \geq 3\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( (2^x - 3) \cdot \log_2(x-1) \cdot \log_3^2 x \leq 0 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{3} x^{2}-\log _{3}^{2}(-x)+3=0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \log_3 (4^x + 1) + \log_{4^x + 1} 3 > \frac{5}{2} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{x^2 + 24x} - 5 \leq 0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{x-3}\left(\frac{1}{2}\right) \geq 1 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{2}^{2}(x+2)-2 \log _{2}(x+2)-8=0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{3}{5 - x} > \frac{4}{x}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_x \frac{1}{4} + \log_4 \frac{1}{x} \leq -2 \).

Să se afle valorile lui \( x \in \mathbb{R} \) pentru care matricea \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 6 & 3 & x-1 \\ 2x & 1 & 0 \\ 4 & x+2 & 2 \end{pmatrix} \) este inversabilă.

Determinați valorile reale ale lui \( x \) pentru care matricea \[ A = \begin{pmatrix} e^x & e^{-x} \\ 2 + e^x & 1 \end{pmatrix} \] nu este inversabilă.

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \sqrt{x^{2}-4}\left(\log _{2}(1-x)-3\right)< 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{2x^2}{3}} = 4^{-x} \cdot 8^{-4} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{x+2} \geq 0\)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\log_{\frac{1}{2}} (4 - x) \geq \log_{\frac{1}{2}} 2 - \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)\).

\( 0,6 \cdot \left( \frac{25}{9} \right)^{x^2 - 12} = \left( \frac{27}{125} \right)^3 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\log_{3-x} 0.25 \leq -2\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_{x-1} (x + 19) = 2\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 3)(x - 2)} \leq 0\)

100

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( (x-1)\sqrt{6+x-x^2} \geq 0 \).

101

Fie matricea \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} \sqrt{\log_3(x-2)} & 0,5 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \) Determinați valorile reale ale lui \(x\), pentru care matricea este inversabilă.

102

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{2x+5} < x+1 \)

103

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( (0,5)^{x^2} \cdot 2^{2x+3} = 64^{-1} \)

104

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( (2 - |x-1|) \cdot \log_{1/10}(4x^2 + 8) \leq 0 \).

105

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{\left|x^2 - 9\right|}{\log_{0,5}(3x+6)} \geq 0. \)

106

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_4 x^2 + (\log_2(-x))^2 > 6 \).

107

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( x^2 \cdot 6^x - 6^{x+2} \leq 0 \).

108

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \log_3^2 \left( \frac{x^2}{9} \right) + \log_3 \left( x^6 \right) - 4 = 0 \).

109

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \frac{4^x - 2^{x+2}}{x^3 - 2x^2} = 0 \)

110

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_{x^2 + 3x - 4} (x^2 + x) = 1\)

111

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \sqrt{x^2 - 4} \cdot [\log_2(1-x) - 3] < 0 \).

112

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \log_5 \sqrt{3x+4} \cdot \log_x 5 > 1 \).

113

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1}\)

114

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{x^2-x} \geq 1+x \)

115

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(x - \sqrt{6 - x} \geq 0\)

116

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^x \cdot \displaystyle \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{\lg 4}{\lg 8} \)

117

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( \displaystyle \sqrt{2x^2 + 1} > x + 1. \)

118

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{x+2} \geq 0 \)

119

\(\text{Determinați valorile reale ale lui } x, \text{ pentru care matricea } A = \begin{pmatrix} \sqrt{6 - 2^x} & 2 \\ \sqrt{5} & \sqrt{6 + 2^x} \end{pmatrix} \text{ este inversabilă.}\)

120

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația Rezolvați în R ecuația \( 4^{x}+2^{x+1}=80 \).

121

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 2^{x^2 - 1} \cdot 5^{x^2 - 1} = 0,001 \cdot (10^{x+2})^3 \)

122

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \((x^2 - 3x - 4)\cdot \log_{\frac{1}{2}} x \leq 0\)

123

Să se afle valorile lui \( x \in \mathbb{R} \) pentru care matricea \[ A = \begin{pmatrix} -x & 3x & 0 \\ 2 & x & 5 \\ 2 & 2x & 1 \end{pmatrix} \] este inversabilă.

124

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}(x-6) + \log_{\frac{1}{2}}(x-8) \leq -3\)

125

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{2}{1-x^2} - \frac{x}{1-x} = 2\)

126

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x + 2) + 2}}{x^2 - 3} \geq 0 \).

127

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle 4 \cdot 2^{2 x-1}-11 \cdot 2^{x-1}=10 \)

128

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \sqrt{x-1} \geq x - 3 \).

129

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\log^2_{\frac{1}{2}} x^2 + 7}{\sqrt{4x+1}} \geq 0 \)

130

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{2 x+9} < 3-x\)

131

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt{4 - x} \cdot (x^2 - 3x - 10) = 0\).

132

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\log^2_{x-1}(5-x)}{x^2 - 3x} \leq 0 \).

133

Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \( (25 - x^2) \sqrt{x^2 - x - 12} \geq 0 \).

134

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{x^{2}-2 x} \geq 4-x\)

135

Rezolvaţi în \(R\) ecuația \( \log_{\frac{1}{2}}^{2}(4x) + \log_2 \frac{x^2}{8} = 8 \).

136

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_2(\sqrt{x} - 2) = 1\)

137

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\sqrt{3 - 2x} > \sqrt{x}\)

138

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \sqrt{6 + 5x} \leq 3 + 2x \).

139

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \log_3^2 \left(\frac{x^2}{9}\right) + \log_3 x^6 - 4 = 0 \)

140

Să se afle valorile reale ale lui \( x \) pentru care matricea \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & x & 1 \\ -2 & -2 & x-2 \end{pmatrix} \] este inversabilă.

141

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{3^{2x+1} - 4 \cdot 3^x + 1}}{x^2 - x - 6} \leq 0 \).

142

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \ln(x^2 + 1) - 0.5 \cdot \ln(x^2 + 2x + 1) = \ln 3 \).

143

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{5 x^{2}+x-6}{\log _{0,2}\left(x^{2}+3\right)} \geq 0 \).

144

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{2} x^{2}-\log _{2}^{2}(-x)+8=0 \)

145

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^{1 + \log_2^2 x} < \left(\frac{5}{2}\right)^{4 - 2\log_2 x^3} \).

146

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle 2^{2x^2-5x-3} > 0.5 \cdot \sqrt[3]{2^x} \)

147

Fie matricea \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4^{-|x|} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 2^{-x^2} \end{pmatrix} \). Arătați că matricea \( A \) este inversabilă, oricare ar fi \( x \in \mathbb{R} \).

148

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{\log_2^2 x + \log_2 x^2}{|x - 3|} \leq 0. \)

149

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( (2x^2 + 11x - 6) \cdot \sqrt{\log_{0,7}|x+6|} \geq 0 \).

Răspunsuri

Rezolvări

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle x^2 + x - 2 \geq 0\)
\(\displaystyle (x+2)(x-1) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) \)
Pasul 2: Analizăm cazurile:
Cazul 1: \( \sqrt{x^2+x-2} = 0 \). Atunci \( x = -2 \) sau \( x = 1 \).
Cazul 2: \( \sqrt{x^2+x-2} > 0 \). Atunci trebuie ca \( 3-x \leq 0 \), adică \( x \geq 3 \).
Pasul 3: Intersectăm soluțiile cu domeniul de definiție:
Pentru cazul 1: \( x = -2 \) și \( x = 1 \) aparțin domeniului de definiție.
Pentru cazul 2: \( x \geq 3 \) și \( x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) \). Deci, \( x \in [3, +\infty) \)
Pasul 4: Unim soluțiile obținute:
\( x \in \{-2, 1\} \cup [3, +\infty) \)

Pasul 1: Izolăm radicalul:
\(\displaystyle \sqrt{x^2 - 15x} < 4\)
Pasul 2: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle x^2 - 15x \geq 0\)
\(\displaystyle x(x-15) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, 0] \cup [15, +\infty) \)
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle x^2 - 15x < 16\)
\(\displaystyle x^2 - 15x - 16 < 0\)
Pasul 4: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( x^2 - 15x - 16 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4(1)(-16)}}{2(1)} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:
\(\displaystyle x \in (-1, 16)\)
Pasul 5: Intersectăm soluțiile:
\( x \in (-1, 16) \) și \( x \in (-\infty, 0] \cup [15, +\infty) \)
Deci, \( x \in (-1, 0] \cup [15, 16) \)

Condiții:
\( \displaystyle 4 - x > 0 \Rightarrow x < 4 \)
\( \displaystyle x^2 - 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq 2 \)
\( \displaystyle \log_{\frac{1}{3}}(4-x) = 0 \Rightarrow 4-x = 1 \Rightarrow x = 3 \)
Dacă \( x = 3 \), atunci \( \log _{\frac{1}{3}}^{2}(4-x) = 0 \), deci fracția este 0, ceea ce satisface inegalitatea.
Dacă \( x \in (0, 2) \), atunci \( x^2 - 2x < 0 \). Deoarece \( \log _{\frac{1}{3}}^{2}(4-x) > 0 \), fracția este negativă.

Pasul 1: Pentru ca o fracție să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero.
Deci, \( 2 + \log_3 x = 0 \) și \( \log_3^2 x - 4 \neq 0 \).
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( 2 + \log_3 x = 0 \):
\(\displaystyle \log_3 x = -2\)
\(\displaystyle x = 3^{-2} = \frac{1}{9}\)
Pasul 3: Verificăm condiția \( \log_3^2 x - 4 \neq 0 \), adică \( \log_3^2 x \neq 4 \), deci \( \log_3 x \neq \pm 2 \), adică \( x \neq 3^2 = 9 \) și \( x \neq 3^{-2} = \frac{1}{9} \).
Soluția \( x = \frac{1}{9} \) nu respectă această condiție, deci nu este validă.
Pasul 4: Condiția de existență a logaritmului: \( x > 0 \). Soluția \( x = \frac{1}{9} \) respectă această condiție.

Rezolvare:
Domeniul de valabilitate este dat de \( x^2 - 16 > 0 \), adică \( x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty) \). Pentru orice \( x \in DVA \), \( \sqrt{x^2 - 16} > 0 \Rightarrow x + 9 > 0 \), deci \( x > -9 \). Ţinând cont de DVA, obținem \( x \in (-9, -4) \cup (4, +\infty) \).

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 9x - 5x^2 \geq 0\)
\(\displaystyle x(9 - 5x) \geq 0\)
\(\displaystyle 5x(9/5 - x) \geq 0\)
Deci, \( x \in [0, \frac{9}{5}] \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 9x - 5x^2 \leq 4\)
\(\displaystyle 5x^2 - 9x + 4 \geq 0\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( 5x^2 - 9x + 4 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(5)(4)}}{2(5)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{10} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{10} = \frac{9 \pm 1}{10}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{9 - 1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{9 + 1}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută în afara rădăcinilor:
\(\displaystyle x \in (-\infty, \frac{4}{5}] \cup [1, +\infty)\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \in [0, \frac{9}{5}] \) și \( x \in (-\infty, \frac{4}{5}] \cup [1, +\infty) \)
Deci, \( x \in [0, \frac{4}{5}] \cup [1, \frac{9}{5}] \)

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 1 + 3x^2 \geq 0\). Această condiție este mereu adevărată.
Pasul 2: Cerința ca partea dreaptă să fie nenegativă:
\(\displaystyle 2x - 1 \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq \frac{1}{2}\)
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 1 + 3x^2 \leq (2x - 1)^2\)
\(\displaystyle 1 + 3x^2 \leq 4x^2 - 4x + 1\)
\(\displaystyle 0 \leq x^2 - 4x\)
\(\displaystyle x^2 - 4x \geq 0\)
\(\displaystyle x(x-4) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) \)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \geq \frac{1}{2} \) și \( x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) \)
Deci, \( x \in [4, +\infty) \)

Rezolvare:
Împărțind fiecare membru al ecuației la \( 4^{x} \), obținem \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x}-2 \cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{2 x}+1=0 \).
Efectuăm substituția \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x}=t, t>0 \) și obținem ecuația \( 2 t^{2}-t-1=0 \) cu soluția \(\displaystyle \left[\begin{array}{c}t=1 \\ t=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \). Doar \( t=1 \) satisface condiția \( t>0 \).
Revenind la substituție, avem \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x}=1=\left(\frac{5}{2}\right)^{0} \Leftrightarrow x=0 \).

Rezolvare:
Matricea \(A\) este inversabilă pentru orice număr real \(x\) dacă și numai dacă \(\det A \neq 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\). Calculăm: \[ \det A = \begin{vmatrix} 2 & x & 3 \\ m & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix} = 2x(x-1) + x + 3m - 3(x-1) - mx^2 - 2 = (2-m)x^2 - 4x + 3m + 1 \] Astfel, \(\det A \neq 0 \Rightarrow (2-m)x^2 - 4x + 3m + 1 \neq 0\), adică această ecuație nu trebuie să aibă soluții reale, deci discriminantul trebuie să fie negativ: \[ \Delta = 16 - 4(2-m)(3m+1) = 12m^2 - 20m + 8 < 0 \] \[ 3m^2 - 5m + 2 < 0 \] Deci mulțimea soluțiilor este \( m \in \left( \frac{2}{3}, 1 \right) \).

Pasul 1: Pentru ca o fracție să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero.
Deci, \( (x^2 - 4)(x - 4) = 0 \) și \( \sqrt{x^2 - 7x - 8} \neq 0 \) și \( x^2 - 7x - 8 > 0 \).
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( (x^2 - 4)(x - 4) = 0 \):
\( (x-2)(x+2)(x-4) = 0 \)
Deci, \( x = 2 \), \( x = -2 \) sau \( x = 4 \).
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea \( x^2 - 7x - 8 > 0 \):
\( (x-8)(x+1) > 0 \)
Deci, \( x < -1 \) sau \( x > 8 \)
Pasul 4: Verificăm condițiile pentru fiecare soluție:
Pentru \( x = 2 \): nu respectă condiția \( x < -1 \) sau \( x > 8 \). Pentru \( x = -2 \): respectă condiția \( x < -1 \) sau \( x > 8 \).
Pentru \( x = 4 \): nu respectă condiția \( x < -1 \) sau \( x > 8 \).

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 10x - x^2 \geq 0\)
\(\displaystyle x(10-x) \geq 0\)
Deci, \( x \in [0, 10] \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 10x - x^2 \geq 9\)
\(\displaystyle x^2 - 10x + 9 \leq 0\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( x^2 - 10x + 9 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:
\(\displaystyle x \in [1, 9]\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \in [0, 10] \) și \( x \in [1, 9] \)
Deci, \( x \in [1, 9] \)

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 5x - x^2 \geq 0\)
\(\displaystyle x(5-x) \geq 0\)
Deci, \( x \in [0, 5] \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 5x - x^2 \leq 4\)
\(\displaystyle x^2 - 5x + 4 \geq 0\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( x^2 - 5x + 4 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută în afara rădăcinilor:
\(\displaystyle x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \in [0, 5] \) și \( x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty) \)
Deci, \( x \in [0, 1] \cup [4, 5] \)

Pasul 1: Analizăm factorii inegalității:
Factorul \( (x-3) \) și factorul \( \log_2^2(x-1) \)
Pasul 2: Pentru ca inegalitatea să fie adevărată, trebuie ca ambii factori să fie pozitivi sau nuli, sau ambii să fie negativi sau nuli.
Dar \( \log_2^2(x-1) \) este întotdeauna pozitiv sau nul, deci trebuie ca \( (x-3) \) să fie pozitiv sau nul.
\( x - 3 \geq 0 \)
\( x \geq 3 \)
Pasul 3: Condiția de existență a logaritmului: \( x - 1 > 0 \), deci \( x > 1 \).
Pasul 4: Totuși, trebuie să excludem cazul în care \( \log_2(x-1) = 0 \), pentru că atunci am avea \( (x-3) \cdot 0 \geq 0 \), care este adevărat.
\( \log_2(x-1) = 0 \)
\( x - 1 = 1 \)
\( x = 2 \)
Dar \( x \) trebuie să fie mai mare sau egal cu 3, deci \( x = 2 \) nu este o soluție.
Pasul 5: Intersectăm soluția cu domeniul de definiție: \( x \geq 3 \) și \( x > 1 \), deci \( x \geq 3 \).

Pasul 1: Pentru ca o fracție să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero.
Deci, \( \sqrt{x^2 + x - 12} = 0 \) și \( x - 3 \neq 0 \).
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( \sqrt{x^2 + x - 12} = 0 \):
\(\displaystyle x^2 + x - 12 = 0\)
\(\displaystyle (x+4)(x-3) = 0\)
Deci, \( x = -4 \) sau \( x = 3 \).
Pasul 3: Verificăm condițiile:
Pentru \( x = -4 \): \( -4 - 3 = -7 \neq 0 \). Deci, \( x = -4 \) este o soluție.
Pentru \( x = 3 \): nu respectă condiția \( x - 3 \neq 0 \).

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{0,2} \frac{x-2}{4-x} \geq 0 \Leftrightarrow \log _{0,2} \frac{x-2}{4-x} \geq \log _{0,2} 1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { \frac { x - 2 } { 4 - x } \leq 1 } \\ { \frac { x - 2 } { 4 - x } > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \frac{x-2-(4-x)}{4-x} \leq 0 \\ \frac{x-2}{4-x}>0 \end{array} \Leftrightarrow\right.\right. \)
\( \displaystyle \left\{\begin{array} { l } { \frac { 2 x - 6 } { 4 - x } \leq 0 } \\ { \frac { x - 2 } { 4 - x } > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x \in(-\infty ; 3] \cup(4 ;+\infty) \\ x \in(2 ; 4) \end{array} \Leftrightarrow x \in(2 ; 3] .\right.\right. \)

Condiții:
\( \displaystyle 4x^2 - 4 \geq 0 \)
\( \displaystyle 5x^2 - 9 \neq 0 \)
\( \displaystyle x^2 \geq 1 \Rightarrow x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \)
\( \displaystyle x^2 \neq \frac{9}{5} \Rightarrow x \neq \pm \frac{3\sqrt{5}}{5} \)
Dacă \( \displaystyle x = \pm 1 \), atunci \( \sqrt{4x^2 - 4} = 0 \), deci fracția este 0, ceea ce satisface inegalitatea.
Dacă \( \displaystyle x \in (-\frac{3\sqrt{5}}{5}, -1) \cup (1, \frac{3\sqrt{5}}{5}) \), atunci \( 5x^2 - 9 < 0 \), deci fracția este negativă.

Rezolvare:
Domeniul este dat de \( x^2 - 8x \geq 0 \), adică \( x \in (-\infty, 0] \cup [8, +\infty) \). Ridicând la pătrat: \( x^2 - 8x < 9 \implies x \in (-1, 9) \). Intersecția cu domeniul dă \( S = (-1, 0] \cup [8, 9) \).

Pasul 1: Deoarece baza este mai mică decât 1, inversăm semnul inegalității:
\(\displaystyle \sqrt{x+2} \leq \sqrt{x^2+2x}\)
Pasul 2: Condițiile de existență a radicalilor:
\( x+2 \geq 0 \), deci \( x \geq -2 \)
\( x^2 + 2x \geq 0 \), deci \( x(x+2) \geq 0 \), deci \( x \leq -2 \) sau \( x \geq 0 \)
Pasul 3: Ridicăm la pătrat:
\(\displaystyle x+2 \leq x^2+2x\)
\(\displaystyle x^2 + x - 2 \geq 0\)
\(\displaystyle (x+2)(x-1) \geq 0\)
Deci \( x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) \)
Pasul 4: Intersectăm cu \( x \geq -2 \) și \( x \leq -2 \) sau \( x \geq 0 \)
Dacă \( x = -2 \), atunci \( \sqrt{-2+2} \geq \sqrt{(-2)^2 + 2(-2)} = \sqrt{0} \), deci \( 0 \geq 0 \), adică \( x = -2 \) este o soluție.
Dacă \( x \geq 0 \), atunci \( x \in [1, +\infty) \)
Pasul 5: Intersectăm toate soluțiile: \( x \in [1, +\infty) \) și \( x > -2 \)
Deci, \( x \in [1, +\infty) \)

Rezolvare:
\( \displaystyle \left[\begin{array} { c } { \{ \begin{array} { c } { x < 1 } \\ { x ^ { 2 } - 3 x + 2 \geq 0 } \\ { \{ \begin{array} { l } { - 3 < - 2 x < - 2 } \\ { x ^ { 2 } - 3 x + 2 \leq 0 } \end{array} } \end{array} \Leftrightarrow [ \begin{array} { c } { x < 1 } \\ { x \in ( - \infty ; 1 ] \cup [ 2 ; + \infty ) } \end{array} } \\ { \{ \begin{array} { c } { 1 < x < 1 , 5 } \\ { x \in [ 1 ; 2 ] } \end{array} } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} x < 1 \\ x \in(1 ; 1,5) \end{array}\right.\right. \)

Condiții:
\( \displaystyle 3x^2 - 3 \geq 0 \)
\( \displaystyle 3x^2 - 4 \neq 0 \)
\( \displaystyle x^2 \geq 1 \Rightarrow x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \)
\( \displaystyle x^2 \neq \frac{4}{3} \Rightarrow x \neq \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
Dacă \( \displaystyle x = \pm 1 \), atunci \( \sqrt{3x^2 - 3} = 0 \), deci fracția este 0, ceea ce satisface inegalitatea.
Dacă \( \displaystyle x \in (-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty) \), atunci \( 3x^2 - 4 > 0 \), deci fracția este pozitivă.

Condiții:
\( \displaystyle x > 0 \)
Fie \( \displaystyle t = |\ln x| \). Atunci \( 3t^2 + 2t - 5 = 0 \)
\( \displaystyle \Delta = 2^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64 \)
\( \displaystyle t_1 = \frac{-2 + 8}{6} = 1 \)
\( \displaystyle t_2 = \frac{-2 - 8}{6} = -\frac{5}{3} \)
\( \displaystyle |\ln x| = 1 \Rightarrow \ln x = 1 \) sau \( \ln x = -1 \)
\( \displaystyle x = e \) sau \( x = \frac{1}{e} \)
\( \displaystyle |\ln x| = -\frac{5}{3} \) (imposibil)

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle x^2 - x - 2 \geq 0\)
\(\displaystyle (x+1)(x-2) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty) \)
Pasul 2: Analizăm cazurile:
Cazul 1: \( \sqrt{x^2-x-2} = 0 \). Atunci \( x = -1 \) sau \( x = 2 \).
Cazul 2: \( \sqrt{x^2-x-2} > 0 \). Atunci trebuie ca \( 4-x \leq 0 \), adică \( x \geq 4 \).
Pasul 3: Intersectăm soluțiile cu domeniul de definiție:
Pentru cazul 1: \( x = -1 \) și \( x = 2 \) aparțin domeniului de definiție.
Pentru cazul 2: \( x \geq 4 \) și \( x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty) \). Deci, \( x \in [4, +\infty) \)
Pasul 4: Unim soluțiile obținute:
\( x \in \{-1, 2\} \cup [4, +\infty) \)

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle x^2 + 3x \geq 0\)
\(\displaystyle x(x+3) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty) \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle x^2 + 3x < 4\)
\(\displaystyle x^2 + 3x - 4 < 0\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( x^2 + 3x - 4 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:
\(\displaystyle x \in (-4, 1)\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty) \) și \( x \in (-4, 1) \)
Deci, \( x \in (-4, -3] \cup [0, 1) \)

Condiții:
\( \displaystyle x \neq 1 \)
\( \displaystyle 4^{2x+1} - 17 \cdot 4^x + 4 = 0 \)
\( \displaystyle 4 \cdot (4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 4 = 0 \)
Fie \( \displaystyle t = 4^x \). Atunci \( 4t^2 - 17t + 4 = 0 \)
\( \displaystyle \Delta = (-17)^2 - 4(4)(4) = 289 - 64 = 225 \)
\( \displaystyle t_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4 \)
\( \displaystyle t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
\( \displaystyle 4^x = 4 \Rightarrow x = 1 \) (nu convine)
\( \displaystyle 4^x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = -1 \)

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 8 - x \geq 0\)
\(\displaystyle x \leq 8\)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 8 - x < (x+4)^2\)
\(\displaystyle 8 - x < x^2 + 8x + 16\)
\(\displaystyle x^2 + 9x + 8 > 0\)
\(\displaystyle (x+8)(x+1) > 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, -8) \cup (-1, +\infty) \)
Pasul 3: Trebuie ca \( x+4 > 0 \) pentru a putea ridica la patrat. Atunci \( x > -4 \)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile: \( x \leq 8 \), \( x \in (-\infty, -8) \cup (-1, +\infty) \) și \( x > -4 \)
Deci, \( x \in (-1, 8] \)

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{0,3}(x+17)-\log _{0,3}(x+2) \leq \log _{0,3}(5 x+1) \Leftrightarrow \)
\( \displaystyle \log _{0,3}(x+17) \leq \log _{0,3}(x+2)+\log _{0,3}(5 x+1) \Leftrightarrow \)
\( \displaystyle \left\{\begin{array} { c } { x + 2 > 0 } \\ { \operatorname { l o g } _ { 0 , 3 } ( x + 1 7 ) \leq \operatorname { l o g } _ { 0 , 3 } ( ( x + 2 ) ( 5 x + 1 ) ) } \\ { 5 x + 1 > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x>-0,2 \\ x+17 \geq 5 x^{2}+11 x+2 \end{array} \Leftrightarrow\right.\right. \)
\( \displaystyle \left\{\begin{array} { c } { x > - 0 , 2 } \\ { x ^ { 2 } + 2 x - 3 \leq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x>-0,2 \\ x \in[-3 ; 1] \end{array} \Leftrightarrow x \in(-0,2 ; 1] .\right.\right. \)

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 2x^2 - 7x \geq 0\)
\(\displaystyle x(2x - 7) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{7}{2}, +\infty) \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 2x^2 - 7x \geq 9\)
\(\displaystyle 2x^2 - 7x - 9 \geq 0\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( 2x^2 - 7x - 9 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(-9)}}{2(2)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{7 \pm 11}{4}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută în afara rădăcinilor:
\(\displaystyle x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{9}{2}, +\infty)\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{7}{2}, +\infty) \) și \( x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{9}{2}, +\infty) \)
Deci, \( x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{9}{2}, +\infty) \)

Rezolvare:
Domeniul de valabilitate este \( (1, +\infty) \). Deoarece \( \log_3^2 x > 0 \) pentru orice \( x \in DVA \), rezultă că trebuie să rezolvăm: \[ (2^x - 3) \cdot \log_2(x-1) \leq 0 \] Cazuri:
1) \( 2^x \geq 3 \) și \( \log_2(x-1) \leq 0 \Rightarrow x \geq \log_2 3 \) și \( x \leq 2 \), deci \( x \in [\log_2 3, 2] \).
2) \( 2^x \leq 3 \) și \( \log_2(x-1) \geq 0 \Rightarrow x \leq \log_2 3 \) și \( x \geq 2 \), deci \( x \in \emptyset \).

Condiții:
\( \displaystyle x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0 \)
\( \displaystyle -x > 0 \Rightarrow x < 0 \)
\( \displaystyle 2\log_3 |x| - (\log_3 (-x))^2 + 3 = 0 \)
\( \displaystyle 2\log_3 (-x) - (\log_3 (-x))^2 + 3 = 0 \)
Fie \( \displaystyle t = \log_3 (-x) \). Atunci \( 2t - t^2 + 3 = 0 \)
\( \displaystyle t^2 - 2t - 3 = 0 \)
\( \displaystyle \Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \)
\( \displaystyle t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
\( \displaystyle t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
\( \displaystyle \log_3 (-x) = 3 \Rightarrow -x = 3^3 = 27 \Rightarrow x = -27 \)
\( \displaystyle \log_3 (-x) = -1 \Rightarrow -x = 3^{-1} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \)

Rezolvare:
\( \displaystyle \log _{x-3}\left(\frac{1}{2}\right) \geq 1 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { \{ \begin{array} { l } { x - 3 > 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } \geq x - 3 } \end{array} } \\ { \{ \begin{array} { l } { 0 < x - 3 < 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } \leq x - 3 } \end{array} } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x>4 \\ x \leq 3 \frac{1}{2} \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} 3 < x < 4 \\ x \geq 3 \frac{1}{2} \end{array}\right. \end{array} \Leftrightarrow x \in\left[3 \frac{1}{2} ; 4\right) .\right.\right. \)

Condiții:
\( \displaystyle x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \)
Fie \( \displaystyle t = \log_2(x+2) \). Atunci \( t^2 - 2t - 8 = 0 \)
\( \displaystyle \Delta = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \)
\( \displaystyle t_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)
\( \displaystyle t_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \)
\( \displaystyle \log_2(x+2) = 4 \Rightarrow x+2 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 14 \)
\( \displaystyle \log_2(x+2) = -2 \Rightarrow x+2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4} \)

Rezolvare:
Domeniul de valabilitate al inecuației este mulțimea \( (0, 1) \cup (1, +\infty) \). Se transformă inecuația în: \[ \log_x 4^{-1} + \log_4 x^{-1} \leq -2 \Leftrightarrow -\log_x 4 - \log_4 x \leq -2 \Leftrightarrow \log_x 4 + \log_4 x \geq 2 \] Fie \( \log_4 x = t \), atunci \( \log_x 4 = \frac{1}{t} \), deci \( \frac{1}{t} + t - 2 \geq 0 \Rightarrow \frac{(t-1)^2}{t} \geq 0 \). De unde \( t = 1 \) și \( t > 0 \).
Din \( t = 1 \Rightarrow x = 4 \), iar din \( t > 0 \Rightarrow x > 1 \). Soluția \( x = 4 \) aparține intervalului \( (1, +\infty) \), deci \( S = (1, +\infty) \).

Pasul 1: Analizăm factorii inegalității:
Factorul \( \sqrt{x^2 - 4} \) și factorul \( (\log_2(1-x) - 3) \)
Pasul 2: Pentru ca inegalitatea să fie adevărată, trebuie ca unul dintre factori să fie pozitiv și celălalt negativ. Dar \( \sqrt{x^2 - 4} \) este întotdeauna pozitiv sau nul, deci trebuie ca \( \sqrt{x^2 - 4} > 0 \) și \( \log_2(1-x) - 3 < 0 \).
\( \sqrt{x^2 - 4} > 0 \) implică \( x^2 - 4 > 0 \), deci \( x < -2 \) sau \( x > 2 \).
\( \log_2(1-x) - 3 < 0 \) implică \( \log_2(1-x) < 3 \), deci \( 1 - x < 2^3 \), adică \( 1 - x < 8 \), deci \( -x < 7 \), adică \( x > -7 \).
Pasul 3: Condițiile de existență: \( x^2 - 4 \geq 0 \) (deci \( x \leq -2 \) sau \( x \geq 2 \)) și \( 1 - x > 0 \) (deci \( x < 1 \)).
Pasul 4: Intersectăm toate condițiile: \( x < -2 \), \( x > -7 \) și \( x < 1 \). Deci, \( -7 < x < -2 \).

102

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 2x + 5 \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq -\frac{5}{2}\)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 2x + 5 < (x+1)^2\)
\(\displaystyle 2x + 5 < x^2 + 2x + 1\)
\(\displaystyle x^2 - 4 > 0\)
\(\displaystyle (x-2)(x+2) > 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \)
Pasul 3: Intersectăm soluțiile:
\( x \geq -\frac{5}{2} \) și \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \)
Deci, \( x \in \left[-\frac{5}{2}, -2\right) \cup (2, +\infty) \)
Pasul 4: Trebuie ca \( x+1 > 0 \) pentru a putea ridica la patrat. Atunci \( x > -1 \)
Deci intersectam cu \( x > -1 \) și obținem \( x \in (2, +\infty) \)

107

Rezolvare:
Domeniul de valabilitate este \( \mathbb{R} \). Avem \( x^2 \cdot 6^x - 6^{x+2} \leq 0 \Leftrightarrow x^2 \cdot 6^x - 6^2 \cdot 6^x \leq 0 \Leftrightarrow 6^x(x^2 - 36) \leq 0 \). Deoarece \( 6^x > 0 \) pentru orice \( x \in \mathbb{R} \), rezultă că \( x^2 - 36 \leq 0 \Rightarrow x \in [-6, 6] \).

114

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle x^2 - x \geq 0\)
\(\displaystyle x(x-1) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty) \)
Pasul 2: Analizăm cazurile:
Cazul 1: \( 1+x < 0 \) adică \( x < -1 \). Atunci inegalitatea este adevărată, deoarece radicalul este pozitiv și \( 1+x \) este negativ. Deci, \( x \in (-\infty, -1) \).
Cazul 2: \( 1+x \geq 0 \) adică \( x \geq -1 \). Atunci putem ridica la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle x^2 - x \geq (1+x)^2\)
\(\displaystyle x^2 - x \geq 1 + 2x + x^2\)
\(\displaystyle -3x \geq 1\)
\(\displaystyle x \leq -\frac{1}{3}\)
Pasul 3: Intersectăm soluțiile cu domeniul de definiție:
Pentru cazul 1: \( x \in (-\infty, -1) \) și \( x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty) \). Deci, \( x \in (-\infty, -1) \)
Pentru cazul 2: \( x \geq -1 \) și \( x \leq -\frac{1}{3} \) și \( x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty) \). Deci, \( x \in \left[-1, -\frac{1}{3}\right] \)
Pasul 4: Unim soluțiile obținute:
\( x \in (-\infty, -1) \cup \left[-1, -\frac{1}{3}\right] = \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right] \)

118

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor și rezolvăm inegalitatea:
Deoarece baza este mai mică decât 1 (\(\displaystyle \frac{1}{2} < 1\)), funcția logaritmică este descrescătoare, deci inversăm semnul inegalității și obținem:
\(\displaystyle \frac{x^2}{x+2} \leq 1\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{x+2} - 1 \leq 0\)
\(\displaystyle \frac{x^2 - (x+2)}{x+2} \leq 0\)
\(\displaystyle \frac{x^2 - x - 2}{x+2} \leq 0\)
\(\displaystyle \frac{(x-2)(x+1)}{x+2} \leq 0\)
Pasul 2: Analizăm semnul fracției. Rădăcinile numărătorului sunt \( x = 2 \) și \( x = -1 \). Rădăcina numitorului este \( x = -2 \).
Facem tabelul de semne:
\(\begin{array}{c|cccc} & -\infty & -2 & -1 & 2 & +\infty \\ \hline x-2 & - & - & - & + & + \\ x+1 & - & - & + & + & + \\ x+2 & - & + & + & + & + \\ \hline \frac{(x-2)(x+1)}{x+2} & - & + & - & + & \end{array}\)
Pasul 3: Identificăm intervalele unde expresia este mai mică sau egală cu 0:
\(\displaystyle x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 2]\)
Pasul 4: Condiția de existență a logaritmului: \(\displaystyle \frac{x^2}{x+2} > 0\), ceea ce implică \( x \neq 0 \) și \( x+2 > 0 \), deci \( x > -2 \).
Pasul 5: Intersectăm soluția cu domeniul de definiție: \(\displaystyle x \in (-2, -1] \cup (0, 2]\)

120

Rezolvare:
\( 4^{x}+2^{x+1}=80 \Leftrightarrow\left(2^{x}\right)^{2}+2^{x} \cdot 2-80=0 \).
Notăm \( 2^{x}=t, t>0 \) și obținem \( t^{2}+2 t-80=0 \).
Rezolvând ecuația de gradul II, obținem soluțiile \( \left[\begin{array}{c}t=-10 \\ t=8\end{array}\right. \)
Doar \( t=8 \) satisface condiția. Revenim la notare și avem \( 2^{x}=8=2^{3} \). Deci \( x=3 \).

123

Rezolvare:
O matrice pătratică \(A\) este inversabilă dacă determinantul ei \(\det A \neq 0\). \[ \det A = \begin{vmatrix} -x & 3x & 0 \\ 2 & x & 5 \\ 2 & 2x & 1 \end{vmatrix} = -x^2 + 30x + 0 - 0 - 6x + 10x^2 = 9x^2 + 24x \] Aflăm valorile reale ale lui \(x\) pentru care \(\det A = 0\): \[ 9x^2 + 24x = 0 \Leftrightarrow 3x^2 + 8x = 0 \Leftrightarrow x(3x + 8) = 0 \] de unde \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -\frac{8}{3} \). Atunci det \(A \neq 0\) pentru \( x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{8}{3}, 0 \right\} \).

127

\( \displaystyle 4 \cdot \frac{2^{2x}}{2} - 11 \cdot \frac{2^x}{2} = 10 \)
\( \displaystyle 2 \cdot (2^x)^2 - \frac{11}{2} \cdot 2^x = 10 \)
\( \displaystyle 4 \cdot (2^x)^2 - 11 \cdot 2^x - 20 = 0 \)
Fie \( \displaystyle t = 2^x \). Atunci \( 4t^2 - 11t - 20 = 0 \)
\( \displaystyle \Delta = (-11)^2 - 4(4)(-20) = 121 + 320 = 441 \)
\( \displaystyle t_1 = \frac{11 + 21}{8} = \frac{32}{8} = 4 \)
\( \displaystyle t_2 = \frac{11 - 21}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} \)
\( \displaystyle 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \)
\( \displaystyle 2^x = -\frac{5}{4} \) (imposibil)

130

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 2x + 9 \geq 0\)
\(\displaystyle 2x \geq -9\)
\(\displaystyle x \geq -\frac{9}{2} = -4.5\)
Pasul 2: Condiția ca partea dreaptă să fie pozitivă:
\(\displaystyle 3 - x > 0\)
\(\displaystyle x < 3\)
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 2x + 9 < (3-x)^2\)
\(\displaystyle 2x + 9 < 9 - 6x + x^2\)
\(\displaystyle x^2 - 8x > 0\)
\(\displaystyle x(x-8) > 0\)
Deci, \( x < 0 \) sau \( x > 8 \)
Pasul 4: Intersectăm \( x \geq -4.5 \), \( x < 3 \) și \( x < 0 \) sau \( x>8 \)
Atunci \( x \in [-4.5, 0) \)

134

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle x^2 - 2x \geq 0\)
\(\displaystyle x(x-2) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty) \)
Pasul 2: Analizăm cazurile:
Cazul 1: \( 4-x < 0 \) adică \( x > 4 \). Atunci inegalitatea este adevărată, deoarece radicalul este pozitiv și \( 4-x \) este negativ. Deci, \( x \in (4, +\infty) \).
Cazul 2: \( 4-x \geq 0 \) adică \( x \leq 4 \). Atunci putem ridica la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle x^2 - 2x \geq (4-x)^2\)
\(\displaystyle x^2 - 2x \geq 16 - 8x + x^2\)
\(\displaystyle 6x \geq 16\)
\(\displaystyle x \geq \frac{8}{3}\)
Pasul 3: Intersectăm soluțiile cu domeniul de definiție:
Pentru cazul 1: \( x \in (4, +\infty) \) și \( x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty) \). Deci, \( x \in (4, +\infty) \)
Pentru cazul 2: \( x \leq 4 \) și \( x \geq \frac{8}{3} \) și \( x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty) \). Deci, \( x \in \left[\frac{8}{3}, 4\right] \)
Pasul 4: Unim soluțiile obținute:
\( x \in (4, +\infty) \cup \left[\frac{8}{3}, 4\right] = \left[\frac{8}{3}, +\infty\right) \)

135

Rezolvare:
Domeniul de valabilitate al ecuației este mulțimea \((0; +\infty)\). Ecuația se scrie: \[ \left( \log_{\frac{1}{2}}(4x) \right)^2 + \log_2 x^2 - \log_2 8 = 8 \Leftrightarrow \left(-\log_2(4x)\right)^2 + 2\log_2|x| - 3 - 8 = 0 \] Deoarece \( x > 0 \Rightarrow |x| = x \), ecuația devine: \[ \left( \log_2 (4x) \right)^2 + 2\log_2 x - 11 = 0 \Leftrightarrow (\log_2 4 + \log_2 x )^2 + 2\log_2 x - 11 = 0 \] Notăm \( \log_2 x = t \), și obținem: \[ (2+t)^2 + 2t - 11 = 0 \Leftrightarrow 4 + 4t + t^2 + 2t - 11 = 0 \Leftrightarrow t^2 + 6t - 7 = 0 \] Ultima ecuație are soluțiile \( t_1 = -7, t_2 = 1 \). Obținem \( \log_2 x = -7 \), de unde \( x = \frac{1}{128} \) și \( \log_2 x = 1 \), de unde \( x = 2 \).

139

Condiții:
\( \displaystyle x \neq 0 \)
\( \displaystyle \log_3^2 \left(\frac{x^2}{9}\right) = (\log_3 x^2 - \log_3 9)^2 = (2\log_3 |x| - 2)^2 = 4(\log_3 |x| - 1)^2 \)
\( \displaystyle \log_3 x^6 = 6 \log_3 |x| \)
\( \displaystyle 4(\log_3 |x| - 1)^2 + 6 \log_3 |x| - 4 = 0 \)
\( \displaystyle 4(\log_3^2 |x| - 2\log_3 |x| + 1) + 6 \log_3 |x| - 4 = 0 \)
\( \displaystyle 4\log_3^2 |x| - 8\log_3 |x| + 4 + 6 \log_3 |x| - 4 = 0 \)
\( \displaystyle 4\log_3^2 |x| - 2\log_3 |x| = 0 \)
\( \displaystyle 2\log_3 |x| (2\log_3 |x| - 1) = 0 \)
\( \displaystyle \log_3 |x| = 0 \Rightarrow |x| = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
\( \displaystyle 2\log_3 |x| - 1 = 0 \Rightarrow \log_3 |x| = \frac{1}{2} \Rightarrow |x| = \sqrt{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \)

143

Rezolvare:
\(\displaystyle \log _{0,2}\left(x^{2}+3\right) < 0 \) pentru orice \( x \in R \), deoarece \( x^{2}+3>1 \) pentru orice \( x \in R \) și \( \log _{0,2}\left(x^{2}+3\right)<\log _{0,2} 1=0 \).
Prin urmare, \(\displaystyle \frac{5 x^{2}+x-6}{\log _{0,2}\left(x^{2}+3\right)} \geq 0 \), dacă și numai dacă \(\displaystyle 5 x^{2}+x-6 \leq 0 \)
\( \displaystyle 5x^2 + x - 6 = 0 \)
\( \displaystyle \Delta = 1^2 - 4(5)(-6) = 1 + 120 = 121 \)
\( \displaystyle x_1 = \frac{-1 + 11}{10} = 1 \)
\( \displaystyle x_2 = \frac{-1 - 11}{10} = -\frac{6}{5} = -1.2 \)
\( \displaystyle 5x^2 + x - 6 \leq 0 \Leftrightarrow x \in \left[-\frac{6}{5}; 1\right] \)

144

Rezolvare:
DVA: \( \displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}>0 \\ -x>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \neq 0 \\ x< 0\end{array} \Leftrightarrow x < 0\right.\right. \).
În DVA, avem \( \displaystyle \log _{2} x^{2}-\log _{2}^{2}(-x)+8=0 \Leftrightarrow 2 \log _{2}|x|-\log _{2}^{2}(-x)+8=0 \Leftrightarrow \)
\( \displaystyle 2 \log _{2}(-x)-\log _{2}^{2}(-x)+8=0 \Leftrightarrow \log _{2}^{2}(-x)-2 \log _{2}(-x)-8=0 \)
Notăm \( \displaystyle \log _{2}(-x)=t \) și obținem ecuația corespunzătoare \( \displaystyle t^{2}-2 t-8=0 \) cu soluțiile \( \displaystyle \left[\begin{array}{l}t=-2 \\ t=4\end{array}\right. \).
Revenind la notaţii, avem \( \displaystyle \left[\begin{array}{c}\log _{2}(-x)=4 \\ \log _{2}(-x)=-2\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}-x=2^{4} \\ -x=2^{-2}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=-16 \in D V A \\ x=-\frac{1}{4} \in D V A\end{array}\right.\right.\right. \).

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări