Item 8 - exercitii de exersare

Exerciții

Baza unui paralelipiped drept este un romb. Lungimea laturii rombului este de \(6 \, \text{cm}\), iar măsura unghiului ascuțit este de \(60^\circ\). Se știe că aria laterală este de \(144 \, \text{cm}^2\). Să se afle lungimile diagonalelor paralelipipedului.

Baza unei prisme drepte este un triunghi dreptunghic cu o catetă de 8 cm . Raza cercului înscris în triunghiul din baza prismei este de 3 cm şi este congruentă cu înălțimea prismei. Determinați volumul prismei.

Raza bazei unui cilindru circular drept are lungimea 26 cm , iar generatoarea cilindrului are 48 cm . Să se afle la ce distanță de la axa cilindrului trebuie făcută o secțiune paralelă la axa cilindrului, care să aibă forma de pătrat.

Aria laterală a unui con circular drept este egală cu \( 240 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), iar aria totală este egală cu \( 384 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle volumul conului.

Determinați aria totală a unei piramide patrulatere regulate cu muchia laterală de \( 10 \, \text{cm} \) și înălțimea de \( 5 \, \text{cm} \).

Înălţimea unei piramide triunghiulare regulate are lungimea de 2 cm , iar măsura unghiului diedru de la baza piramidei este de \( 30^{\circ} \). Să se afle aria laterală a piramidei.

Un vas are forma unei emisfere de rază \(6 \, \text{cm}\) care este completată cu un cilindru cu raza bazei de \(6 \, \text{cm}\). Să se afle înălțimea cilindrului astfel încât volumul vasului să fie de \(1800\pi \, \text{cm}^3\).

Secţiunea axială a unui trunchi de con circular drept este un trapez isoscel cu bazele de 12 cm şi 6 cm , iar măsura unghiului de la baza mare a trapezului este de \( 30^{\circ} \). Determinaţi aria laterală a trunchiului de con.

Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată lungimile laturilor bazelor sunt egale cu 6 cm și 2 cm. Muchia laterală formează cu planul bazei mari un unghi de 60°. Să se calculeze lungimea înălțimii trunchiului.

Diagonala unei prisme patrulatere regulate este de 13 cm , iar diagonala feței laterale este de 12 cm . Determinaţi aria totală a prismei.

Perimetrul bazei unei piramide patrulatere regulate este egal cu \(12\sqrt{2} \, \text{cm}\), iar lungimea muchiei laterale este egală cu \(5 \, \text{cm}\). Să se determine volumul acestei piramide.

Să se afle aria totală și volumul unui paralelipiped dreptunghic, știind că aria secțiunii diagonale este de \(120 \, \text{cm}^2\), o muchie a bazei are lungimea de \(8 \, \text{cm}\), iar lungimea muchiei laterale este de \(12 \, \text{cm}\).

Aria totală a unei prisme patrulatere regulate este egală cu \( 48 \, \text{cm}^2 \). Aflați volumul prismei, dacă lungimea laturii bazei este de două ori mai mare decât lungimea muchiei laterale.

Diagonala unei prisme patrulatere regulate formează cu planul bazei un unghi de \(30^\circ\). Determinați volumul prismei, dacă se cunoaște că diagonala bazei este de \(6 \, \text{cm}\).

Baza unei piramide este un romb cu diagonalele de \( 30 \, \text{cm} \) și \( 40 \, \text{cm} \), iar înălțimea piramidei este de \( 12 \, \text{cm} \) și trece prin punctul de intersecție a diagonalelor rombului. Determinați măsura unghiului diedru de la baza piramidei.

Generatoarea unui con circular drept formează cu planul bazei un unghi cu măsura de \( 30^{\circ} \). Determinați volumul conului, dacă aria lui laterală este egală cu \( 8 \sqrt{3} \pi \mathrm{~cm}^{2} \).

Într-un cilindru circular drept se înscrie o prismă triunghiulară regulată. Știind că volumul cilindrului este egal cu \( 45 \pi \mathrm{~cm}^{3} \), iar aria laterală a cilindrului este egală cu \( 30 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), să se afle aria laterală şi volumul prismei.

Muchia laterală a unei piramide patrulatere regulate are lungimea de \( \displaystyle 4\sqrt{2} \, \text{cm} \) și formează cu înălțimea piramidei un unghi de \( \displaystyle 30^\circ \). Determinați volumul piramidei.

Într-o prismă triunghiulară regulată faṭa laterală este un pătrat cu diagonala de \( 6 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \). Determinaţi volumul prismei.

Un con circular drept are raza bazei de \( 8 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \), iar generatoarea formează cu planul bazei un unghi cu măsura de \( 45^{\circ} \). Să se afle volumul şi aria totală a conului.

Baza piramidei \( VABC \) este triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) și înălțimea \( BK \), astfel încât \( KC = 27 \, \text{cm}, AK = 3 \, \text{cm} \). Muchia \( VB \) este perpendiculară pe planul bazei piramidei și este congruentă cu mediana triunghiului \( ABC \) dusă din vârful \( B \). Determinați volumul piramidei \( VABC \).

Într-un con circular drept înălțimea este de \( 6 \, \text{cm}, \) iar generatoarea formează cu planul bazei un unghi de \( 30^\circ\). Determinați aria secțiunii duse prin mijlocul înălțimii paralel cu planul bazei.

Baza unei piramide este un triunghi cu lungimile laturilor de \( 6 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm} \) Toate fețele laterale ale piramidei formează cu planul bazei unghiuri diedre cu măsurile de \( 45^{\circ} \). Să se afle volumul piramidei.

Aria laterală a unei prisme patrulatere regulate este egală cu aria bazei. Determinați cosinusul unghiului format de diagonala prismei cu planul bazei.

Fie \(ABCA_1B_1C_1\) prismă triunghiulară regulată. Prin muchia \(AB\) și prin vârful \(C_1\) este dus un plan, care formează cu planul \(ABC\) un unghi cu măsura de \(45^\circ\). Lungimea muchiei laterale a prismei este egală cu \(2\sqrt{3} \, \text{cm}\). Calculați volumul prismei.

Generatoarea unui trunchi de con circular drept are lungimea de 8 cm şi formează cu planul bazei mari un unghi cu măsura de \( 60^{\circ} \). Diagonala secţiunii axiale împarte acest unghi în două unghiuri congruente. Să se afle aria totală a trunchiului.

Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată lungimile laturilor bazelor sunt egale cu 2 cm și 10 cm, iar lungimea înălțimii este egală cu 7 cm. Să se afle aria laterală a trunchiului.

Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral. În con este înscrisă o sferă care are volumul de \( \displaystyle\frac{32}{3} \pi \mathrm{~cm}^{3} \). Să se afle volumul conului.

Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate are lungimea de 2 cm , iar măsura unghiului diedru de la baza piramidei este de \( 30^{\circ} \). Aflaţi aria laterală a piramidei.

Aria laterală a unui con circular drept este egală cu \( 16 \sqrt{10} \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Lungimea înălțimii conului este de 3 ori mai mare decît lungimea razei bazei conului. Determinați volumul conului.

Se consideră piramida triunghiulară regulată \(VABC\) cu baza triunghiul \(ABC\). \([VM]\) este apotemă, \(M \in BC\) și \(VM = 4\sqrt{3} \, \text{cm}\). Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei este de \(60^\circ\). Determinați distanța de la punctul \(A\) la planul opus.

Baza unei piramide este un trapez isoscel circumscripibil cu bazele de \( 24 \, \text{cm} \) și \( 6 \, \text{cm} \). Toate unghiurile diedre de la baza piramidei sunt de \( 30^\circ \). Determinați volumul piramidei.

Un con circular drept are secţiunea axială un triunghi isoscel cu perimetrul de 18 cm . Să se afle aria laterală şi volumul conului, ştiind că aria totală a conului este egală cu \( 36 \pi \mathrm{~cm}^{2} \).

Aria suprafeței totale a unei prisme patrulatere regulate este egală cu \( 360 \mathrm{~cm}^{2} \). Se știe că lungimea laturii bazei prismei este de două ori mai mică decît lungimea muchiei laterale a prismei. Să se afle volumul prismei.

Baza unei piramide este un romb cu diagonalele de \( 6 \, \text{cm} \) și \( 8 \, \text{cm} \), iar înălțimea piramidei este de \( 2,4 \, \text{cm} \) și trece prin punctul de intersecție al diagonalelor. Determinați măsura unghiului diedru de la baza piramidei.

Într-un con circular drept cu raza bazei de 5 cm şi înălţimea de 12 cm , se face o secţiune paralelă cu baza, avînd aria de \( 9 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle aria laterală şi volumul trunchiului de con format.

Baza prismei drepte \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) este un trapez isoscel cu bazele de \(3 \, \text{cm}\) și \(5 \, \text{cm}\) și latura neparalelă de \(\sqrt{10} \, \text{cm}\). Aria bazei este egală cu aria patrulaterului \(ACC_1A_1\). Determinați lungimea înălțimii prismei.

Lungimea înălțimii unei piramide patrulatere regulate este de 3 ori mai mică decît lungimea muchiei laterale, iar lungimea apotemei piramidei este de \( 3 \sqrt{5} \mathrm{~cm} \). Să se afle volumul piramidei.

Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată înălțimea are 63 cm, apotema are 65 cm, iar raportul lungimilor laturilor bazelor este 7:3. Să se afle aria bazei mari a trunchiului.

Fețele laterale ale unei piramide patrulatere regulate sunt triunghiuri echilaterale cu latura de \(6 \, \text{cm}\). Determinați volumul piramidei.

Aria laterală a unui con circular drept este egală cu \( 240 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), iar aria totală a conului este egală cu \( 384 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle volumul conului.

Să se afle volumul unei piramide patrulatere regulate care are muchia laterală de lungime 12 cm , iar secţiunea diagonală a piramidei este un triunghi dreptunghic.

Baza unei prisme drepte este un romb cu un unghi de \( 120^{\circ} \) și diagonala mică de 10 cm. Aflați lungimea diagonalei mari a prismei, dacă volumul ei este de \( 300 \sqrt{3} \, \text{cm}^3 \).

În baza unui con circular drept este înscris un triunghi cu laturile de \( 15 \, \text{cm}, 20 \, \text{cm}, \) și \( 25 \, \text{cm} \). Determinați aria suprafeței laterale a conului, dacă se cunoaște că generatoarea formează cu planul bazei un unghi de \( 30^\circ \).

Aria laterală a unui con circular drept este de \( 60 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), iar aria secțiunii axiale a conului este de \( 48 \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle aria totală şi volumul conului.

O piramidă triunghiulară regulată are muchia laterală de \( 10 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \). Muchia laterală formează cu planul bazei un unghi cu măsura de \( 45^{\circ} \). Să se afle volumul piramidei.

Fie un con circular drept cu vârful \( V \) și raza bazei de \( 2\sqrt{6} \, \text{cm} \). Coarda \( AB \) din baza conului are lungimea de \( 5\sqrt{3} \, \text{cm} \), iar \( m(\angle AVB) = 120^\circ \). Determinați volumul conului.

Îtr-un paralelipiped drept laturile bazei au lungimile de 3 cm sii 5 cm , iar una dintre diagonalele bazei are 4 cm . Să se afle diagonala mare a paralelipipedului, știind că diagonala mică a paralelipipedului formează cu planul bazei un unghi de \( 60^{\circ} \).

Aria laterală a unui con circular drept este egală cu \( 16\sqrt{10} \pi \, \text{cm}^2 \). Lungimea înălțimii conului este de 3 ori mai mare decât lungimea razei bazei conului. Determinați volumul conului.

Într-un con circular drept cu raza bazei de 5 cm şi înălțimea de 12 cm , se face o secțiune paralelă cu baza, avînd aria de \( 9 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle aria laterală şi volumul trunchiului de con format.

Să se afle volumul sferei înscrise într-un con circular drept cu generatoarea de 10 cm şi raza bazei de 6 cm .

Într-un paralelipiped drept lungimile laturilor bazei sunt de 7 cm şi 17 cm , iar diagonalele paralelipipedului formează cu planul bazei unghiuri cu măsurile de \( 45^{\circ} \) și \( 30^{\circ} \). Să se afle lungimea înălțimii paralelipipedului.

Baza unei prisme drepte este un paralelogram cu laturile de \( 6 \, \text{cm} \) și \( 12 \, \text{cm} \), iar un unghi este de \( 60^\circ \). Determinați volumul prismei, dacă diagonala mare formează cu planul bazei un unghi de \( 30^\circ \).

Să se afle aria totală a unei piramide triunghiulare regulate care are latura bazei de 6 cm , iar unghiul diedru de la baza piramidei are măsura de \( 60^{\circ} \).

Într-o piramidă patrulateră regulată secțiunea diagonală este un triunghi echilateral, iar apotema piramidei are lungimea de \( 3 \sqrt{7} \mathrm{~cm} \). Să se afle: a) Aria laterală şi volumul piramidei. b) Distanța de la centrul bazei la una dintre fețele laterale ale piramidei.

Diagonala secţiunii axiale a unui cilindru circular drept are lungimea egală cu 8 cm şi formează cu planul bazei cilindrului un unghi cu măsura de \( 60^{\circ} \). Determinaţi aria laterală a cilindrului.

Generatoarea unui con circular drept formează cu planul bazei un unghi de \(30^\circ\). Determinați volumul conului, dacă aria laterală este egală cu \( 8\sqrt{3} \pi \, \text{cm}^2 \).

Lungimile laturilor bazelor unui trunchi de piramidă patrulateră regulată sunt egale cu 20 cm şi 30 cm , iar aria laterală este egală cu suma ariilor bazelor trunchiului. Să se afle volumul trunchiului de piramidă.

Diagonala secțiunii axiale a unui cilindru circular drept are lungimea egală cu 8 cm și formează cu planul bazei cilindrului un unghi de 60°. Determinați aria laterală a cilindrului.

Generatoarea unui con circular drept este de \(11 \, \text{cm}\). Punctele \( A, B \) și \( C \) aparțin cercului din baza conului, astfel încât \( AB = 3\sqrt{3} \, \text{cm}, BC = 5\sqrt{3} \, \text{cm} \) și \( m(\angle ABC) = 120^\circ \). Determinați volumul conului.

Diametrul exterior al unei mingi de cauciuc este de \(22 \, \text{cm}\), iar grosimea cauciucului este de \(1 \, \text{cm}\). Să se afle volumul cauciucului din care este confecționată mingea.

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 12 cm şi volumul de \( 384 \mathrm{~cm}^{3} \). Să se afle lungimea înălțimii şi aria laterală a piramidei.

Fie un con circular drept cu vîrful \( V \) şi raza bazei de \( 2 \sqrt{6} \mathrm{~cm} \). Coarda [ \( A B \) ] din baza conului are lungimea de \( 5 \sqrt{3} \mathrm{~cm} \), iar \( m(\angle A V B)=120^{\circ} \). Determinaţi volumul conului.

O prismă triunghiulară dreaptă are baza un triunghi dreptunghic în care lungimea unei catete este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. Ştiind că volumul prismei este egal cu \( 360 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{3} \), iar înălţimea prismei este de 5 cm , să se afle aria laterală a prismei.

Baza unei prisme drepte este un triunghi dreptunghic cu o catetă de \( 6 \, \text{cm} \). Raza cercului înscris în triunghiul din bază este de \( 2 \, \text{cm} \) și este congruentă cu înălțimea prismei. Determinați volumul prismei.

Determinați aria totală a unui cilindru circular drept, dacă diagonala secțiunii axiale a acestui cilindru are lungimea de \(12 \text{ cm}\) și formează cu planul bazei un unghi de \(60^\circ\).

Aria totală a unui con circular drept este de \( 243\pi \, \text{cm}^2 \). Determinați volumul conului, știind că generatoarea lui formează cu planul bazei un unghi de \( 60^\circ \).

Un cilindru circular drept și un con circular drept au bază comună și aceeași înălțime. Ariile suprafețelor laterale ale acestora se raportează, respectiv, ca \( 6 : 5 \). Determinați măsura unghiului format de generatoarea conului și planul bazei.

Baza unei prisme drepte cu toate muchiile de \(4 \, \text{cm}\) este un romb cu un unghi de \(30^\circ\). Să se determine aria totală a prismei.

Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate este de 2 cm , iar măsura unghiului diedru de la baza piramidei este de \( 30^{\circ} \). Să se afle aria laterală a piramidei.

Rombul \( ABCD \) cu aria de \( 18\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \) și \( m(\angle ABC) = 60^\circ \) este baza piramidei \( VABCD \). Muchia \( VB \) este perpendiculară pe planul bazei și are lungimea de \( 6\sqrt{3} \, \text{cm} \). Determinați măsura unghiului format de muchia \( VD \) cu planul bazei piramidei.

În baza unui con circular drept este înscris un triunghi cu laturile de \( 15 \, \text{cm}, 21 \, \text{cm} \) și \( 24 \, \text{cm} \). Determinați volumul conului, dacă se cunoaște că generatoarea este de \( 14 \, \text{cm} \).

Aria laterală a unei piramide patrulatere regulate este egală cu \( 48 \mathrm{~cm}^{2} \). Unghiul format de o față laterală cu planul bazei are măsura de \( 60^{\circ} \). Să se afle volumul piramidei.

Baza unei prisme drepte este un romb cu diagonala mică de \( 30 \, \text{cm} \) și distanța de la punctul de intersecție al diagonalelor la latura rombului egală cu \( 12 \, \text{cm} \). Determinați aria laterală a prismei, dacă se cunoaște că înălțimea prismei este congruentă cu diagonala mare a rombului din bază.

Baza prismei drepte \( A B C A_{1} B_{1} C_{1} \) este triunghiul dreptunghic \( A B C \) cu \( m(\angle B A C)=90^{\circ}, A B_{1}=2 \sqrt{41} \mathrm{~cm}, A C_{1}=2 \sqrt{34} \mathrm{~cm} \) şi \( A A_{1}=10 \mathrm{~cm} \). Să se afle volumul prismei.

Într-un cilindru circular drept diagonala secţiunii axiale are lungimea 20 cm şi formează cu planul bazei un unghi cu măsura de \( 60^{\circ} \). Să se afle aria totală a cilindrului.

Un con circular drept are înălțimea \( V O=4 \mathrm{~cm} \) şi aria secțiunii axiale de \( 12 \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle aria totală şi volumul conului.

Generatoarea unui con circular drept este de 11 cm . Punctele \( A, B \) şi \( C \) aparțin cercului din baza conului, astfel încît \( A B=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}, B C=5 \sqrt{3} \mathrm{~cm} \) şi \( m(\angle A B C)=120^{\circ} \). Determinaţi volumul conului.

Aria bazei unui cilindru circular drept este de 25π cm², iar aria laterală este de 100π cm². Determinați măsura în grade a unghiului format de diagonala secțiunii axiale a cilindrului cu planul bazei.

Să se afle volumul unei prisme triunghiulare regulate, dacă aria totală a prismei este egală cu \( 8 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} \), iar lungimea muchiei laterale a prismei este de \( \sqrt{3} \mathrm{~cm} \).

Să se afle razele bazelor unui trunchi de con, știind că aria laterală a trunchiului de con este de 30π dm², înălțimea lui este de 3 dm și produsul razelor lui este egal cu 5.

Aria laterală a unui con circular drept este egală cu \( 16 \sqrt{10}\pi \, \text{cm}^2 \). Lungimea înălțimii conului este de \( 3 \) ori mai mare decât lungimea razei bazei conului. Determinați volumul conului.

Secțiunea diagonală a unei piramide patrulatere regulate este un triunghi cu laturile de \(10 \, \text{cm}\), \(10 \, \text{cm}\) și \(16 \, \text{cm}\). Determinați volumul piramidei.

Aria bazei unei prisme triunghiulare regulate este egală cu \(4\sqrt{3} \, \text{cm}^2\), iar aria laterală este egală cu \(36 \, \text{cm}^2\). Determinați lungimea înălțimii prismei.

În paralelipipedul drept \( A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} \) baza este rombul \( A B C D \) cu lungimea laturii de 8 cm , iar \( m(\angle A)=120^{\circ} \). Determinați lungimea diagonalei \( \left[A C_{1}\right] \) a paralelipipedului, dacă se ştie că lungimea muchiei laterale a paralelipipedului este de 6 cm .

Muchia laterală și apotema unei piramide triunghiulare regulate sunt egale respectiv cu 11 cm şi 7 cm . Sa se afle aria secţiunii ce trece prin muchia laterală şi înălțimea piramidei.

Fie piramida triunghiulară regulată cu raza cercului circumscris bazei de 4 cm şi măsura unghiului format de fața laterală cu planul bazei de \( 60^{\circ} \). Să se afle volumul piramidei.

Volumul unui con circular drept este egal cu \( 8\pi \, \text{cm}^3 \), iar aria bazei este egală cu \( 12\pi \, \text{cm}^2 \). Determinați măsura unghiului format de generatoarea conului și planul bazei.

Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată, laturile bazelor sunt de 6 cm și 3 cm, iar înălțimea este de 1 cm. Determinați măsura în grade a unghiului, format de muchia laterală cu planul bazei mari.

Baza unei piramide cu volumul de \( 512 \, \text{cm}^3 \) este un romb cu latura de \( 16 \, \text{cm} \) și un unghi de \( 120^\circ \). Determinați măsura unghiului diedru de la baza piramidei, dacă înălțimea piramidei trece prin centrul cercului înscris în bază.

Baza unei piramide este un trapez isoscel circumscriptibil cu bazele de \( 8 \, \text{cm} \) și \( 18 \, \text{cm} \). Fețele laterale formează cu planul bazei unghiuri congruente. Aflați măsura unghiului diedru de la baza piramidei, dacă lungimea înălțimii ei este de \( 6\sqrt{3} \, \text{cm} \).

Determinați volumul unui trunchi de con circular drept, cu ariile bazelor de \( \displaystyle 16 \pi \, \text{cm}^2 \) și \( \displaystyle 144 \pi \, \text{cm}^2 \), și aria totală de \( \displaystyle 480 \pi \, \text{cm}^2 \).

Într-un trunchi de con circular drept, ariile bazelor sunt egale cu π cm² și 16π cm², iar volumul este egal cu 28π cm³. Determinați aria laterală a trunchiului de con.

Laturile bazelor unui trunchi de piramidă patrulateră regulată sunt de 3 cm și 1 cm, iar unghiul diedru de la baza mare este de 60°. Determinați aria secțiunii diagonale a trunchiului de piramidă.

Secțiunea axială a unui trunchi de con circular drept este un trapez cu bazele de 12 cm și 6 cm și unghiul de la baza mare de 30°. Determinați aria laterală a trunchiului de con.

Înălţimea \( [\mathrm{VO}] \) a piramidei patrulatere regulate \( V A B C D \) este egală cu \( 12 \sqrt{3} \mathrm{~cm} \), iar raportul dintre aria laterală a piramidei şi aria bazei acesteia are valoarea 2 . Să se afle aria laterală, aria totală şi volumul piramidei.

100

În paralelipipedul drept \( A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} \) baza este rombul \( A B C D \) cu lungimea laturii de 8 cm , iar \( m(\angle A)=120^{\circ} \). Determinaţi lungimea diagonalei \( A C_{1} \) a paralelipipedului, ştiind că muchia lui laterală are lungimea de 6 cm .

101

Să se afle volumul unei piramide patrulatere regulate care are muchia laterală de lungime 12 cm , iar secţiunea diagonală a piramidei este un triunghi dreptunghic.

102

Generatoarea unui trunchi de con circular drept are lungimea de 8 cm şi formează cu planul bazei mari un unghi cu măsura de \( 60^{\circ} \). Diagonala secţiunii axiale a trunchiului împarte acest unghi în două unghiuri congruente. Să se afle aria totală a trunchiului.

103

Baza unei piramide este un trapez isoscel cu bazele de \( 21 \, \text{cm} \) și \( 9 \, \text{cm} \), iar înălțimea de \( 8 \, \text{cm} \). Toate muchiile laterale sunt congruente și au lungimea de \(\displaystyle \frac{85}{8}\sqrt{5} \). Determinați lungimea înălțimii piramidei.

104

Lungimea laturii bazei unei piramide patrulatere regulate este egală cu 10 cm , iar măsura unghiului diedru de la baza piramidei este egală cu \( 30^{\circ} \). Să se afle volumul piramidei.

105

Muchia laterală a unei piramide patrulatere regulate are lungimea de \(6\sqrt{2} \, \text{cm}\) și formează cu înălțimea piramidei un unghi de \(30^\circ\). Determinați volumul piramidei.

106

Diagonala bazei unei piramide patrulatere regulate are lungimea 12 cm , iar faṭa laterală a piramidei formează cu planul bazei un unghi cu măsura de \( 45^{\circ} \). Să se afle aria totală a piramidei.

107

Raportul dintre lungimea generatoarei și lungimea razei bazei unui con circular drept este \(2:1\), iar aria laterală a conului este de \(162\pi \, \text{cm}^2\). Să se determine volumul conului.

108

Volumul unui con circular drept egal cu \( 9\sqrt{3} \pi \, \text{cm}^3 \). Generatoarea și înălțimea conului formează un unghi cu măsura de \(30^\circ\). Aflați aria suprafeței laterale a conului.

109

Să se afle volumul unei piramide patrulatere regulate care are muchia laterală de lungime 12 cm , iar secţiunea diagonală a piramidei este un triunghi dreptunghic.

110

Baza unei piramide este un triunghi care are două laturi cu lungimile de \(2\sqrt{2} \, \text{cm}\) și \(5 \, \text{cm}\), iar unghiul dintre ele are măsura de \(45^\circ\). Aflați cosinusul unghiului format de muchia laterală cu planul bazei, dacă toate muchiile laterale au lungimea de \(\sqrt{39} \, \text{cm}\).

111

Secțiunea axială a unui cilindru are perimetrul de 18 cm și raportul dintre aria totală a cilindrului și aria lui laterală este \( \frac{7}{5} \). Să se determine volumul cilindrului.

112

Muchia laterală a unei piramide patrulatere regulate este congruentă cu diagonala bazei și are lungimea de \( 6 \, \text{cm} \). Determinați volumul piramidei.

113

Un cilindru circular drept are volumul egal \( \mathrm{cu} 12 \mathrm{~cm}^{3} \). Un alt cilindru are înălțimea de trei ori mai mare decit înălțimea primului cilindru şi raza bazei de două ori mai mică decît a primului cilindru. Să se afle volumul celui de-al doilea cilindru.

114

Aria laterală a unui cilindru circular drept este egală cu \(32\sqrt{2}\pi\) \(cm^2\). Lungimea diagonalei secțiunii axiale a cilindrului este de 3 ori mai mare decât lungimea înălțimii cilindrului. Determinați lungimea înălțimii cilindrului.

115

O piramidă patrulateră regulată \( V A B C D \) are apotema de \( \sqrt{7} \mathrm{~cm} \), iar muchia laterală formează cu planul bazei un unghi cu măsura de \( 60^{\circ} \). Să se afle volumul piramidei.

116

Baza unei prisme drepte este un trapez isoscel cu baza mare de \( 25 \, \text{cm} \) și baza mică de \( 7 \, \text{cm} \). Determinați lungimea diagonalei prismei, dacă se cunoaște că fețele laterale ale prismei sunt pătrate cu aria de \( 225 \, \text{cm}^2 \).

117

Baza unei piramide este un triunghi dreptunghic cu lungimile catetelor egale cu 12 cm şi 16 cm . Să se afle volumul piramidei, ştiind că toate muchiile laterale ale piramidei au lungimile de cite \( 10 \sqrt{5} \mathrm{~cm} \).

118

Baza unui paralelipiped drept este un romb. Înălţimea paralelipipedului este egală \( \mathrm{cu} \sqrt{3} \mathrm{~cm} \), iar diagonalele formează cu planul bazei unghiuri cu măsurile de \( 45^{\circ} \) şi \( 30^{\circ} \). Determinați volumul paralelipipedului.

119

Baza unei prisme drepte este un paralelogram cu laturile de 2 cm şi 4 cm şi un unghi de \( 60^{\circ} \). Determinaţi volumul prismei, dacă diagonala cea mai mare a prismei formează cu planul bazei un unghi de \( 30^{\circ} \).

Răspunsuri

Rezolvări

Fie trunchiul de con circular drept \( A A_{1} B_{1} B \), unde trapezul isoscel \( A A_{1} B_{1} B \) este o secțiune axială, \( [A B] \) fiind un diametru al cercului din baza mare, \( \left[A_{1} B_{1}\right] \) un diametru al cercului din baza mică şi generatoarea \( A A_{1}=B B_{1}=8 \mathrm{~cm} \). \( m\left(\angle A_{1} A B\right)=60^{\circ} \). Diagonala \( A B_{1} \) este bisectoare a unghiului \( A_{1} A B \Rightarrow \) \( m\left(\angle A_{1} A B_{1}\right)=m\left(\angle B_{1} A B\right)=30^{\circ} \). Atunci \( m\left(\angle A B_{1} A_{1}\right)=m\left(\angle B_{1} A B\right)=30^{\circ} \) ca unghiuri alterne interne formate de dreptele paralele \( A_{1} B_{1} \) şi \( A B \) şi secanta \( A B_{1} \Rightarrow \) triunghiul \( A A_{1} B_{1} \) este isoscel cu baza \( A B_{1} \), deci \( A_{1} B_{1}=A A_{1}=8 \mathrm{~cm} \), atunci lungimea razei bazei mici este \( r=4 \mathrm{~cm} . m\left(\angle A_{1} B_{1} B\right)=120^{\circ} \), şi deoarece \( m\left(\angle B_{1} A B\right)=30^{\circ} \), rezultă că \( m\left(\angle A B_{1} B\right)=90^{\circ} \), deci triunghiul \( A B_{1} B \) este dreptunghic cu \( m\left(\angle B_{1} A B\right)=30^{\circ} \Rightarrow A B=2 \cdot B B_{1}=2 \cdot 8=16 \mathrm{~cm} \), de unde lungimea razei bazei mari este \( R=8 \mathrm{~cm} \). Atunci aria bazei mici este \( A_{b}=\pi r^{2}=16 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), aria bazei mari este \( A_{B}=\pi R^{2}=64 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), iar aria laterală este \( A_{\text {lat }}=\pi G(R+r)=\pi \cdot 8(8+4)=96 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Aria totală a trunchiului este \( A_{\text {tot }}=A_{B}+A_{b}+A_{\text {lat }}=64 \pi+16 \pi+96 \pi=176 \pi \mathrm{~cm}^{2} \).
Explicație: Se folosesc proprietățile unghiurilor formate de bisectoare și drepte paralele pentru a determina că triunghiul \(AA_1B_1\) este isoscel, ceea ce implică faptul că raza bazei mici este jumătate din generatoare. Se folosește apoi trigonometrie în triunghiul dreptunghic \(AB_1B\) pentru a determina raza bazei mari. Aria totală este suma ariilor celor două baze și a ariei laterale.

Fie un con circular drept cu vîrful \( V \) şi baza cercul cu centrul \( O \) şi diametrul \( [A B] \). Fie \( R \) raza bazei conului, atunci înălțimea conului \( H=V O=3 R \). Din triunghiul dreptunghic \( V O A \), conform teoremei lui Pitagora, aflăm generatoarea \( G=V A \). Obținem \( \quad V A=\sqrt{A O^{2}+V O^{2}}=\sqrt{R^{2}+(3 R)^{2}}=\sqrt{R^{2}+9 R^{2}}=\sqrt{10 R^{2}}=R \sqrt{10} \). Deoarece aria laterală a conului este egală cu \( 16 \sqrt{10} \pi \mathrm{~cm}^{2} \), obținem \( \pi R G=16 \sqrt{10} \pi \), de unde \( R G=16 \sqrt{10} \Rightarrow R \cdot R \sqrt{10}=16 \sqrt{10} \Rightarrow R^{2}=16 \) \( \Rightarrow R=4 \mathrm{~cm} \). Atunci \( H=V O=3 \cdot 4=12 \mathrm{~cm} \). Volumul conului va fi \( V=\displaystyle \frac{1}{3} \pi R^{2} H=\displaystyle \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 12=64 \pi \mathrm{~cm}^{3} \).
Explicație: Se folosește relația dintre înălțime și rază pentru a exprima generatoarea în funcție de rază. Se folosește aria laterală pentru a determina raza, apoi înălțimea. Se calculează volumul folosind formula.

Fie \( x \) lungimea laturii pătratului din baza prismei, atunci muchia laterală are lungimea \( 2 x \). Aria totală a prismei este \( A_{\text {tot }}=2 A_{\text {baz }}+A_{\text {lat }}=2 x^{2}+4 \cdot x \cdot 2 x= \) \( 2 x^{2}+8 x^{2}=10 x^{2} \). Obţinem \( 10 x^{2}=360 \Rightarrow x^{2}=36 \) şi \( x=6 \). Aşadar, lungimea laturii pătratului din baza prismei este egală cu 6 cm , iar lungimea muchiei laterale (înălţimii) prismei este egală cu 12 cm . Aria bazei prismei este \( A_{b a z}=6^{2}=36 \mathrm{~cm}^{2} \). Volumul prismei este \( V=A_{b a z} \cdot h=36 \cdot 12=432 \mathrm{~cm}^{3} \).
Explicație: Aria totală a unei prisme patrulatere regulate este compusă din aria celor două baze (care sunt pătrate) și aria laterală (care este suma ariilor celor 4 fețe laterale, dreptunghiuri). Dacă latura bazei este x, atunci aria unei baze este \(x^2\), deci aria ambelor baze este \(2x^2\). Muchia laterală este 2x, deci aria unei fețe laterale este \(x \cdot 2x = 2x^2\), și avem 4 fețe laterale, deci \(8x^2\). Suma este \(10x^2\). Volumul prismei este aria bazei înmulțită cu înălțimea.

Se consideră conul circular drept cu vîrful \( V \) şi baza cercul cu centrul \( O \), în care [ \( A B \) ] este diametru, atunci \( [\mathrm{VO}] \) este înălțimea conului. Dacă \( A_{\text {lat }}=240 \pi \mathrm{~cm}^{2} \) şi \( A_{\text {tot }}=384 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), rezultă că \( A_{b a z}=A_{\text {tot }}-A_{\text {lat }}=384-240 \pi=144 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Fie \( R \) raza bazei conului, atunci \( A_{b a z}=\pi R^{2} \Rightarrow \pi R^{2}=144 \pi \Rightarrow R=12 \mathrm{~cm} \). \( A_{l a t}=\pi R G \Rightarrow \pi \cdot 12 \cdot G=240 \pi G=20 \mathrm{~cm} \). In triunghiul dreptunghi \( V O A \) avem \( A O=12 \mathrm{~cm}, V A=20 \mathrm{~cm} \). Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( V O A \) avem \( V O=\sqrt{V A^{2}-A O^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16 \mathrm{~cm} \). Atunci \( V_{\text {con }}=\frac{1}{3} \pi R^{2} H=\frac{1}{3} \pi \cdot 12^{2} \cdot 16=768 \pi \mathrm{~cm}^{3} \).
Explicație: Se calculează aria bazei scăzând aria laterală din aria totală. Se determină raza bazei din formula ariei bazei. Se calculează generatoarea conului din formula ariei laterale. Se folosește teorema lui Pitagora pentru a determina înălțimea conului. Volumul conului se calculează folosind formula volumului.

Fie piramida patrulateră regulată \( V A B C D \) cu vîrful \( V \) şi baza pătratul \( A B C D \) cu latura de 12 cm . Fie \( A C \cap B D=\{O\} \Rightarrow V O \perp(A B C) \Rightarrow[V O] \) este înălțimea piramidei. \( A_{b a z}=12^{2}=144 \mathrm{~cm}^{2} . V_{\text {pir }}=\frac{1}{3} \cdot A_{b a z} \cdot h \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot h=384 \) \( \Rightarrow 48 h=384 \), de unde \( h=8 \mathrm{~cm} \). Deci \( V O=8 \mathrm{~cm} \). Aflăm lungimea apotemei piramidei. Fie \( M \) milocul laturii [CD], atunci \( O M \perp C D \), şi conform teoremei celor trei perpendiculare avem \( V M \perp C D \Rightarrow[V M] \) este apotema piramidei. \( O M=\frac{1}{2} \cdot A D=\frac{1}{2} \cdot 12=6 \mathrm{~cm} \). Din triunghiul dreptunghic \( V O M \), conform teoremei lui Pitagora avem \( V M=\sqrt{V O^{2}+O M^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10 \mathrm{~cm} \).
Atunci \( A_{l a t}=4 \cdot A_{V C D}=4 \cdot \displaystyle \frac{1}{2} \cdot C D \cdot V M=2 \cdot 12 \cdot 10=240 \mathrm{~cm}^{2} \).
Explicație: Se folosește formula volumului piramidei pentru a determina înălțimea. Se calculează apotema (înălțimea unei fețe laterale) folosind teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic format din înălțimea piramidei, apotema bazei și apotema piramidei. Aria laterală este suma ariilor celor 4 triunghiuri laterale.

Fie \( x \) lungimea laturii pătratului din baza prismei, atunci muchia laterală are lungimea \( 2 x \). Aria totală a prismei este \( A_{\text {tot }}=2 A_{b a z}+A_{l a t}=2 x^{2}+4 \cdot x \cdot 2 x= \) \( 2 x^{2}+8 x^{2}=10 x^{2} \). Obţinem \( 10 x^{2}=360 \Rightarrow x^{2}=36 \) şi \( x=6 \). Aşadar, lungimea laturii bazei prismei este egală cu 6 cm , iar lungimea muchiei laterale (înălțimii) prismei este egală cu 12 cm . Aria bazei prismei este \( A_{b a z}=6^{2}=36 \mathrm{~cm}^{2} \). Volumul prismei este \( V=A_{b a z} \cdot h=36 \cdot 12=432 \mathrm{~cm}^{3} \).
Explicație: Aria totală a unei prisme patrulatere regulate este compusă din aria celor două baze (care sunt pătrate) și aria laterală (care este suma ariilor celor 4 fețe laterale, dreptunghiuri). Dacă latura bazei este x, atunci aria unei baze este \(x^2\), deci aria ambelor baze este \(2x^2\). Muchia laterală este 2x, deci aria unei fețe laterale este \(x \cdot 2x = 2x^2\), și avem 4 fețe laterale, deci \(8x^2\). Suma este \(10x^2\). Volumul prismei este aria bazei înmulțită cu înălțimea.

101

Fie piramida patrulateră regulată \( V A B C D \) cu vîrful \( V \) și baza pătratul \( A B C D \) în care \( A C \cap B D=\{O\} \), atunci \( [V O] \) este înălțimea piramidei. Triunghiul \( V A C \) este o secţiune diagonală a piramidei şi un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele \( V A=V C=12 \mathrm{~cm} \). Atunci ipotenuza lui este \( A C=12 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \).
\( V O=\displaystyle \frac{1}{2} A C=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 12 \sqrt{2}=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \). Aria pătratului \( A B C D \) din baza piramidei este egală cu \( A_{b}=\displaystyle \frac{A C \cdot B D}{2}=\displaystyle \frac{12 \sqrt{2} \cdot 12 \sqrt{2}}{2}=144 \mathrm{~cm}^{2} \). Atunci volumul piramidei este \( V=\displaystyle \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot V O=\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6 \sqrt{2}=288 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{3} \).
Explicație: Secțiunea diagonală a unei piramide patrulatere regulate este un triunghi cu vârf în vârful piramidei și bază diagonala pătratului de la bază. Dacă acest triunghi este dreptunghic isoscel, atunci înălțimea piramidei este jumătate din diagonala pătratului. Aria bazei este diagonala la patrat impartit la 2, iar volumul este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime. \( \square \)

109

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări