Extreme globale

Metoda de Rezolvare

Calculăm derivata funcției:
Determinăm \( f'(x) \).
Rezolvăm ecuația \( f'(x) = 0 \):
Determinăm punctele critice ale funcției.
Analizăm semnul derivatei:
Verificăm semnele derivatei \( f'(x) \) în intervalele determinate de rădăcinile ecuației \( f'(x) = 0 \):
- Într-un interval unde derivata este pozitivă, funcția este crescătoare.
- Într-un interval unde derivata este negativă, funcția este descrescătoare.
Dacă semnul derivatei se schimbă în jurul unui punct \( x_k \), acest punct este un maxim (dacă semnul se schimbă din \( + \) în \( - \)) sau un minim (dacă semnul se schimbă din \( - \) în \( + \)).
Verificăm valorile la capetele intervalului:
De obicei functia va avea doua limite in domeniul ei de definitie, deci vom calcula si valorile functiei in aceste puncte. Deci, daca functia are domeniul de definitie \(\left[ a; b \right]\), vom calcula \(f(a)\) si \(f(b)\). Apoi calculam valorile functiei in punctele de maxim sau minim, si le comparam pe toate - cel mai mare numar va reprezenta extrema globala de maxim, iar cel mai mic numar va reprezenta extrema globala de minim.

Exemplu Rezolvat

Găsiți extremele locale și globale pentru funcția:

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \] pe intervalul \([0, 3]\).

Rezolvare

Calculăm derivata funcției:
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]
Rezolvăm ecuația \( f'(x) = 0 \):
\[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \] Folosim formula radicalilor: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \, \text{unde} \, a = 3, b = -6, c = 2 \] \[ x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \] \[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \] Soluțiile sunt: \[ x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Analizăm semnul derivatei:
Verificăm semnul lui \( f'(x) \) în intervalele \([0, x_1]\), \([x_1, x_2]\), \([x_2, 3]\).
- \( f'(x) > 0 \) pe \([0, x_1]\): funcția este crescătoare.
- \( f'(x) < 0 \) pe \([x_1, x_2]\): funcția este descrescătoare.
- \( f'(x) > 0 \) pe \([x_2, 3]\): funcția este crescătoare.
Extreme locale:
- Minim local în \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \)
- Maxim local în \( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Calculăm valorile la capetele intervalului:
\[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 = 0 \] \[ f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 = 27 - 27 + 6 = 6 \] Comparăm valorile:
- Minim global: \( f(0) = 0 \)
- Maxim global: \( f(3) = 6 \)

Răspuns: Maxim local în \( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \), minim local în \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \), minim global în \( x = 0 \), maxim global în \( x = 3 \).

Exerciții

Calculați punctele de extrem local și global ale funcției \( f(x) = 2\sin(x) - x \) pe intervalul \( [0, 2\pi] \).

Determinați punctele de extrem global ale funcției \( f(x) = \ln(x) - x^2 \) pe intervalul \( [1, 3] \).

Verificați punctele de extrem local și global ale funcției \( f(x) = e^{-x^2} \) pe intervalul \( [-2, 2] \).

Determinați extremele globale ale funcției: \( \displaystyle f:\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R, f(x)=\sin 2 x-2 x \).

Determinați extremele globale ale functiei \( \displaystyle f:\left[-\frac{\pi}{2} ; \pi\right] \rightarrow R, f(x)=\sin x-\sqrt{3} \cos x+1 \).

Determinaţi extremele globale ale funcţiei: \( \displaystyle f:[1 ; 4] \rightarrow R \quad f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x} \).

Răspunsuri

\(\displaystyle f_{max} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}; f_{min} = -2\pi \)

\(\displaystyle f_{max} = 0; f_{min} = \ln(3) - 9 \)

\(\displaystyle f_{max} = 1; f_{min} = e^{-4} \)

\( \displaystyle M=\pi ; m=-\pi \).

\( \displaystyle \max _{\left[-\frac{\pi}{2} ; \pi\right]} f(x)=3 ; \min _{\left[-\frac{\pi}{2} ; \pi\right]} f(x)=-1 \).

\( \displaystyle m=\min _{[1 ; 4]} f(x)=2 ; M=\max _{[1 ; 4]} f(x)=3 \frac{1}{3} \).

Rezolvări

Derivata este: \[ f'(x) = 2\cos(x) - 1. \] Rezolvăm \( f'(x) = 0 \Rightarrow 2\cos(x) = 1 \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \).

Valori în puncte importante: \[ f(0) = 2\cdot 0 - 0 = 0, \quad f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}, \] \[ f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3}, \quad f(2\pi) = 0 - 2\pi = -2\pi. \] Deci:

- Maxim global: la \( x = \frac{\pi}{3} \), valoare: \( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \)
- Minim global: la \( x = 2\pi \), valoare: \( -2\pi \)

Derivata: \[ f'(x) = \frac{1}{x} - 2x. \] Rezolvăm: \[ \frac{1}{x} = 2x \Rightarrow 1 = 2x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}} \notin [1, 3]. \] Nu există puncte critice în interiorul intervalului. Evaluăm la capete: \[ f(1) = 0, \quad f(3) = \ln(3) - 9 \approx 1.1 - 9 = -7.9. \]

Extrem global:
Maxim global: \( f(1) = 0 \)
Minim global: \( f(3) = \ln(3) - 9 \)

Derivata: \[ f'(x) = -2xe^{-x^2}. \] Rezolvăm: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0. \]

\(x\)	\(f'(x)\)	Semn	Comportament
\(x < 0\)	\(f'(x) > 0\)	\(+\)	↑
\(x = 0\)	\(f'(0) = 0\)	\(0\)	Extrem
\(x > 0\)	\(f'(x) < 0\)	\(-\)	↓

Valori: \[ f(0) = e^0 = 1, \quad f(\pm 2) = e^{-4} \approx 0.018. \]

Maxim global: \( x = 0 \), \( f(0) = 1 \)
Minim global: \( x = \pm 2 \), \( f(\pm 2) = e^{-4} \)

Rezolvare:
Calculăm valorile funcției la capetele intervalului:
\( \displaystyle f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin (-\pi)+\pi=\pi \)
\( \displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin (\pi)-\pi=-\pi \)
Calculăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x-2 \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 2 \cos 2 x-2=0 \Leftrightarrow \cos 2 x=1 \Leftrightarrow 2 x=2 \pi k \Leftrightarrow x=\pi k, k \in Z \).
Selectăm soluțiile care aparțin intervalului \( \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \): \( \displaystyle x=0 \).
Calculăm valoarea funcției în punctul critic: \( \displaystyle f(0)=\sin (0)-0=0 \).
Comparăm valorile: \( \displaystyle \{-\pi ; 0 ; \pi\} \).
Maximul global este \( \displaystyle M=\max _{\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]} f(x)=\max \{-\pi ; 0 ; \pi\}=\pi \).
Minimul global este \( \displaystyle m=\min _{\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]} f(x)=\min \{-\pi ; 0 ; \pi\}=-\pi \).

Rezolvare:
Calculăm valorile funcției la capetele intervalului:
\( \displaystyle f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)-\sqrt{3} \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+1=-1 - 0 + 1 = 0 \)
\( \displaystyle f(\pi)=\sin \pi-\sqrt{3} \cos \pi+1=0 - \sqrt{3}(-1) + 1=\sqrt{3}+1 \).
Calculăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=\cos x+\sqrt{3} \sin x \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow \cos x+\sqrt{3} \sin x=0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \operatorname{tg} x=-1 \Leftrightarrow \operatorname{tg} x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z \)
Selectăm soluțiile care aparțin intervalului \( \displaystyle \left[-\frac{\pi}{2} ; \pi\right] \): \( \displaystyle x_{1}=-\frac{\pi}{6} \) și \( \displaystyle x_{2}=\frac{5 \pi}{6} \).
Calculăm valorile funcției în punctele critice:
\( \displaystyle f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3} \cdot \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+1=-\frac{1}{2}-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+1=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1=-1 \)
\( \displaystyle f\left(\frac{5 \pi}{6}\right)=\sin \frac{5 \pi}{6}-\sqrt{3} \cdot \cos \frac{5 \pi}{6}+1=\frac{1}{2}-\sqrt{3} \cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+1=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1=3 \).
Comparăm valorile: \( \displaystyle \{-1 ; 0 ; \sqrt{3}+1 ; 3\} \).
Maximul global este \( \displaystyle \max _{\left[-\frac{\pi}{2} ; \pi\right]} f(x)=\max \{-1 ; 0 ; \sqrt{3}+1 ; 3\}=3 \).
Minimul global este \( \displaystyle \min _{\left[-\frac{\pi}{2} ; \pi\right]} f(x)=\min \{-1 ; 0 ; \sqrt{3}+1 ; 3\}=-1 \).

Rezolvare:
Calculăm derivata: \( \displaystyle f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{3}{x^2} \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3 \).
Selectăm soluțiile care aparțin intervalului \( \displaystyle [1 ; 4] \): \( \displaystyle x = 3 \).
Calculăm valorile funcției la capete și în punctul critic:
\( \displaystyle f(1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{1} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \)
\( \displaystyle f(3) = \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = 1 + 1 = 2 \)
\( \displaystyle f(4) = \frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{16 + 9}{12} = \frac{25}{12} = 2\frac{1}{12} \)
Comparăm valorile: \( \displaystyle \{3\frac{1}{3}, 2, 2\frac{1}{12}\} \).
Maximul global este \( \displaystyle M = 3\frac{1}{3} \) și minimul global este \( \displaystyle m = 2 \).

Cuprins

Explicație
Exerciții