Inecuatii de gradul 2

Inecuația de gradul este de forma:

\[ ax^2 + bx + c > 0, \quad ax^2 + bx + c \geq 0, \quad ax^2 + bx + c < 0, \quad ax^2 + bx + c \leq 0. \]

Metoda de Rezolvare

  1. Rezolvăm ecuația asociată \( ax^2 + bx + c = 0 \) pentru a determina zerourile.
  2. Construim axa numerică:
    • Cazul \( \Delta > 0 \): Avem două zerouri \( x_1 \) și \( x_2 \).
    • Cazul \( \Delta = 0 \): Avem un zerou \( x = -\frac{b}{2a} \).
    • Cazul \( \Delta < 0 \): Ecuația nu are zerouri.
  3. Construim o parabola pe axa care trece prin zerouri (daca sunt). Daca numarul \(a\) din fata lui \(x^2\) este pozitiv, atunci parabola va fi cu ramurile in sus, iar daca \(a\) este negativ, atunci parabola va fi cu ramurile in jos.
  4. Hașurăm soluția pe axa numerică în funcție de inegalitatea cerută. Daca avem in inecuatie semnul ">" sau "\(\geq\)" atunci hasuram intervalele pe care parabola este deasupra axei, iar daca avem semnul "<" sau "\(\leq\)" atunci hasuram intervalele pe care parabola este dedesubtul axei.

Exemplu Rezolvat

Rezolvați în \(\mathbb{R}\):

\[ 2x^2 - 3x - 2 \geq 0 \]

Pasul 1: Rezolvăm ecuația asociată

Aflăm zerourile: \[ 2x^2 - 3x - 2 = 0 \]
Calculăm discriminantul: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] Determinăm rădăcinile: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2 \]

Pasul 2: Construim axa numerică

Pe axa numerică avem punctele \( x_1 = -\frac{1}{2} \) și \( x_2 = 2 \). Cerculetele vor fi colorate, pentru ca in inecuatia initiala avem semnul "\(\geq\)".
Deoarece numarul din fata lui \(x^2\) din inecuatia initiala este un numar pozitiv (\(a=2\)), atunci parabola va fi cu ramurile in sus pe axa:

Pasul 3: Scriem soluția

Deoarece inecuația este \(\geq 0\), selectăm intervalele unde semnul este \( + \) și includem zerourile deoarece inegalitatea este „mai mare sau egal” si cerculetele sunt colorate: \[\displaystyle S = \left( -\infty; -\frac{1}{2} \right] \cup \left[ 2; +\infty \right) \]

Exerciții

1
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x^2 - 3x - 4 > 0 \)
2
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( -x^2 + 6x + 7 \geq 0 \)
3
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x^2 - 10x + 25 \geq 0 \)
4
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x^2 - 16 < 0 \)
5
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( -5x^2 + 20x \leq 0 \)
6
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( 4x^2 + 4x + 1 \leq 0 \)
7
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( -x^2 + 6x - 9 < 0 \)
8
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x^2 + 2x + 6 > 0 \)
9
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( -x^2 + x - 10 > 0 \)
10
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( -9x^2 + 12x - 4 > 0 \)
11
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x^2 + 5 < 0 \)
12
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x^2 - 2x - 15 < 0 \)
13
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( -x^2 - 2x + 8 \leq 0 \)
14
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( -x^2 + 4x - 6 \leq 0 \)
15
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( -4x^2 + 4x - 1 \geq 0 \)
16
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x^2 - 10x + 25 > 0 \)
17
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x^2 - 2x - 5 < 0 \)
18
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x^2 + 3x + 7 < 0 \)
19
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( x(x + 5) - 2 > 4x \)
20
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( (x + 4)(x + 5) \leq 0 \)
21
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( 3x^2 + 4 \leq 10 - x(x - 2) \)
22
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( 3x^2 - 4x + 1 \leq 0 \)
23
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( 3(x - 2)^2 > 15x + 20 - 2(4x - 3)^2 \)
24
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( (x - 2)^2 + 3x - 4 > 0 \)
25
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \frac{(x+1)^2}{2} \geq 2x + 1 \)
Înapoi Următor