Primitiva Funcției
Primitiva unei funcții \(f(x)\) este o funcție \(F(x)\) astfel încât derivata lui \(F(x)\) să fie egală cu \(f(x)\). Cu alte cuvinte:
\[ F'(x) = f(x) \]
Procesul de determinare a primitivei unei funcții se numește integrare, iar simbolul utilizat este \(\displaystyle \int\).
1. Formula generală pentru primitivă
Orice funcție continuă \(f(x)\) are o infinitate de primitive, de forma:
\[ F(x) = \int f(x) \, dx + C, \]
unde \(C\) este constanta de integrare.
2. Exemple de primitive uzuale
Lista celor mai comune primitive:
| Funcția | Integrală | Observații |
|---|---|---|
| $$\int 0 \, dx$$ | $$C$$ | Integrala unei constante zero. |
| $$\int 1 \, dx$$ | $$x + C$$ | Integrala unei constante egale cu 1. |
| $$\int x^n $$ | $$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ | Puterea funcției polinomiale. |
| $$\int \frac{1}{x} \, dx$$ | $$\ln|x| + C$$ | Valabil pentru \(x \neq 0\). |
| $$\int e^x \, dx$$ | $$e^x + C$$ | Funcția exponențială. |
| $$\int \sqrt{x} \, dx$$ | $$\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$$ | Funcția rădăcină pătrată. |
| $$\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$$ | $$ 2\sqrt{x} + C$$ | Funcția reciprocă a rădăcinii pătrate. |
| $$\int a^x $$ | $$\frac{a^x}{\ln a} + C$$ | Funcție exponențială cu bază \(a\). |
| $$\int \sin x \, dx$$ | $$-\cos x + C$$ | Funcția sinus. |
| $$\int \cos x \, dx$$ | $$\sin x + C$$ | Funcția cosinus. |
| $$\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$$ | $$arctg x + C$$ | Funcția arc tangenta. |
| $$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$$ | $$\arcsin x + C$$ | Funcția arc sinus. |
3. Exemple rezolvate
Exemplul 1
Calculați primitiva funcției \(f(x) = 3x^2 - 2x + 5\):
\[ \int (3x^2 - 2x + 5) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 5 \, dx. \]
Calculăm fiecare componentă:
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = x^3, \quad \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = x^2, \quad \int 5 \, dx = 5x. \]
Astfel, primitiva este:
\[ F(x) = x^3 - x^2 + 5x + C. \]
Exemplul 2
Calculați primitiva funcției \(f(x) = \frac{1}{x}\):
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C. \]