Primitiva Funcției

Primitiva unei funcții $f(x)$ este o funcție $F(x)$ astfel încât derivata lui $F(x)$ să fie egală cu $f(x)$. Cu alte cuvinte:

\[ F'(x) = f(x) \]

Procesul de determinare a primitivei unei funcții se numește integrare, iar simbolul utilizat este $\displaystyle \int$.

1. Formula generală pentru primitivă

Orice funcție continuă $f(x)$ are o infinitate de primitive, de forma:

\[ F(x) = \int f(x) \, dx + C, \]

unde $C$ este constanta de integrare.

2. Exemple de primitive uzuale

Lista celor mai comune primitive:

Funcția	Integrală	Observații
$$\int 0 \, dx$$	$$C$$	Integrala unei constante zero.
$$\int 1 \, dx$$	$$x + C$$	Integrala unei constante egale cu 1.
$$\int x^n $$	$$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$	Puterea funcției polinomiale.
$$\int \frac{1}{x} \, dx$$	$$\ln\|x\| + C$$	Valabil pentru $x \neq 0$.
$$\int e^x \, dx$$	$$e^x + C$$	Funcția exponențială.
$$\int \sqrt{x} \, dx$$	$$\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$$	Funcția rădăcină pătrată.
$$\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$$	$$ 2\sqrt{x} + C$$	Funcția reciprocă a rădăcinii pătrate.
$$\int a^x $$	$$\frac{a^x}{\ln a} + C$$	Funcție exponențială cu bază $a$.
$$\int \sin x \, dx$$	$$-\cos x + C$$	Funcția sinus.
$$\int \cos x \, dx$$	$$\sin x + C$$	Funcția cosinus.
$$\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$$	$$arctg x + C$$	Funcția arc tangenta.
$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$$	$$\arcsin x + C$$	Funcția arc sinus.

3. Exemple rezolvate

Exemplul 1

Calculați primitiva funcției $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$:

\[ \int (3x^2 - 2x + 5) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 5 \, dx. \]

Calculăm fiecare componentă:

\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = x^3, \quad \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = x^2, \quad \int 5 \, dx = 5x. \]

Astfel, primitiva este:

\[ F(x) = x^3 - x^2 + 5x + C. \]

Exemplul 2

Calculați primitiva funcției $f(x) = \frac{1}{x}$:

\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C. \]

Exerciții

Determinați primitiva funcției: $ f(x) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1 $

Calculați primitiva funcției: $ f(x) = 4x^5 + 2x^3 + x $

Găsiți primitiva funcției: $ f(x) = \sqrt{x} $

Determinați primitiva funcției: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $

Calculați primitiva funcției: $ f(x) = e^x $

Găsiți primitiva funcției: $ f(x) = \sin(x) $

Determinați primitiva funcției: $ f(x) = \cos(x) $

Calculați primitiva funcției: $ f(x) = x^2 + 3\sqrt{x} $

Găsiți primitiva funcției: $ f(x) = 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 $

Determinați primitiva funcției: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} $

Calculați primitiva funcției: $ f(x) = x^3 - 2x + 4 $

Găsiți primitiva funcției: $ f(x) = 3x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}} $

Determinați primitiva funcției: $ f(x) = \cos(x) + e^x $

Calculați primitiva funcției: $ f(x) = \sin(x) + \sqrt{x} $

Găsiți primitiva funcției: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + e^x $

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int(2x-1)^3 dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{3x - 2}} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{dx}{(\frac{x}{4} - 1)^3} $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int 2^{4x + 3} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{dx}{3x - 2} $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{x^3}{x^4 - 1} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{x^3}{x^8 - 1} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{x}{x^4 - 1} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \operatorname{tg} x dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{1 + \cos^2 x}{1 + \cos 2x} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{e^x}{e^x + 2} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{e^x}{e^{2x} + 2} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{dx}{x(2 + \ln x)} $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{5x}{4x^2 + 3} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{5}{4x^2 + 3} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{5}{4x^2 + 4x - 24} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{x + 5}{x^2 + 4x + 13} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{x^2 - 4}{x + 1} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int \frac{x^3 - 3x + 4}{x - 2} dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int x \sin x dx $.

Calculați integrala nedefinită $ \displaystyle \int (x^2 - 2x + 3) e^{2x} dx $.

Calculați $ \displaystyle \int_{-1}^{0} (2x - 3) \ln (x + 2) dx $.

Calculați integrala definită $ \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x d x}{\sqrt{5-4 x}} $.

Răspunsuri

Rezolvări

Având:
$\displaystyle \int f(x)dx=\int \left(2x^3+5x^2+3x+1\right)dx=\int 2x^3dx+\int 5x^2dx+\int 3xdx+\int 1dx$.
Se obţine:
$\displaystyle \int 2x^3dx=\frac{2x^4}{4}=\frac{x^4}{2}$,
$\displaystyle \int 5x^2dx=\frac{5x^3}{3}$,
$\displaystyle \int 3xdx=\frac{3x^2}{2}$,
$\displaystyle \int 1dx=x$.
Astfel, primitiva este:
$ \displaystyle F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{5x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+x+C$

Având:
$\displaystyle \int f(x)dx=\int \left(4x^5+2x^3+x\right)dx=\int 4x^5dx+\int 2x^3dx+\int xdx$.
Se obţine:
$\displaystyle \int 4x^5dx=\frac{4x^6}{6}=\frac{2x^6}{3}$,
$\displaystyle \int 2x^3dx=\frac{2x^4}{4}=\frac{x^4}{2}$,
$\displaystyle \int xdx=\frac{x^2}{2}$.
Astfel, primitiva este:
$ \displaystyle F(x)=\frac{2x^6}{3}+\frac{x^4}{2}+\frac{x^2}{2}+C$

Având:
$\displaystyle \int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

Având:
$\displaystyle \int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=2\sqrt{x}+C$

Având:
$\displaystyle \int e^x dx=e^x+C$

Având:
$\displaystyle \int \sin(x)dx=-\cos(x)+C$

Având:
$\displaystyle \int \cos(x)dx=\sin(x)+C$

Având:
$\displaystyle \int x^2dx=\frac{x^3}{3}$ şi $\displaystyle \int 3x^{\frac{1}{2}}dx=3\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=2x^{\frac{3}{2}}$.
Astfel, primitiva este:
$ \displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+2x^{\frac{3}{2}}+C$

Având:
$\displaystyle \int 5x^4dx=\frac{5x^5}{5}=x^5$,
$\displaystyle \int 4x^3dx=\frac{4x^4}{4}=x^4$,
$\displaystyle \int 3x^2dx=\frac{3x^3}{3}=x^3$.
Astfel, primitiva este:
$ \displaystyle F(x)=x^5+x^4+x^3+C$

Având:
$\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C$

Având:
$\displaystyle \int x^3dx=\frac{x^4}{4}$,
$\displaystyle \int (-2x)dx=-x^2$,
$\displaystyle \int 4dx=4x$.
Astfel, primitiva este:
$ \displaystyle F(x)=\frac{x^4}{4}-x^2+4x+C$

Având:
$\displaystyle \int 3x^{\frac{5}{2}}dx=3\cdot\frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}=\frac{6}{7}x^{\frac{7}{2}}$,
$\displaystyle \int 2x^{\frac{3}{2}}dx=2\cdot\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}=\frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}}$.
Astfel, primitiva este:
$ \displaystyle F(x)=\frac{6}{7}x^{\frac{7}{2}}+\frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}}+C$

Având:
$\displaystyle \int \cos(x)dx=\sin(x)+C_1$ şi $\displaystyle \int e^x dx=e^x+C_2$.
Astfel, primitiva este:
$ \displaystyle F(x)=\sin(x)+e^x+C$

Având:
$\displaystyle \int \sin(x)dx=-\cos(x)+C_1$ şi $\displaystyle \int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C_2$.
Astfel, primitiva este:
$ \displaystyle F(x)=-\cos(x)+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

Având:
$\displaystyle \int x^{-\frac{1}{2}}dx=2\sqrt{x}+C_1$ şi $\displaystyle \int e^x dx=e^x+C_2$.
Astfel, primitiva este:
$ \displaystyle F(x)=2\sqrt{x}+e^x+C$

Rezolvare:
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = 2x - 1 $. Atunci $ \displaystyle du = 2 dx $, deci $ \displaystyle dx = \frac{1}{2} du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} u^4 + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle 2x - 1 $: $ \displaystyle \frac{1}{8} (2x - 1)^4 + C $.

Rezolvare:
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = 3x - 2 $. Atunci $ \displaystyle du = 3 dx $, deci $ \displaystyle dx = \frac{1}{3} du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{-1/2} du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3} \sqrt{u} + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle 3x - 2 $: $ \displaystyle \frac{2}{3} \sqrt{3x - 2} + C $.

Rezolvare:
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = \frac{x}{4} - 1 $. Atunci $ \displaystyle du = \frac{1}{4} dx $, deci $ \displaystyle dx = 4 du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1}{u^3} \cdot 4 du = 4 \int u^{-3} du $.
Integrăm: $ \displaystyle 4 \int u^{-3} du = 4 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -2 u^{-2} + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle \frac{x}{4} - 1 $: $ \displaystyle \frac{-2}{(\frac{x}{4} - 1)^2} + C $.

Rezolvare:
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = 4x + 3 $. Atunci $ \displaystyle du = 4 dx $, deci $ \displaystyle dx = \frac{1}{4} du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int 2^u \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int 2^u du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{1}{4} \int 2^u du = \frac{1}{4} \cdot \frac{2^u}{\ln 2} + C $. (Am folosit formula $ \displaystyle \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ )
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle 4x + 3 $: $ \displaystyle \frac{2^{4x + 3}}{4 \ln 2} + C $.

Rezolvare:
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = 3x - 2 $. Atunci $ \displaystyle du = 3 dx $, deci $ \displaystyle dx = \frac{1}{3} du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle 3x - 2 $: $ \displaystyle \frac{1}{3} \ln |3x - 2| + C $.

Rezolvare:
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = x^4 - 1 $. Atunci $ \displaystyle du = 4x^3 dx $, deci $ \displaystyle x^3 dx = \frac{1}{4} du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{4} \ln |u| + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle x^4 - 1 $: $ \displaystyle \frac{1}{4} \ln |x^4 - 1| + C $.

Rezolvare:
Rescriem integrala: $ \displaystyle \int \frac{x^3}{(x^4)^2 - 1} dx $.
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = x^4 $. Atunci $ \displaystyle du = 4x^3 dx $, deci $ \displaystyle x^3 dx = \frac{1}{4} du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1}{u^2 - 1} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^2 - 1} du $.
Descompunem în fracții simple: $ \displaystyle \frac{1}{u^2 - 1} = \frac{1}{(u - 1)(u + 1)} = \frac{A}{u - 1} + \frac{B}{u + 1} $. Aflăm A și B: $ \displaystyle 1 = A(u + 1) + B(u - 1) $. Dacă $ \displaystyle u = 1 $, atunci $ \displaystyle 1 = 2A $, deci $ \displaystyle A = \frac{1}{2} $. Dacă $ \displaystyle u = -1 $, atunci $ \displaystyle 1 = -2B $, deci $ \displaystyle B = -\frac{1}{2} $.
Integrala devine: $ \displaystyle \frac{1}{4} \int \left( \frac{1/2}{u - 1} - \frac{1/2}{u + 1} \right) du = \frac{1}{8} \int \left( \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1} \right) du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{1}{8} \left( \ln |u - 1| - \ln |u + 1| \right) + C = \frac{1}{8} \ln \left| \frac{u - 1}{u + 1} \right| + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle x^4 $: $ \displaystyle \frac{1}{8} \ln \left| \frac{x^4 - 1}{x^4 + 1} \right| + C $.

Rezolvare:
Rescriem integrala: $ \displaystyle \int \frac{x}{(x^2)^2 - 1} dx $.
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = x^2 $. Atunci $ \displaystyle du = 2x dx $, deci $ \displaystyle x dx = \frac{1}{2} du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1}{u^2 - 1} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 - 1} du $.
Descompunem în fracții simple (vezi problema anterioară): $ \displaystyle \frac{1}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1} \right) $.
Integrala devine: $ \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1} \right) du = \frac{1}{4} \left( \ln |u - 1| - \ln |u + 1| \right) + C = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{u - 1}{u + 1} \right| + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle x^2 $: $ \displaystyle \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right| + C $.

Rezolvare:
Rescriem integrala: $ \displaystyle \int \operatorname{tg} x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx $.
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = \cos x $. Atunci $ \displaystyle du = -\sin x dx $, deci $ \displaystyle \sin x dx = -du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{-1}{u} du = - \int \frac{1}{u} du $.
Integrăm: $ \displaystyle - \int \frac{1}{u} du = - \ln |u| + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle \cos x $: $ \displaystyle - \ln |\cos x| + C $.

Rezolvare:
Folosim identitatea trigonometrică $ \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 $. Deci, $ \displaystyle 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1 + \cos^2 x}{2 \cos^2 x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos^2 x}{\cos^2 x} dx = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + 1 \right) dx $.

Rezolvare:
Folosim identitatea trigonometrică $ \displaystyle \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx = \int \left( \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \right) dx = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx $.

Rezolvare:
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = e^x + 2 $. Atunci $ \displaystyle du = e^x dx $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1}{u} du $.
Integrăm: $ \displaystyle \ln |u| + C = \ln (e^x + 2) + C $ (deoarece $ \displaystyle e^x + 2 $ este mereu pozitiv).

Rezolvare:
Rescriem integrala: $ \displaystyle \int \frac{e^x}{(e^x)^2 + (\sqrt{2})^2} dx $.
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = e^x $. Atunci $ \displaystyle du = e^x dx $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1}{u^2 + (\sqrt{2})^2} du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{arctg} \frac{u}{\sqrt{2}} + C $. (Am folosit formula $ \displaystyle \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a} + C $ ).
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle e^x $: $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{arctg} \frac{e^x}{\sqrt{2}} + C $.

Rezolvare:
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = 2 + \ln x $. Atunci $ \displaystyle du = \frac{1}{x} dx $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{1}{u} du $.
Integrăm: $ \displaystyle \ln |u| + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle 2 + \ln x $: $ \displaystyle \ln |2 + \ln x| + C $.

Rezolvare:
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = 4x^2 + 3 $. Atunci $ \displaystyle du = 8x dx $, deci $ \displaystyle x dx = \frac{1}{8} du $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{8} du = \frac{5}{8} \int \frac{1}{u} du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{5}{8} \ln |u| + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle 4x^2 + 3 $: $ \displaystyle \frac{5}{8} \ln (4x^2 + 3) + C $ (deoarece $ \displaystyle 4x^2 + 3 $ este mereu pozitiv).

Rezolvare:
Rescriem integrala: $ \displaystyle 5 \int \frac{1}{(2x)^2 + (\sqrt{3})^2} dx $.
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = 2x $. Atunci $ \displaystyle du = 2 dx $, deci $ \displaystyle dx = \frac{1}{2} du $.
Integrala devine: $ \displaystyle 5 \int \frac{1}{u^2 + (\sqrt{3})^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{5}{2} \int \frac{1}{u^2 + (\sqrt{3})^2} du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{u}{\sqrt{3}} + C $. (Am folosit formula $ \displaystyle \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a} + C $ ).
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle 2x $: $ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{6} \operatorname{arctg} \frac{2x}{\sqrt{3}} + C $.

Rezolvare:
Factorizăm și completăm pătratul: $ \displaystyle \frac{5}{4} \int \frac{1}{x^2 + x - 6} dx = \frac{5}{4} \int \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2} dx $.
Folosim substituția. Fie $ \displaystyle u = x + \frac{1}{2} $. Atunci $ \displaystyle du = dx $.
Integrala devine: $ \displaystyle \frac{5}{4} \int \frac{1}{u^2 - (\frac{5}{2})^2} du $.
Descompunem în fracții simple: $ \displaystyle \frac{1}{u^2 - (\frac{5}{2})^2} = \frac{A}{u - \frac{5}{2}} + \frac{B}{u + \frac{5}{2}} $. Găsim A și B: $ \displaystyle A = \frac{1}{5}, B = -\frac{1}{5} $.
Integrala devine: $ \displaystyle \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{u - \frac{5}{2}} - \frac{1}{u + \frac{5}{2}} \right) du $.
Integrăm: $ \displaystyle \frac{1}{4} \ln \left| \frac{u - \frac{5}{2}}{u + \frac{5}{2}} \right| + C $.
Înlocuim $ \displaystyle u $ înapoi cu $ \displaystyle x + \frac{1}{2} $: $ \displaystyle \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 3} \right| + C $.

Rezolvare:
Completăm pătratul: $ \displaystyle \int \frac{x + 5}{(x + 2)^2 + 9} dx $.
Rescriem numărătorul în funcție de derivata numitorului, adică $ \displaystyle 2x+4 $: $ \displaystyle x + 5 = \frac{1}{2}(2x + 4) + 3 $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \frac{\frac{1}{2}(2x + 4) + 3}{x^2 + 4x + 13} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 13} dx + 3 \int \frac{1}{(x + 2)^2 + 9} dx $.
Pentru prima integrală, fie $ \displaystyle u = x^2 + 4x + 13 $, deci $ \displaystyle du = (2x + 4) dx $: $ \displaystyle \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 4x + 13) + C_1 $.
Pentru a doua integrală, fie $ \displaystyle v = x + 2 $, deci $ \displaystyle dv = dx $: $ \displaystyle 3 \int \frac{dv}{v^2 + 3^2} = \operatorname{arctg} \frac{x + 2}{3} + C_2 $.
Rezultatul final este: $ \displaystyle \frac{1}{2} \ln (x^2 + 4x + 13) + \operatorname{arctg} \frac{x + 2}{3} + C $.

Rezolvare:
Împărțim polinomul $ \displaystyle x^2 - 4 $ la $ \displaystyle x + 1 $, obținând $ \displaystyle x - 1 $ cu restul $ \displaystyle -3 $. Așadar, $ \displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} = x - 1 - \frac{3}{x + 1} $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \left( x - 1 - \frac{3}{x + 1} \right) dx = \frac{x^2}{2} - x - 3 \ln |x + 1| + C $.

Rezolvare:
Împărțim polinomul $ \displaystyle x^3 - 3x + 4 $ la $ \displaystyle x - 2 $, obținând $ \displaystyle x^2 + 2x + 1 $ cu restul $ \displaystyle 6 $. Așadar, $ \displaystyle \frac{x^3 - 3x + 4}{x - 2} = x^2 + 2x + 1 + \frac{6}{x - 2} $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int \left( x^2 + 2x + 1 + \frac{6}{x - 2} \right) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + 6 \ln |x - 2| + C $.

Rezolvare:
Folosim integrarea prin părți: $ \displaystyle \int u dv = uv - \int v du $.
Fie $ \displaystyle u = x $ și $ \displaystyle dv = \sin x dx $. Atunci $ \displaystyle du = dx $ și $ \displaystyle v = -\cos x $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C $.

Rezolvare:
Folosim integrarea prin părți de două ori.
Prima dată, fie $ \displaystyle u = x^2 - 2x + 3 $ și $ \displaystyle dv = e^{2x} dx $. Atunci $ \displaystyle du = (2x - 2) dx $ și $ \displaystyle v = \frac{1}{2} e^{2x} $.
Integrala devine: $ \displaystyle \int (x^2 - 2x + 3) e^{2x} dx = \frac{1}{2} (x^2 - 2x + 3) e^{2x} - \int (x - 1) e^{2x} dx $.
A doua oară, fie $ \displaystyle u = x - 1 $ și $ \displaystyle dv = e^{2x} dx $. Atunci $ \displaystyle du = dx $ și $ \displaystyle v = \frac{1}{2} e^{2x} $.
Integrala devine: $ \displaystyle \frac{1}{2} (x^2 - 2x + 3) e^{2x} - \left( \frac{1}{2} (x - 1) e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} dx \right) = \frac{1}{2} (x^2 - 2x + 3) e^{2x} - \frac{1}{2} (x - 1) e^{2x} + \frac{1}{4} e^{2x} + C $.

Rezolvare:
Integrăm prin părți. Fie $ \displaystyle u = \ln (x + 2) $ și $ \displaystyle dv = (2x - 3) dx $. Atunci $ \displaystyle du = \frac{1}{x + 2} dx $ și $ \displaystyle v = x^2 - 3x $.
Integrala nedefinită este: $ \displaystyle \int (2x - 3) \ln (x + 2) dx = (x^2 - 3x) \ln (x + 2) - \int \frac{x^2 - 3x}{x + 2} dx $.
Împărțim $ \displaystyle x^2 - 3x $ la $ \displaystyle x + 2 $, obținând $ \displaystyle x - 5 $ cu restul $ \displaystyle 10 $. Deci integrala este $ \displaystyle (x^2 - 3x) \ln (x + 2) - \int \left( x - 5 + \frac{10}{x + 2} \right) dx = (x^2 - 3x) \ln (x + 2) - \frac{x^2}{2} + 5x - 10 \ln |x + 2| + C $.
Fie $ \displaystyle F(x) = (x^2 - 3x) \ln (x + 2) - \frac{x^2}{2} + 5x - 10 \ln |x + 2| $.
Calculăm $ \displaystyle F(0) = -10 \ln 2 $ și $ \displaystyle F(-1) = 4 \ln 1 - \frac{1}{2} - 5 - 10 \ln 1 = -\frac{11}{2} $.
Deci, $ \displaystyle \int_{-1}^{0} (2x - 3) \ln (x + 2) dx = F(0) - F(-1) = -10 \ln 2 + \frac{11}{2} $.

Pasul 1: Substituția potrivită
Alegem $ u = 5 - 4x $. Derivăm: $\displaystyle du = -4dx \Rightarrow dx = \frac{du}{-4} $.
Rescriem $ \displaystyle x = \frac{5 - u}{4} $.
Pasul 2: Schimbarea limitelor
Pentru $ x = -1 $: $ u = 9 $.
Pentru $ x = 1 $: $ u = 1 $.
Pasul 3: Rescrierea integralei
$\displaystyle I = \int_{9}^{1} \frac{(5 - u) du}{-16 \sqrt{u}} $.
Pasul 4: Descompunerea integralei
$\displaystyle I = -\frac{1}{16} \int_{9}^{1} \frac{5 \,du}{\sqrt{u}} + \frac{1}{16} \int_{9}^{1} \frac{u \,du}{\sqrt{u}} $.
Prima integrală: $ 10 \sqrt{u} $.
A doua integrală: $ \displaystyle \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} $.
Pasul 5: Calcularea limitelor
Aplicăm limitele pentru fiecare termen.
$ 10(3) - 10(1) = 20 $.
$\displaystyle \frac{2}{3} (27 - 1) = \frac{52}{3} $.
Pasul 6: Calculul final
$\displaystyle I = -\frac{20}{16} + \frac{52}{48} $.
Scriem cu același numitor: $\displaystyle -\frac{60}{48} + \frac{52}{48} = -\frac{8}{48} = -\frac{1}{6} $.

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări