Adunarea și Scăderea
Se adună partea reală cu partea reală și partea imaginară cu partea imaginară. La fel și în cazul scăderii.
Exemplu:
- \(\displaystyle (2 + 3i) + (4 - 2i) = (2 + 4) + (3i - 2i) = 6 + i \)
- \(\displaystyle (5 + 7i) - (3 + 2i) = (5 - 3) + (7i - 2i) = 2 + 5i \)
Înmulțirea
Se înmulțesc la fel ca ecuațiile.
Algoritmul de desfacere a parantezelor: \( (a + b)(c + d) \), aplicăm regula distributivă, adica inmultim fiecare termen din prima paranteza cu fiecare termen din a doua paranteza: \[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
Exemplu:
\( (2 + 3i) \cdot (4 - i) \)
\(= 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i) \)
\( = 8 - 2i + 12i - 3i^2 \)
\( = 8 + 10i - 3(-1) \)
\(= 8 + 10i + 3 \)
\(= 11 + 10i \)
Împărțirea (fractie)
Se amplifică cu conjugatul numitorului.
Exemplu:
\(\displaystyle \frac{5 + 2i}{3 - i} \)
\(\displaystyle = \frac{5 + 2i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i} \)
\(\displaystyle = \frac{(5 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} \)
\(\displaystyle = \frac{15 + 5i + 6i + 2i^2}{3^2 - i^2} \)
\(\displaystyle = \frac{15 + 11i - 2}{9 + 1} \)
\(\displaystyle = \frac{13 + 11i}{10} \)
\(\displaystyle = \frac{13}{10} + \frac{11}{10}i \)
Ridicarea la Putere
Pentru ridicarea la puteri întregi mari a numerelor pur imaginare (\(i\)), urmăm pașii:
- Dacă puterea este pară, descompunem în puterea 2 și calculăm separat restul. Rezultatul este \((-1)\) ridicat la puterea obținută.
- Dacă puterea este impară, scoatem un factor \(i\) și tratăm puterea rămasă ca număr par. Adică, \(i^n = i^{n-1} \cdot i\).
Exemple:
Cazul par:
\( i^{10} = (i^2)^5 = (-1)^5 = -1 \)
Cazul impar:
\( i^7 = i^6 \cdot i = (i^2)^3 \cdot i = (-1)^3 \cdot i = -i \)
1
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 1 + 3i - 4 + i \)
2
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 7 - 8i - (2 - 3i) \)
3
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 1 - 2i - 6i - 5 \)
4
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 30 - 4i - (12 + 2i) \)
5
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 12 - 5i + 9i - 8 \)
6
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (3 + 7i) + (2 + 9i)(1 - i) \)
7
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (10 - 8i) - (-1 + 3i)(4 - i) \)
8
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (2i - 1)(3 + 3i) - (5 + i) \)
9
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (6i + 2) + (3 - 5i)(2i - 6) \)
10
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (3 - 9i)(6 + 8i) - (10i + 3) \)
11
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (2i - 8)(5 - 9i) + (2i - 6) \)
12
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{2 - i}{3 - 4i} \)
13
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{8 - 9i}{2i - 5} \)
14
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{12 + 3i}{3 - 4i} \)
15
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{4 - 6i}{1 + i} \)
16
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{5i + 3}{6i - 4} \)
17
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{3 - 3i}{3 + 3i} \)
18
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^{18} \)
19
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{5}{1 + 2i} - \frac{(1 - 2i)}{(2 - i)} \)
20
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \left( \frac{1}{1 - i} - \frac{1}{1 + i} \right)^2 \)
21
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{1}{1 + 2i} + \frac{1}{1 - 2i} \)
22
Calculați \( \overline{z} \): \(\displaystyle \frac{2 + 3i}{5 - 6i} \)
23
Calculați \( \overline{z} \): \(\displaystyle \frac{-2i + 2}{9 - 3i} \)
24
Calculați \( \overline{z} \): \(\displaystyle \frac{10 - 15i}{1 - i} \)
25
Calculați \( \overline{z} \): \(\displaystyle \frac{4 - 5i}{2 - i} \)
26
Calculați \( \overline{z} \): \(\displaystyle \frac{3 + 5i}{-i + 3} \)
27
Calculați \( \overline{z} \): \(\displaystyle \frac{6 + 3i}{1 - i} + \frac{3i + 1}{2 - i} \)
28
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^3 \)
29
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^5 \)
30
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^8 \)
31
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{133} \)
32
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{2024} \)
33
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{-180} \)
34
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{248} \)
35
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^9 \)
36
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (2i)^5 \)
37
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (\sqrt{3} i)^8 \)
38
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{249} \)
39
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{89} \)
40
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{19} \)
41
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{4042} \)
42
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{222} \)
43
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{149} \)
44
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{87} \)
45
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{6} \)
46
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-2i)^{9} \)
47
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-2i)^{-11} \)