Convexitatea Funcției

Ce este convexitatea?

Convexitatea unei funcții oferă informații despre forma graficului său. O funcție este:

Convexă (\( \cup \)) pe un interval dacă derivata a doua este pozitivă (\( f''(x) \geq 0 \)).
Concavă (\( \cap \)) pe un interval dacă derivata a doua este negativă (\( f''(x) \leq 0 \)).

Metoda de determinare a convexității

Calculăm derivata a doua a funcției, \( f''(x) \).
Rezolvăm ecuația \( f''(x) = 0 \) pentru a identifica punctele critice.
Construim un tabel pentru a analiza semnele derivatei a doua înainte și după punctele critice.
Stabilim intervalele pe care funcția este concavă sau convexă pe baza semnelor lui \( f''(x) \).

Exemplu

Fie funcția \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \). Determinăm intervalele pe care funcția este concavă sau convexă.

1. Calculăm derivata a doua

\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)
\( f''(x) = 6x - 6 \)

2. Rezolvăm ecuația \( f''(x) = 0 \)

\( 6x - 6 = 0 \)
\( x = 1 \)

3. Analizăm semnul lui \( f''(x) \) folosind un tabel

\( x \)	\( (-\infty, 1) \)	\( 1 \)	\( (1, \infty) \)
\( f''(x) \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)
Forma graficului	Concav (\( \cap \))	-	Convex (\( \cup \))

Răspuns: Funcția este concavă pe \( (-\infty, 1) \) și convexă pe \( (1, \infty) \).

Exerciții

Să se determine intervalele de convexitate și concavitate pentru funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 e^x\).

Determinați intervalul de convexitate al funcției \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 4x \cdot e^{\frac{x}{2}}\).

Demonstrați că funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^6 + 2x^2\) este convexă.

Determinați intervalul pe care funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^5 - 5x + 709\) este convexă.

Determinați intervalul de convexitate al funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R f(x)=4 x \cdot e^{\frac{x}{2}} \).

Răspunsuri

Funcția este convexă pe intervalele \( (-\infty, -2-\sqrt{2}] \) și \( [-2+\sqrt{2}, +\infty) \) și concavă pe intervalul \( [-2-\sqrt{2}, -2+\sqrt{2}] \)

Funcția este convexă pe intervalul \( [-4, +\infty) \)

Funcția este convexă pe \( \mathbb{R} \)

Funcția este convexă pe intervalul \( [0, +\infty) \)

Intervalul de convexitate al funcției este \( \displaystyle (-4 ;+\infty) \).

Rezolvări

Calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea: \(f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = e^x(x^2 + 2x)\) \(f''(x) = e^x(x^2 + 2x) + e^x(2x + 2) = e^x(x^2 + 4x + 2)\) Punem condiția \( f''(x) = 0 \), adică \( e^x(x^2 + 4x + 2) = 0 \), deci \( x^2 + 4x + 2 = 0 \). Soluțiile sunt \( x = \displaystyle \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2} \). Analizăm semnul derivatei a doua:

x	\((-\infty, -2-\sqrt{2})\)	\(-2-\sqrt{2}\)	\((-2-\sqrt{2}, -2+\sqrt{2})\)	\(-2+\sqrt{2}\)	\((-2+\sqrt{2}, +\infty)\)
f''(x)	+	0	-	0	+
f(x)	∪	Inf	∩	Inf	∪

Funcția este convexă pe intervalele \( (-\infty, -2-\sqrt{2}] \) și \( [-2+\sqrt{2}, +\infty) \) și concavă pe intervalul \( [-2-\sqrt{2}, -2+\sqrt{2}] \).

Calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea: \(f'(x) = 4e^{\frac{x}{2}} + 4x \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} = 4e^{\frac{x}{2}} + 2xe^{\frac{x}{2}} = e^{\frac{x}{2}}(2x + 4)\) \(f''(x) = e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} (2x + 4) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 2 = e^{\frac{x}{2}}(x + 2 + 2) = e^{\frac{x}{2}}(x + 4)\) Punem condiția \( f''(x) = 0 \), adică \( e^{\frac{x}{2}}(x + 4) = 0 \), deci \( x + 4 = 0 \), de unde \( x = -4 \). Analizăm semnul derivatei a doua:

x	\((-\infty, -4)\)	\(-4\)	\((-4, +\infty)\)
f''(x)	-	0	+
f(x)	∩	Inf	∪

Funcția este convexă pe intervalul \( [-4, +\infty) \).

Calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea: \(f'(x) = 6x^5 + 4x\) \(f''(x) = 30x^4 + 4\) Deoarece \( x^4 \ge 0 \) pentru orice \( x \in \mathbb{R} \), rezultă că \( 30x^4 + 4 > 0 \) pentru orice \( x \in \mathbb{R} \). Deci funcția este convexă pe \( \mathbb{R} \).

x	\((-\infty, +\infty)\)
f''(x)	+
f(x)	∪

Calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea: \(f'(x) = 5x^4 - 5\) \(f''(x) = 20x^3\) Punem condiția \( f''(x) = 0 \), adică \( 20x^3 = 0 \), deci \( x = 0 \). Analizăm semnul derivatei a doua:

x	\((-\infty, 0)\)	\(0\)	\((0, +\infty)\)
f''(x)	-	0	+
f(x)	∩	Inf	∪

Funcția este convexă pe intervalul \( [0, +\infty) \).

Rezolvare:
Calculăm prima derivată: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=4 e^{\frac{x}{2}}+4 x \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}}=e^{\frac{x}{2}}(4+2 x) \).
Calculăm a doua derivată: \( \displaystyle f^{\prime \prime}(x)=e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot(4+2 x)+2 \cdot e^{\frac{x}{2}}=e^{\frac{x}{2}}(4+x) \).
Determinăm punctele în care a doua derivată este zero: \( \displaystyle f^{\prime \prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-4 \).
Construim tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \):
\( \displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & & -4 & & +\infty \\ \hline f'' & \cdots - & 0 & +++++ \\ \hline f & \text{concavă} & & \text{convexă} \\ \hline \end{array} \)
Funcția este convexă când \( \displaystyle f''(x) > 0 \), adică pentru \( \displaystyle x \in (-4, +\infty) \).

Cuprins

Explicație
Exerciții