Operații cu Evenimente

Definiții și Notații

Eveniment: Un rezultat posibil al unui experiment (ex. „apare cifra 6 la aruncarea unui zar”).
Eveniment contrar: Notat cu \( \overline{A} \), reprezintă situația în care evenimentul \( A \) nu se produce.

Formula probabilității pentru evenimentul contrar:

\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]

Operații logice între evenimente:

„Și” (\( \cap \)): Evenimentele se întâmplă simultan. Atunci cazurile se inmultesc.
„Sau” (\( \cup \)): Cel puțin unul dintre evenimente se întâmplă. Atunci cazurile se aduna.

Exemplu rezolvat

În căutarea unui post de lucru, Petru a aplicat CV-ul său la două companii. Probabilitatea ca Petru să primească o ofertă de angajare de la prima companie este egală cu \( 0,3 \), iar probabilitatea ca va primi o ofertă de angajare de la a doua companie este egală cu \( 0,6 \). Determinați probabilitatea ca Petru să primească oferta de angajare cel puțin de la o companie.

Rezolvare:

Notăm evenimentul: \( A = \{ \text{primește oferta cel puțin de la o companie} \} \)
Probabilitatea totală:
Calculăm probabilitatea evenimentului \( A \) folosind complementul evenimentului contrar \( \overline{A} \):
\( P(A) = P(\text{compania 1 oferă ofertă}) + P(\text{compania 2 oferă ofertă}) - P(\text{ambele companii oferă ofertă}) \)
- Fiecare scenariu: \( P(A) = 0,3 \cdot (1 - 0,6) + (1 - 0,3) \cdot 0,6 + 0,3 \cdot 0,6 \)
- Detalii de calcul: \( P(A) = 0,12 + 0,42 + 0,18 = 0,72 \)
Rezultatul final: Răspuns: Probabilitatea ca Petru să primească cel puțin o ofertă este \( P(A) = 0,72 \).

Explicații suplimentare:

Evenimentul contrar \( \overline{A} \) este util în problemele în care calculăm probabilitatea unui eveniment prin excluderea complementului său.
În cazul de față, probabilitatea unei oferte de la cel puțin o companie include toate cazurile posibile în care Petru primește o ofertă de la compania 1, compania 2, sau ambele.

Exerciții

Prețul unei acțiuni este de 10 lei. Probabilitatea că pe durata unei zile prețul acțiunii va crește cu un leu este egală cu \(\displaystyle \frac{2}{5} \), iar probabilitatea că va descrește cu un leu este egală cu \(\displaystyle \frac{3}{5} \). Determinați probabilitatea că peste 3 zile prețul acțiunii va fi de 11 lei.

Probabilitatea că într-o zi de iulie va ploua este egală cu \(\displaystyle \frac{2}{5} \). Determinați probabilitatea că în două din primele trei zile din luna iulie va ploua.

Un trăgător trage asupra unei ținte până la prima nimerire. Probabilitatea de a nimeri la o tragere este de \( 0.8 \). Să se afle probabilitatea că se vor face patru trageri.

Un tehnician deservește trei strunguri. Probabilitatea că pe parcursul unui schimb primul strung va avea nevoie de intervenția tehnicianului este egală cu \( 0.7 \), pentru al doilea strung probabilitatea este egală cu \( 0.75 \), pentru al treilea \( 0.8 \). Să se afle probabilitatea că pe parcursul unui schimb vor avea nevoie de intervenție două strunguri oarecare.

De la un magazin pleacă un camion spre 4 depozite, unde sunt stocate mărfuri. Probabilitatea că marfa dorită se află la primul depozit este egală cu \( 0.9 \), pentru depozitul Nr. 2 probabilitatea este de \( 0.95 \). La depozitul Nr. 3 marfa e găsită cu o probabilitate egală cu \( 0.8 \), iar la al patrulea \( 0.6 \). Să se afle probabilitatea că doar la un depozit nu se va găsi marfa dorită.

Răspunsuri

Rezolvări

Prețul unei acțiuni este de 10 lei, iar pe durata unei zile se poate modifica cu +1 leu (probabilitate = 2/5) sau cu -1 leu (probabilitate = 3/5).
Peste 3 zile, pentru ca prețul să ajungă la 11 lei, modificarea totală trebuie să fie +1 leu.
Dacă se notează cu X numărul de zile cu creștere, atunci modificarea totală este: 2X - 3 = 1.
Rezolvând: 2X = 4, deci X = 2 (două zile cu creștere și, implicit, o zi cu descreștere).
Probabilitatea pentru aceste 3 zile este:
\(\displaystyle P = C_3^2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{125}\).

Probabilitatea ca într-o zi de iulie să plouă este \(\displaystyle \frac{2}{5} \).
Pentru primele 3 zile, dorim ca ploaia să apară în exact 2 zile.
Folosind formula binomială:
\(\displaystyle P = C_3^2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{125}\).

Un trăgător trage până la prima nimerire. Probabilitatea de a nimeri la o tragere este 0.8, deci de a ratea este 0.2.
Pentru ca se să se efectueze 4 trageri, primele 3 trebuie să fie rate (0.2 fiecare), iar a 4-a să fie nimerire (0.8).
Astfel, probabilitatea este:
\(\displaystyle P = (0.2)^3 \cdot (0.8) = 0.008 \cdot 0.8 = 0.0064\).

Există 4 strunguri cu probabilitățile de intervenție: 0.7, 0.75 și 0.8 pentru primul, al doilea și al treilea strung.
Dorim ca, pe parcursul unui schimb, exact două dintre strunguri să necesite intervenție (oricare două dintre cele trei).
Calculăm cazurile:
- Primul și al doilea, al treilea nu: \(0.7 \cdot 0.75 \cdot (1-0.8)=0.7 \cdot 0.75 \cdot 0.2=0.105\).
- Primul și al treilea, al doilea nu: \(0.7 \cdot (1-0.75) \cdot 0.8=0.7 \cdot 0.25 \cdot 0.8=0.14\).
- Al doilea și al treilea, primul nu: \((1-0.7) \cdot 0.75 \cdot 0.8=0.3 \cdot 0.75 \cdot 0.8=0.18\).
Total: \(0.105+0.14+0.18 = 0.425\)

Un camion pleacă spre 4 depozite. Probabilitățile ca marfa să fie găsită la depozite sunt: 0.9, 0.95, 0.8 și 0.6.
Dorim ca doar la un depozit să nu se găsească marfa (adică exact o eșec, 3 succese).
Calculăm eșecurile: \(q_1=0.1\), \(q_2=0.05\), \(q_3=0.2\), \(q_4=0.4\).
Cazurile posibile:
- Dep. 1 eșuează: \(0.1 \cdot 0.95 \cdot 0.8 \cdot 0.6 = 0.0456\).
- Dep. 2 eșuează: \(0.9 \cdot 0.05 \cdot 0.8 \cdot 0.6 = 0.0216\).
- Dep. 3 eșuează: \(0.9 \cdot 0.95 \cdot 0.2 \cdot 0.6 = 0.1026\).
- Dep. 4 eșuează: \(0.9 \cdot 0.95 \cdot 0.8 \cdot 0.4 = 0.2736\).
Suma: \(0.0456+0.0216+0.1026+0.2736 = 0.4434\)

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări