Metoda de rezolvare
Exemplu Rezolvat
Calculați aria subgraficului dintre funcțiile:
- \( f(x) = x^2 - x \)
- \( g(x) = 3x \)
Pasul 1: Determinarea limitelor de integrare
Rezolvăm ecuația \( f(x) = g(x) \):
\[ x^2 - x = 3x \implies x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \]
Rezultă limitele de integrare \( a = 0 \) și \( b = 4 \).
Pasul 2: Compararea funcțiilor
Între \( x \in [0, 4] \), verificăm relația \( f(x) \) și \( g(x) \):
- La \( x = 1 \), \( f(1) = 1^2 - 1 = 0 \), \( g(1) = 3 \cdot 1 = 3 \). Deci \( g(x) \geq f(x) \).
Funcția \( g(x) \) este mai mare decât \( f(x) \) pe întregul interval \([0, 4]\).
Pasul 3: Calculul ariei
\[ \mathcal{A} \left( \Gamma_{f, g} \right) = \int_0^4 \left( g(x) - f(x) \right) dx = \int_0^4 \left( 3x - (x^2 - x) \right) dx = \int_0^4 (3x - x^2 + x) dx \] \[ = \int_0^4 (4x - x^2) dx \]
Calculăm integrala:
\[ \int_0^4 (4x - x^2) dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 \] \[ = \left( 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ = \left( 32 - \frac{64}{3} \right) - 0 = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} \]
Aria este:
\[ \mathcal{A} \left( \Gamma_{f, g} \right) = \frac{32}{3} \, \text{(u.p.)} \]
1
Să se determine aria figurii delimitate de graficele funcțiilor \(f, g : [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 3x + 2, g(x) = x^3 - x^2 + x - 1.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
2
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 16 - x^2, g(x) = 0.\)
Răspuns: \( \displaystyle \dfrac{256}{3} \) u.p.
3
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x) = x^4, g(x) = 0.\)
Răspuns: \( \displaystyle \dfrac{32}{5} \) u.p.
4
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 7 - x^2, g(x) = x^2 - 1.\)
Răspuns: \( \displaystyle \dfrac{64}{3} \) u.p.
5
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 1, g(x) = 5 - x.\)
Răspuns: \(\displaystyle A = \frac{125}{6}\)
6
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : [0, 1] \to \mathbb{R}, f(x) = e^{-x}, g(x) = e^{2x}.\)
Răspuns: \(\displaystyle \left(\frac{e^2}{2} + \frac{1}{e}\right) - \frac{3}{2}\)
7
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : [-1, 1] \to \mathbb{R}, f(x) = |x|, g(x) = 1.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
8
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = -x + 2.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{7+20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}\)
9
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x - x^2; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = x.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \, \text{u.p.}\)
10
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 2x + 3; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = 3x - 1.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{9}{2} \, \text{u.p.}\)
11
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(\displaystyle f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*, f(x) = \frac{5}{x}; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = 6 - x.\)
Răspuns: \(\displaystyle A = 12 - 5 \ln(5) \, \text{u.p.}\)
12
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 1; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = -x^2 + 3.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{8}{3} \, \text{u.p.}\)
13
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 9 - x^2; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = x^2 - 6x + 9.\)
Răspuns: \(9 \, \text{u.p.}\)
14
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2 + x - x^2; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = 2 - x.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{4}{3}\)
15
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2; g : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, g(x) = \sqrt{x}.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{3}\)
16
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, f(x) = \sqrt{x}; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = 2; x = 9.\)
Răspuns: \(\displaystyle 0\)
17
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3; g : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*, g(x) = \frac{1}{x}; x = 2.\)
Răspuns: \(\displaystyle \ln 2 - \frac{15}{4}\)
18
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2^x; y = 2; x = -1.\)
Răspuns: \(\displaystyle 4 - \frac{5}{2\ln 2}\)
19
Să se determine aria figurii delimitate de graficele funcțiilor: \(\displaystyle f, g : [0, 1] \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 1, g(x) = \frac{1}{2}(x+1)^2.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{6}\)
20
Să se determine aria figurii delimitate de graficele funcțiilor: \(f, g : [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x) = x, g(x) = 3^x.\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{8}{\ln 3} - 2\)
1
\(\displaystyle \frac{2}{3}\)
2
\( \displaystyle \dfrac{256}{3} \) u.p.
3
\( \displaystyle \dfrac{32}{5} \) u.p.
4
\( \displaystyle \dfrac{64}{3} \) u.p.
5
\(\displaystyle A = \frac{125}{6}\)
6
\(\displaystyle \left(\frac{e^2}{2} + \frac{1}{e}\right) - \frac{3}{2}\)
7
\(\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
8
\(\displaystyle \frac{7+20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}\)
9
\(\displaystyle \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \, \text{u.p.}\)
10
\(\displaystyle \frac{9}{2} \, \text{u.p.}\)
11
\(\displaystyle A = 12 - 5 \ln(5) \, \text{u.p.}\)
12
\(\displaystyle \frac{8}{3} \, \text{u.p.}\)
14
\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
15
\(\displaystyle \frac{1}{3}\)
17
\(\displaystyle \ln 2 - \frac{15}{4}\)
18
\(\displaystyle 4 - \frac{5}{2\ln 2}\)
19
\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
20
\(\displaystyle \frac{8}{\ln 3} - 2\)
1
Calculăm \( \displaystyle \text{aria} = \int_0^2 \left| (x^2 - 3x + 2) - (x^3 - x^2 + x - 1) \right|\, dx \)
Simplificăm: \( \displaystyle (x^2 - 3x + 2) - (x^3 - x^2 + x - 1) = -x^3 + 2x^2 - 4x + 3 \)
Observăm că pe intervalul [0,2], \( -x^3 + 2x^2 - 4x + 3 \geq 0 \), deci modulul dispare.
Integrăm: \( \displaystyle \int_0^2 (-x^3 + 2x^2 - 4x + 3)\, dx \)
Calculăm integralele: \( \displaystyle \left( -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right) \Bigg|_0^2 \)
Înlocuim capetele:
\( \displaystyle \left( -\frac{2^4}{4} + \frac{2\cdot2^3}{3} - 2\cdot2^2 + 3\cdot2 \right) - \left( -\frac{0^4}{4} + \frac{2\cdot0^3}{3} - 2\cdot0^2 + 3\cdot0 \right) \)
Simplificăm:
\( \displaystyle \left( -\frac{16}{4} + \frac{16}{3} - 8 + 6 \right) - 0 = \left( -4 + \frac{16}{3} - 8 + 6 \right) \)
Adunăm:
\( \displaystyle (-4 -8 +6) + \frac{16}{3} = (-6) + \frac{16}{3} \)
Calculăm suma:
\( \displaystyle \frac{-18}{3} + \frac{16}{3} = \frac{-2}{3} \)
Aria este \( \displaystyle \left| \frac{-2}{3} \right| = \frac{2}{3} \)
2
Se cere aria dintre funcțiile \( \displaystyle f(x) = 16 - x^2 \) și \( \displaystyle g(x) = 0 \).
Determinăm intersecțiile cu axa Ox:
\( \displaystyle f(x) = 0 \Rightarrow 16 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \).
Aria va fi:
\( \displaystyle A = \int\limits_{-4}^{4} (16 - x^2) \, dx \)
Calculăm:
\( \displaystyle \int (16 - x^2) \, dx = 16 \cdot x - \dfrac{x^3}{3} + C \)
Evaluăm:
\( \displaystyle A = \left( 16 \cdot x - \dfrac{x^3}{3} \right)_{-4}^{4} \)
Calculăm valorile:
\( \displaystyle \left(16 \cdot 4 - \dfrac{4^3}{3}\right) - \left(16 \cdot (-4) - \dfrac{(-4)^3}{3}\right) = (64 - \dfrac{64}{3}) - (-64 + \dfrac{64}{3}) \)
\( \displaystyle = \left( \dfrac{192 - 64}{3} \right) - \left( \dfrac{-192 + 64}{3} \right) = \dfrac{128}{3} - \left( \dfrac{-128}{3} \right) = \dfrac{256}{3} \)
Rezultatul final:
\( \displaystyle \dfrac{256}{3} \) u.p.
3
Se cere aria dintre funcțiile \( \displaystyle f(x) = x^4 \) și \( \displaystyle g(x) = 0 \) pe intervalul \( \displaystyle [0, 2] \).
Aria este:
\( \displaystyle A = \int\limits_0^2 x^4 \, dx \)
Calculăm:
\( \displaystyle \int x^4 \, dx = \dfrac{x^5}{5} + C \)
Evaluăm:
\( \displaystyle A = \left( \dfrac{x^5}{5} \right)_0^2 = \dfrac{2^5}{5} - \dfrac{0^5}{5} = \dfrac{32}{5} \)
Rezultatul final:
\( \displaystyle \dfrac{32}{5} \) u.p.
4
Se cere aria dintre funcțiile \( \displaystyle f(x) = 7 - x^2 \) și \( \displaystyle g(x) = x^2 - 1 \).
Determinăm punctele de intersecție:
\( \displaystyle 7 - x^2 = x^2 - 1 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)
Între \( \displaystyle -2 \) și \( \displaystyle 2 \), \( \displaystyle f(x) \) este deasupra lui \( \displaystyle g(x) \).
Aria este:
\( \displaystyle A = \int\limits_{-2}^2 \left( (7 - x^2) - (x^2 - 1) \right) dx = \int\limits_{-2}^2 (8 - 2x^2) \, dx \)
Calculăm:
\( \displaystyle \int (8 - 2x^2) \, dx = 8 \cdot x - 2 \cdot \dfrac{x^3}{3} + C \)
Evaluăm:
\( \displaystyle A = \left(8 \cdot x - \dfrac{2x^3}{3}\right)_{-2}^{2} \)
Calculăm valorile:
\( \displaystyle \left(8 \cdot 2 - \dfrac{2 \cdot 2^3}{3}\right) - \left(8 \cdot (-2) - \dfrac{2 \cdot (-2)^3}{3}\right) \)
\( \displaystyle = (16 - \dfrac{16}{3}) - (-16 + \dfrac{16}{3}) \)
\( \displaystyle = \left( \dfrac{48 - 16}{3} \right) - \left( \dfrac{-48 + 16}{3} \right) \)
\( \displaystyle = \dfrac{32}{3} + \dfrac{32}{3} = \dfrac{64}{3} \)
Rezultatul final:
\( \displaystyle \dfrac{64}{3} \) u.p.
5
Determinăm punctele de intersecție dintre cele două funcții:
\(\displaystyle x^2 - 1 = 5 - x\)
\(\displaystyle x^2 + x - 6 = 0\)
\(\displaystyle (x-2)(x+3) = 0\)
\(\displaystyle x = 2 \quad \text{sau} \quad x = -3\)
Determinăm care funcție este superioară pe intervalul \([-3, 2]\):
Luăm un punct intermediar, de exemplu \(x = 0\):
\(\displaystyle f(0) = -1, \quad g(0) = 5\)
Deci \(g(x)\) este deasupra lui \(f(x)\) pe tot intervalul.
Aria dintre cele două curbe este:
\(\displaystyle A = \int_{-3}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx\)
\(\displaystyle A = \int_{-3}^{2} \left( (5 - x) - (x^2 - 1) \right) \, dx\)
\(\displaystyle A = \int_{-3}^{2} \left(6 - x - x^2\right) \, dx\)
Calculăm integrala:
\(\displaystyle A = \left[6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{2}\)
Calculăm capetele:
\(\displaystyle A(2) = 6\cdot2 - \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} = 12 - 2 - \frac{8}{3} = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}\)
\(\displaystyle A(-3) = 6\cdot(-3) - \frac{(-3)^2}{2} - \frac{(-3)^3}{3} = -18 - \frac{9}{2} - \frac{-27}{3} = -18 - \frac{9}{2} + 9 = (-9) - \frac{9}{2} = \frac{-18-9}{2} = \frac{-27}{2}\)
Deci:
\(\displaystyle A = \frac{22}{3} - \left( \frac{-27}{2} \right) = \frac{22}{3} + \frac{27}{2}\)
Aducem la același numitor:
\(\displaystyle A = \frac{44}{6} + \frac{81}{6} = \frac{125}{6}\)
6
Determinăm punctele de intersecție:
\(\displaystyle e^{-x} = e^{2x}\)
Aplicăm logaritm natural:
\(\displaystyle -x = 2x\)
\(\displaystyle 3x = 0\)
\(\displaystyle x = 0\)
Dar intervalul este \([0,1]\), deci trebuie să vedem pe tot intervalul.
Luăm \(x=0.5\):
\(\displaystyle f(0.5) = e^{-0.5}\), \(\displaystyle g(0.5) = e^1\)
\(\displaystyle e^{-0.5} < e^1\), deci \(g(x)\) este mai sus decât \(f(x)\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx\)
\(\displaystyle A = \int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x}) \, dx\)
Calculăm integrala:
\(\displaystyle \int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2}\), \(\displaystyle \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}\)
Deci:
\(\displaystyle A = \left[\frac{e^{2x}}{2} + e^{-x}\right]_{0}^{1}\)
Evaluăm:
\(\displaystyle A = \left(\frac{e^{2}}{2} + e^{-1}\right) - \left(\frac{1}{2} + 1\right)\)
\(\displaystyle A = \left(\frac{e^2}{2} + \frac{1}{e}\right) - \frac{3}{2}\)
7
Pe intervalul \([-1,1]\), avem \(f(x) = |x|\) și \(g(x) = 1\).
Deoarece \(|x| \leq 1\) pentru orice \(x\) în \([-1,1]\), \(g(x)\) este deasupra lui \(f(x)\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_{-1}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx\)
\(\displaystyle A = \int_{-1}^{1} (1 - |x|) \, dx\)
Separăm integrală în două:
\(\displaystyle A = \int_{-1}^{0} (1+x) \, dx + \int_{0}^{1} (1-x) \, dx\)
Calculăm:
\(\displaystyle \int (1+x) \, dx = x + \frac{x^2}{2}\)
\(\displaystyle \int (1-x) \, dx = x - \frac{x^2}{2}\)
Evaluăm:
\(\displaystyle A = \left(x+\frac{x^2}{2}\right)_{-1}^{0} + \left(x-\frac{x^2}{2}\right)_{0}^{1}\)
Primul interval:
\(\displaystyle \left(0+\frac{0}{2}\right) - \left(-1+\frac{1}{2}\right) = (0) - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\)
Al doilea interval:
\(\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right) - (0) = \frac{1}{2}\)
Deci aria este:
\(\displaystyle A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
8
Determinăm punctele de intersecție:
\(\displaystyle x^2 = -x + 2\)
\(\displaystyle x^2 + x - 2 = 0\)
\(\displaystyle (x-1)(x+2) = 0\)
\(\displaystyle x = 1\) sau \(\displaystyle x = -2\)
Determinăm funcția superioară:
Luăm \(x=0\):
\(\displaystyle f(0) = 0\), \(\displaystyle g(0) = 2\)
Deci \(g(x)\) este deasupra lui \(f(x)\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_{-2}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx\)
\(\displaystyle A = \int_{-2}^{1} (-x+2 - x^2) \, dx\)
Calculăm integrala:
\(\displaystyle \int (-x+2-x^2) \, dx = -\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\)
Evaluăm în capete:
\(\displaystyle A = \left(-\frac{1^2}{2} + 2(1) - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-\frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right)\)
\(\displaystyle A = \left(-\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{4}{2} - 4 + \frac{8}{3}\right)\)
\(\displaystyle A = \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(-2 -4 + \frac{8}{3}\right)\)
\(\displaystyle A = \left(\frac{9-2}{6}\right) - \left(\frac{-18+8}{3}\right)\)
\(\displaystyle A = \frac{7}{6} + \frac{10}{3}\)
\(\displaystyle A = \frac{7+20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}\)
9
Determinăm punctele de intersecție:
\(\displaystyle 2x - x^2 = x\)
\(\displaystyle -x^2 + x = 0\)
\(\displaystyle x(-x + 1) = 0\)
\(\displaystyle x = 0 \) sau \(\displaystyle x = 1\)
Funcția superioară este \(\displaystyle f(x) = 2x - x^2\), iar funcția inferioară este \(\displaystyle g(x) = x\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_{0}^{1} \left( (2x - x^2) - x \right) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx\)
Calculăm integrala:
\(\displaystyle \int x \, dx = \frac{x^2}{2}\)
\(\displaystyle \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}\)
Evaluăm:
\(\displaystyle A = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right)_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 - 0 \right)\)
\(\displaystyle A = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \, \text{u.p.}\)
10
Determinăm punctele de intersecție:
\(\displaystyle x^2 - 2x + 3 = 3x - 1\)
\(\displaystyle x^2 - 5x + 4 = 0\)
\(\displaystyle (x - 1)(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ sau } x = 4\)
Funcția superioară este \(\displaystyle g(x) = 3x - 1\), iar funcția inferioară este \(\displaystyle f(x) = x^2 - 2x + 3\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_{1}^{4} \left( (3x - 1) - (x^2 - 2x + 3) \right) \, dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \, dx\)
Calculăm integrala:
\(\displaystyle \int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3}\)
\(\displaystyle \int 5x \, dx = \frac{5x^2}{2}\)
\(\displaystyle \int -4 \, dx = -4x\)
Evaluăm:
\(\displaystyle A = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right)_{1}^{4}\)
\(\displaystyle A = \left( -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)\)
\(\displaystyle A = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)\)
\(\displaystyle A = \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right)\)
\(\displaystyle A = -\frac{64}{3} + 24 + \frac{1}{3} + \frac{3}{2}\)
\(\displaystyle A = -\frac{63}{3} + 24 + \frac{3}{2} = -21 + 24 + \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \, \text{u.p.}\)
11
Determinăm punctele de intersecție:
\(\displaystyle \frac{5}{x} = 6 - x\)
\(\displaystyle 5 = x(6 - x)\)
\(\displaystyle 5 = 6x - x^2 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0\)
\(\displaystyle (x - 1)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ sau } x = 5\)
Funcția superioară este \(\displaystyle g(x) = 6 - x\), iar funcția inferioară este \(\displaystyle f(x) = \frac{5}{x}\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_{1}^{5} \left( (6 - x) - \frac{5}{x} \right) \, dx\)
Calculăm integrala:
\(\displaystyle \int (6 - x) \, dx = 6x - \frac{x^2}{2}\)
\(\displaystyle \int \frac{5}{x} \, dx = 5 \ln|x|\)
Evaluăm:
\(\displaystyle A = \left( 6x - \frac{x^2}{2} - 5 \ln|x| \right)_{1}^{5}\)
\(\displaystyle A = \left( 30 - \frac{25}{2} - 5 \ln(5) \right) - \left( 6 - \frac{1}{2} - 5 \ln(1) \right)\)
\(\displaystyle A = \left( 30 - 12.5 - 5 \ln(5) \right) - \left( 5.5 - 0 \right)\)
\(\displaystyle A = 17.5 - 5.5 - 5 \ln(5)\)
\(\displaystyle A = 12 - 5 \ln(5) \, \text{u.p.}\)
12
Determinăm punctele de intersecție:
\(\displaystyle x^2 + 1 = -x^2 + 3\)
\(\displaystyle 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1 \text{ sau } x = 1\)
Funcția superioară este \(\displaystyle g(x) = -x^2 + 3\), iar funcția inferioară este \(\displaystyle f(x) = x^2 + 1\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_{-1}^{1} \left( (-x^2 + 3) - (x^2 + 1) \right) \, dx = \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) \, dx\)
Calculăm integrala:
\(\displaystyle \int (-2x^2 + 2) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + 2x\)
Evaluăm:
\(\displaystyle A = \left( -\frac{2x^3}{3} + 2x \right)_{-1}^{1}\)
\(\displaystyle A = \left( -\frac{2}{3} + 2 \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right)\)
\(\displaystyle A = \left( \frac{4}{3} \right) + \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{8}{3} \, \text{u.p.}\)
13
Determinăm punctele de intersecție:
\(\displaystyle 9 - x^2 = x^2 - 6x + 9\)
\(\displaystyle 9 - x^2 = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow -x^2 - x^2 + 6x = 0\)
\(\displaystyle -2x^2 + 6x = 0\)
\(\displaystyle 2x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ sau } x = 3\)
Funcția superioară este \(\displaystyle f(x) = 9 - x^2\), iar funcția inferioară este \(\displaystyle g(x) = x^2 - 6x + 9\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_{0}^{3} \left( (9 - x^2) - (x^2 - 6x + 9) \right) \, dx = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) \, dx\)
Calculăm integrala:
\(\displaystyle \int (-2x^2 + 6x) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + 3x^2\)
Evaluăm:
\(\displaystyle A = \left( -\frac{2 \cdot 27}{3} + 3 \cdot 9 \right) - \left( 0 + 0 \right)\)
\(\displaystyle A = \left( -18 + 27 \right) = 9 \, \text{u.p.}\)
14
Se determină aria dintre funcțiile \( \displaystyle f(x) = 2 + x - x^2 \) și \( \displaystyle g(x) = 2 - x \).
Egalăm pentru a găsi punctele de intersecție:
\(\displaystyle 2 + x - x^2 = 2 - x\)
\(\displaystyle x - x^2 + x = 0\)
\(\displaystyle -x^2 + 2x = 0\)
\(\displaystyle x(x-2) = 0\)
\(\displaystyle x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 2\)
Determinăm cine este mai sus:
La \( \displaystyle x = 1 \), \( \displaystyle f(1) = 2 \), \( \displaystyle g(1) = 1 \), deci \( \displaystyle f(x) \geq g(x) \) pe \([0,2]\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_0^2 (f(x) - g(x))\, dx = \int_0^2 (2 + x - x^2 - (2 - x))\, dx = \int_0^2 (2x - x^2)\, dx\)
Calculăm:
\(\displaystyle \int_0^2 (2x - x^2)\, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2\)
\(\displaystyle = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - (0-0) = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{4}{3}\)
15
Se determină aria dintre funcțiile \( \displaystyle f(x) = x^2 \) și \( \displaystyle g(x) = \sqrt{x} \).
Egalăm pentru a găsi punctele de intersecție:
\(\displaystyle x^2 = \sqrt{x}\)
\(\displaystyle x^4 = x\)
\(\displaystyle x^4 - x = 0\)
\(\displaystyle x(x^3 - 1) = 0\)
\(\displaystyle x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 1\)
Determinăm cine este mai sus:
La \( \displaystyle x = \frac{1}{4} \), \( \displaystyle f\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{16} \), \( \displaystyle g\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \), deci \( \displaystyle g(x) \geq f(x) \) pe \([0,1]\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_0^1 (g(x) - f(x))\, dx = \int_0^1 \left( \sqrt{x} - x^2 \right)\, dx\)
Calculăm:
\(\displaystyle \int_0^1 \left( x^{\frac{1}{2}} - x^2 \right)\, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1\)
\(\displaystyle = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{3}\)
16
Se determină aria dintre funcțiile \( \displaystyle f(x) = \sqrt{x} \), \( \displaystyle g(x) = 2 \), pe intervalul \([0,9]\) cu \( x=9 \).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_0^9 (g(x) - f(x))\, dx = \int_0^9 (2 - \sqrt{x})\, dx\)
Calculăm:
\(\displaystyle \int_0^9 (2 - x^{\frac{1}{2}})\, dx = \left[ 2x - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_0^9\)
La \( x=9 \):
\(\displaystyle 2 \times 9 - \frac{2}{3} \times 27 = 18 - 18 = 0\)
La \( x=0 \):
\(\displaystyle 0 - 0 = 0\)
Răspuns: \(\displaystyle 0\)
17
Se determină aria dintre funcțiile \( \displaystyle f(x) = x^3 \) și \( \displaystyle g(x) = \frac{1}{x} \), pe intervalul \([1,2]\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_1^2 (g(x) - f(x))\, dx = \int_1^2 \left( \frac{1}{x} - x^3 \right)\, dx\)
Calculăm:
\(\displaystyle \int_1^2 \left( \frac{1}{x} - x^3 \right)\, dx = \left[ \ln x - \frac{x^4}{4} \right]_1^2\)
La \( x=2 \):
\(\displaystyle \ln 2 - \frac{16}{4} = \ln 2 - 4\)
La \( x=1 \):
\(\displaystyle \ln 1 - \frac{1}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\)
Diferența:
\(\displaystyle (\ln 2 - 4) - (-\frac{1}{4}) = \ln 2 - \frac{15}{4}\)
Răspuns: \(\displaystyle \ln 2 - \frac{15}{4}\)
18
Se determină aria dintre funcția \( \displaystyle f(x) = 2^x \), dreapta \( y=2 \) și \( x=-1 \).
Trebuie să găsim intersecția \( 2^x = 2 \), adică \( x=1 \).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_{-1}^1 (2 - 2^x)\, dx\)
Calculăm:
\(\displaystyle \int_{-1}^1 (2 - 2^x)\, dx = \left[ 2x - \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{-1}^1\)
La \( x=1 \):
\(\displaystyle 2 \times 1 - \frac{2}{\ln 2} = 2 - \frac{2}{\ln 2}\)
La \( x=-1 \):
\(\displaystyle 2 \times (-1) - \frac{2^{-1}}{\ln 2} = -2 - \frac{1}{2\ln 2}\)
Diferența:
\(\displaystyle \left( 2 - \frac{2}{\ln 2} \right) - \left( -2 - \frac{1}{2\ln 2} \right) = 4 - \frac{5}{2\ln 2}\)
Răspuns: \(\displaystyle 4 - \frac{5}{2\ln 2}\)
19
Se determină aria dintre funcțiile \( \displaystyle f(x) = x^2 + 1 \) și \( \displaystyle g(x) = \frac{1}{2}(x+1)^2 \) pe \([0,1]\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_0^1 (f(x) - g(x))\, dx\)
\(\displaystyle = \int_0^1 \left( x^2 + 1 - \frac{(x+1)^2}{2} \right)\, dx\)
Dezvoltăm:
\(\displaystyle (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
Deci:
\(\displaystyle f(x) - g(x) = x^2 + 1 - \frac{x^2 + 2x + 1}{2} = \frac{x^2}{2} - x + \frac{1}{2}\)
Calculăm:
\(\displaystyle \int_0^1 \left( \frac{x^2}{2} - x + \frac{1}{2} \right)\, dx = \left[ \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_0^1\)
La \( x=1 \):
\(\displaystyle \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\)
La \( x=0 \):
\(\displaystyle 0\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{6}\)
20
Se determină aria dintre funcțiile \( \displaystyle f(x) = x \) și \( \displaystyle g(x) = 3^x \) pe \([0,2]\).
Aria este:
\(\displaystyle A = \int_0^2 (g(x) - f(x))\, dx\)
\(\displaystyle = \int_0^2 (3^x - x)\, dx\)
Calculăm:
\(\displaystyle \int_0^2 (3^x)\, dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]_0^2\)
\(\displaystyle \int_0^2 (x)\, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2\)
Așadar:
\(\displaystyle A = \left( \frac{9}{\ln 3} - \frac{1}{\ln 3} \right) - \left( \frac{4}{2} - 0 \right)\)
\(\displaystyle = \frac{8}{\ln 3} - 2\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{8}{\ln 3} - 2\)