Aria subgraficului dintre mai multe funcții
Metoda de rezolvare
Aria dintre mai multe funcții, delimitată de curbele lor și axa Ox, este determinată prin calculul diferenței dintre funcții. Se consideră următorii pași:
- Rezolvăm ecuația \( f(x) = g(x) \) pentru a determina punctele de intersecție ale graficelor. Aceste puncte devin limitele de integrare \( a \) și \( b \).
- Comparăm valorile funcțiilor \( f(x) \) și \( g(x) \) între limitele de integrare pentru a identifica care funcție este mai mare pe fiecare interval.
- Calculăm aria folosind formula: \[ \mathcal{A} \left( \Gamma_{f, g} \right) = \int_a^b \left| f(x) - g(x) \right| dx \] Dacă \( f(x) \geq g(x) \), formula devine: \[ \mathcal{A} \left( \Gamma_{f, g} \right) = \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right) dx \]
Exemplu Rezolvat
Calculați aria subgraficului dintre funcțiile:
- \( f(x) = x^2 - x \)
- \( g(x) = 3x \)
Pasul 1: Determinarea limitelor de integrare
Rezolvăm ecuația \( f(x) = g(x) \):
\[ x^2 - x = 3x \implies x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \]Rezultă limitele de integrare \( a = 0 \) și \( b = 4 \).
Pasul 2: Compararea funcțiilor
Între \( x \in [0, 4] \), verificăm relația \( f(x) \) și \( g(x) \):
- La \( x = 1 \), \( f(1) = 1^2 - 1 = 0 \), \( g(1) = 3 \cdot 1 = 3 \). Deci \( g(x) \geq f(x) \).
Funcția \( g(x) \) este mai mare decât \( f(x) \) pe întregul interval \([0, 4]\).
Pasul 3: Calculul ariei
\[ \mathcal{A} \left( \Gamma_{f, g} \right) = \int_0^4 \left( g(x) - f(x) \right) dx = \int_0^4 \left( 3x - (x^2 - x) \right) dx = \int_0^4 (3x - x^2 + x) dx \] \[ = \int_0^4 (4x - x^2) dx \]Calculăm integrala:
\[ \int_0^4 (4x - x^2) dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 \] \[ = \left( 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ = \left( 32 - \frac{64}{3} \right) - 0 = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} \]Aria este:
\[ \mathcal{A} \left( \Gamma_{f, g} \right) = \frac{32}{3} \, \text{(u.p.)} \]Exerciții
1
Să se determine aria figurii delimitate de graficele funcțiilor \(f, g : [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 3x + 2, g(x) = x^3 - x^2 + x - 1.\)
2
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 16 - x^2, g(x) = 0.\)
3
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x) = x^4, g(x) = 0.\)
4
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 7 - x^2, g(x) = x^2 - 1.\)
5
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 1, g(x) = 5 - x.\)
6
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : [0, 1] \to \mathbb{R}, f(x) = e^{-x}, g(x) = e^{2x}.\)
7
Să se afle aria figurii mărginită de graficele funcțiilor: \(f, g : [-1, 1] \to \mathbb{R}, f(x) = |x|, g(x) = 1.\)
8
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = -x + 2.\)
9
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x - x^2; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = x.\)
10
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 2x + 3; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = 3x - 1.\)
11
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(\displaystyle f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*, f(x) = \frac{5}{x}; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = 6 - x.\)
12
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 1; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = -x^2 + 3.\)
13
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 9 - x^2; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = x^2 - 6x + 9.\)
14
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2 + x - x^2; g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = 2 - x.\)
15
Să se determine aria subgraficului determinat de liniile: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2; g : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, g(x) = \sqrt{x}.\)