Piramida Triunghiulară

1. Definiție

Piramida triunghiulară este caracterizată de:

O bază triunghiulară.
Trei fețe laterale triunghiulare.
Un punct comun pentru toate fețele laterale, numit vârf.
6 muchii și 4 vârfuri (3 din bază și 1 vârf al piramidei).
Piramida triunghiulară regulată: are la baza un triunghi echilateral

2. Formule importante

2.1. Aria laterală

Aria laterală a unei piramide triunghiulare este suma ariilor celor trei triunghiuri care formează fețele laterale:

\[ A_{lat} = A_{l1} + A_{l2} + A_{l3} \]

Unde \(A_{l1}, A_{l2}, A_{l3}\) sunt ariile triunghiurilor laterale.

Pentru piramida triunghiulară regulată este formula:

\[ A_{lat} = \frac{P_{b} \cdot h_{lat}}{2} \]

Unde:

\(P_{b}\) este perimetrul bazei.
\(h_{lat}\) este înălțimea fiecărei fețe laterale (numita si apotema).

2.2. Aria totală

Aria totală a piramidei este suma ariei laterale și a ariei bazei:

\[ A_{tot} = A_{lat} + A_{b} \]

2.3. Volumul

Volumul piramidei triunghiulare este calculat astfel:

\[ V = \frac{A_{b} \cdot h}{3} \]

Unde \(h\) este înălțimea piramidei, măsurată perpendicular pe planul bazei.

3. Exemplu de calcul

Exemplu: Fie o piramidă triunghiulară cu baza echilaterală, având latura \(a = 6 \;\text{cm}\) și înălțimea piramidei \(h = 8 \;\text{cm}\). Calculați aria totală și volumul piramidei.

3.1. Calculul ariei bazei

Aria bazei este:

\[ A_{b} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9 \sqrt{3} \;\text{cm}^2 \]

3.2. Calculul înălțimii laterale

Înălțimea fiecărei fețe laterale \(h_{lat}\) se determină folosind teorema lui Pitagora:

\[ h_{lat} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \;\text{cm} \]

3.3. Calculul ariei laterale

Fiecare față laterală este un triunghi isoscel. Aria unei fețe laterale este:

\[ A_{lateral, 1} = \frac{a \cdot h_{lat}}{2} = \frac{6 \cdot \sqrt{68}}{2} = 3 \sqrt{68} \;\text{cm}^2 \]

Aria laterală totală este:

\[ A_{lat} = 3 \cdot A_{lateral, 1} = 3 \cdot 3 \sqrt{68} = 9 \sqrt{68} \;\text{cm}^2 \]

3.4. Aria totală

Aria totală este:

\[ A_{tot} = A_{lat} + A_{b} = 9 \sqrt{68} + 9 \sqrt{3} \;\text{cm}^2 \]

3.5. Volumul

Volumul este:

\[ V = \frac{A_{b} \cdot h}{3} = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 8}{3} = 24 \sqrt{3} \;\text{cm}^3 \]

Exerciții

O piramidă triunghiulară are baza un triunghi echilateral cu latura de \( 6 \, \text{cm} \) și apotema bazei \( 3\sqrt{3} \, \text{cm} \). Înălțimea feței laterale este \( 8 \, \text{cm} \). Calculați:
a) aria bazei
b) aria laterală
c) aria totală
c) volumul piramidei dacă înălțimea piramidei este \( 9 \, \text{cm} \)

O piramidă triunghiulară regulată are baza cu perimetrul de \( 18 \, \text{cm} \) și înălțimea feței laterale \( 10 \, \text{cm} \). Calculați aria laterală.

Într-o piramidă triunghiulară regulată, baza este un triunghi echilateral cu latura \( 12 \, \text{cm} \). Înălțimea piramidei este \( 15 \, \text{cm} \). Calculați volumul piramidei.