Termenul ce conține sau nu conține x

În dezvoltarea unui binom, uneori este necesar să identificăm termenii care conțin sau nu variabila \( x \). Acești termeni sunt obținuți din analiza expresiei generale a termenilor și a condițiilor date.

1. Termenul ce nu conține \( x \)

Un termen care nu conține \( x \) apare atunci când puterea totală a lui \( x \) în termen devine egală cu 0.

Exemplu

Aflati termenul ce nu contine x in dezvoltarea binomului \(\displaystyle \left(x^2 + \frac{1}{x^4} \right)^{12} \).

Termenul general al dezvoltării este:

\( T_{k+1} = C^k_{12} \cdot (x^2)^{12-k} \cdot \left(\frac{1}{x^4}\right)^k \)

Calculăm:

\( T_{k+1} = C^k_{12} \cdot x^{2(12-k)} \cdot x^{-4k} = C^k_{12} \cdot x^{24 - 2k - 4k} = C^k_{12} \cdot x^{24 - 6k} \)

Pentru ca termenul să nu conțină \( x \), trebuie ca exponentul lui \( x \) să fie 0:

\( 24 - 6k = 0 \implies k = \frac{24}{6} = 4 \)

În cazul \( k = 4 \), termenul general este:
\( T_{4+1} = C^4_{12} \)

2. Termenul ce conține \( x^n \)

Pentru a determina termenul care conține o anumită putere \( x^n \), setăm exponentul lui \( x \) egal cu \( n \) în formula termenului general.

Aflati termenul ce contine \( x^{14} \) in dezvoltarea binomului \(\displaystyle \left(x^2 + \frac{1}{x^3} \right)^{12} \)

Termenul general este:

\( T_{k+1} = C^k_{12} \cdot x^{24 - 5k} \)

Setăm \( 24 - 5k = 14 \):

\( 24 - 5k = 14 \implies k = \frac{10}{5} = 2 \)

Termenul ce conține \( x^{14} \) este:

\( T_{2+1} = C^2_{12} \cdot x^{14} \)

Dorim să aflăm termenul care conține \( x^{14} \):
\( T_{2+1} = C^2_{12} \cdot x^{14} = 66 x^{14} \)

Exemplu complex rezolvat

Care termen din dezvoltarea \(\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}} + \sqrt[4]{a^3} \right)^{17}\) nu-l conține pe \(a\)?

Formula termenului general: \[ T_{k+1} = C_{17}^k \cdot \left( \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}} \right)^{17-k} \cdot \left( \sqrt[4]{a^3} \right)^k \]

Simplificare exponenți:

\[ -\frac{2}{3}(17-k) + \frac{3}{4}k = 0 \]

Calculând \(k\):

\[ -\frac{2}{3}(17-k) + \frac{3}{4}k = 0 \implies -\frac{34}{3} + \frac{2k}{3} + \frac{3k}{4} = 0 \]

\[ -\frac{34}{3} + \frac{8k}{12} + \frac{9k}{12} = 0 \implies \frac{-136 + 17k}{12} = 0 \implies 17k = 136 \implies k = 8 \]

Substituind \(k\):

\[ T_9 = T_{8+1} = C_{17}^8 \cdot a^0 = \frac{17!}{8! \cdot 9!} \]

Calculație factorială:

\[ T_9 = \frac{91 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9} = 24310 \]

Rezultatul este \(T_9 = 24310\).

Exerciții

Termenul al nouălea al dezvoltării binomului \(\displaystyle \left(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^n \) nu conține \( x \). Calculați \( A_n^2 \).

Să se determine termenul care-l conține pe \( a^4 \) din dezvoltarea \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{a}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{a}}\right)^{13} \).

Determinați rangul termenului ce conține \( x^3 \) în dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle (\sqrt{x} + y)^9 \).

Aflați termenul liber de \(x\) (care nu conține \(x\)) din dezvoltarea binomului \(\displaystyle \left(x + \frac{1}{x}\right)^{10}\).

Determinați termenul care conține \(x^{10}\) în dezvoltarea \(\displaystyle (x^2 + 2)^8\).

Care este valoarea termenului care nu-l conține pe \(x\) în dezvoltarea \(\displaystyle \left(x^3 + \frac{1}{x^2}\right)^5\)?

Să se determine \(k\) astfel încât \(T_{k+1}\) să conțină \(x^7\) în dezvoltarea \(\displaystyle \left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^{11}\).

Calculați termenul care nu depinde de \(a\) din dezvoltarea \(\displaystyle \left(\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt[4]{a}}\right)^{12}\).

Determinați coeficientul termenului care conține \(x^4\) în dezvoltarea \(\displaystyle (2x - 1)^6\).

În dezvoltarea \(\displaystyle \left(x^2 + \frac{1}{x^3}\right)^n\), termenul al cincilea nu-l conține pe \(x\). Aflați numărul total de termeni ai dezvoltării.