Teorema binomului lui Newton oferă o metodă de dezvoltare a puterii unui binom \( (a + b)^n \), unde \( n \) este un număr natural.
Formula de dezvoltare (este data in anexa la BAC):
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
- \( C_n^k \) este coeficientul binomial, calculat ca: \(\displaystyle C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \)
- \( a^{n-k} \) și \( b^k \) sunt părțile binomului corespunzătoare fiecărui termen.
Termenul General
Termenul general al dezvoltării unui binom \( (a + b)^n \) este dat de formula:
\[ T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
- \( T_{k+1} \): al \((k+1)\)-lea termen din dezvoltare.
- \( C_n^k \): coeficientul binomial pentru termenul respectiv.
- \( a^{n-k} \): primul termen din binom.
- \( b^k \): al doilea termen din binom.
Exemple rezolvate
Calcularea unui termen specific
Determinați al treilea termen al dezvoltării \( (2x - 1)^5 \):
Folosim formula termenului general: \[ T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \] Pentru al treilea termen: \( k = 2 \), \( n = 5 \), \( a = 2x \), \( b = -1 \): \[ T_3 = T_{2+1} = C_5^2 \cdot (2x)^{5-2} \cdot (-1)^2 \] Calculăm: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] \[ T_3 = 10 \cdot (2x)^3 \cdot 1 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3 \] Răspuns: \( T_3 = 80x^3 \)
Exemplu complex
Determinați al patrulea termen al dezvoltării \((a^2 + a)^{12}\)
Formula termenului general: \[ T_k = C_n^k \cdot (a^2)^{n-k} \cdot a^k \]
Calculație:
\[ T_4 = T_{3+1} = C_{12}^3 \cdot (a^2)^{12-3} \cdot a^3 = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \cdot (a^2)^9 \cdot a^3 \]
\[ T_4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot a^{18} \cdot a^3 = 220a^{21} \]
Observații
- Dezvoltarea unui binom generează \( n+1 \) termeni.
- Suma coeficienților: \( 2^n \).
1
Să se determine termenul al cincilea al dezvoltării \(\displaystyle (\sqrt{x} + x)^{10} \).
Răspuns: \( T_{5}=210\,x^7 \)
2
Să se afle termenul al zecelea al dezvoltării \(\displaystyle \left(a - \frac{1}{a} \right)^{13} \).
Răspuns: \( T_{10}=-715\,a^{-5} \)
3
Să se determine termenul al șaptelea al dezvoltării \(\displaystyle (\sqrt{2} + \sqrt{3})^9 \).
Răspuns: \( T_{7}=2268\cdot2^{\frac{3}{2}} \)
4
Să se determine al cincilea termen al dezvoltării \(\displaystyle \left(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x^2}\right)^{10} \).
Răspuns: \( T_{5}=210\,x^{\frac{17}{3}} \)
5
Să se afle al nouălea termen al dezvoltării \(\displaystyle \left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^{12} \).
Răspuns: \( T_{9}=495 \)
6
Să se determine al cincilea termen al dezvoltării \(\displaystyle \left(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^9 \).
Răspuns: \( T_{5}=126\,x^{\frac{1}{3}} \)
2
\( T_{10}=-715\,a^{-5} \)
3
\( T_{7}=2268\cdot2^{\frac{3}{2}} \)
4
\( T_{5}=210\,x^{\frac{17}{3}} \)
6
\( T_{5}=126\,x^{\frac{1}{3}} \)
1
Se consideră dezvoltarea \[ (\sqrt{x}+x)^{10}. \] Termenul general este \[ T_{k+1}=C_{10}^{\,k}\,(\sqrt{x})^{\,10-k}\,(x)^k =C_{10}^{\,k}\,x^{\frac{10-k}{2}+k} =C_{10}^{\,k}\,x^{\frac{10+k}{2}}. \] Termenul al cincilea corespunde lui \( k=4 \) (deoarece \(T_5=T_{4+1}\)): \[ T_{5}=C_{10}^{\,4}\,x^{\frac{10+4}{2}} =C_{10}^{\,4}\,x^7. \] Deoarece \[ C_{10}^{\,4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210, \] \( T_{5}=210\,x^7 \)
2
Se determină termenul al zecelea în dezvoltarea \[ \left(a-\frac{1}{a}\right)^{13}. \] Termenul general este \[ T_{k+1}=C_{13}^{\,k}\,a^{\,13-k}\,\left(-\frac{1}{a}\right)^k =C_{13}^{\,k}\,(-1)^k\,a^{13-2k}. \] Pentru termenul al zecelea se ia \( k=9 \): \[ T_{10}=C_{13}^{\,9}\,(-1)^9\,a^{13-18} =C_{13}^{\,9}\,(-1)\,a^{-5}. \] Observând că \[ C_{13}^{\,9}=C_{13}^{\,4}=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot10}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=715, \] \( T_{10}=-715\,a^{-5} \)
3
Se determină termenul al șaptelea în dezvoltarea \[ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^9. \] Termenul general este \[ T_{k+1}=C_{9}^{\,k}\,(\sqrt{2})^{\,9-k}\,(\sqrt{3})^k =C_{9}^{\,k}\,2^{\frac{9-k}{2}}\,3^{\frac{k}{2}}. \] Pentru termenul al șaptelea se alege \( k=6 \): \[ T_{7}=C_{9}^{\,6}\,2^{\frac{9-6}{2}}\,3^{\frac{6}{2}} =C_{9}^{\,6}\,2^{\frac{3}{2}}\,3^3. \] Observăm că \( C_{9}^{\,6}=C_{9}^{\,3} \) iar \[ C_{9}^{\,3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84. \] Astfel, \[ T_{7}=84\cdot2^{\frac{3}{2}}\cdot27=84\cdot27\cdot2^{\frac{3}{2}}. \] Deoarece \(84\cdot27=2268\), \( T_{7}=2268\cdot2^{\frac{3}{2}} \).
4
Se determină al cincilea termen în dezvoltarea \[ \Bigl(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2}\Bigr)^{10}. \] Scriem: \[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}},\qquad \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}. \] Astfel, termenul general este \[ T_{k+1}=C_{10}^{\,k}\,(x^{\frac{1}{2}})^{\,10-k}\,(x^{\frac{2}{3}})^k =C_{10}^{\,k}\,x^{\frac{10-k}{2}+\frac{2k}{3}} =C_{10}^{\,k}\,x^{\frac{3(10-k)+4k}{6}} =C_{10}^{\,k}\,x^{\frac{30+k}{6}}. \] Pentru al cincilea termen se alege \( k=4 \): \[ T_{5}=C_{10}^{\,4}\,x^{\frac{30+4}{6}} =C_{10}^{\,4}\,x^{\frac{34}{6}}=C_{10}^{\,4}\,x^{\frac{17}{3}}. \] Deoarece \( C_{10}^{\,4}=210 \), \( T_{5}=210\,x^{\frac{17}{3}} \)
5
Se află al nouălea termen în dezvoltarea \[ \Bigl(x^2+\frac{1}{x}\Bigr)^{12}. \] Termenul general este \[ T_{k+1}=C_{12}^{\,k}\,(x^2)^{\,12-k}\,\left(\frac{1}{x}\right)^k =C_{12}^{\,k}\,x^{2(12-k)-k} =C_{12}^{\,k}\,x^{24-3k}. \] Pentru al nouălea termen se alege \( k=8 \): \[ T_{9}=C_{12}^{\,8}\,x^{24-3\cdot8} =C_{12}^{\,8}\,x^{24-24} =C_{12}^{\,8}\,x^0=C_{12}^{\,8}. \] Deoarece \( C_{12}^{\,8}=C_{12}^{\,4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495 \)
6
Se determină al cincilea termen în dezvoltarea \[ \Bigl(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)^9. \] Notăm: \[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}},\qquad \frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{1}{3}}. \] Termenul general este \[ T_{k+1}=C_{9}^{\,k}\,(x^{\frac{1}{3}})^{\,9-k}\,(x^{-\frac{1}{3}})^k =C_{9}^{\,k}\,x^{\frac{9-k}{3}-\frac{k}{3}} =C_{9}^{\,k}\,x^{\frac{9-2k}{3}}. \] Pentru termenul al cincilea se alege \( k=4 \): \[ T_{5}=C_{9}^{\,4}\,x^{\frac{9-2\cdot4}{3}} =C_{9}^{\,4}\,x^{\frac{9-8}{3}} =C_{9}^{\,4}\,x^{\frac{1}{3}}. \] \( C_{9}^{\,4}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=126 \), \( T_{5}=126\,x^{\frac{1}{3}} \)