Ecuații rationale (fractii)

Metoda de Rezolvare

  1. Determinarea Domeniului de Valori Admisibile al Ecuației (DVA): Asigurăm că numitorii tuturor fracțiilor nu sunt egali cu 0: \[ \text{DVA}: \, \text{numitorii} \neq 0 \]
  2. Transformăm ecuația într-o formă fără fracții: Dacă avem o fracție egală cu o fracție: \[ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \]
    înmulțim pe diagonala: \[ A \cdot D = B \cdot C \]
  3. Verificăm soluțiile obținute: Soluțiile care nu respectă DVA sunt excluse.

Exemplu Rezolvat

Rezolvați ecuația în \(\mathbb{R}\):

\[ \frac{6x - x^2 - 15}{9 - x^2} + \frac{1}{3 - x} = 2 \]

  1. Determinăm DVA: \[ \text{DVA: } \begin{cases} 9 - x^2 \neq 0 \\ 3 - x \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} - x^2 \neq -9 \\ - x \neq -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \neq 9 \\ x \neq 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq \pm \sqrt{9} \\ x \neq 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq \pm 3 \\ x \neq 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq -3 \\ x \neq 3 \end{cases} \]
    Deci: \[ \text{DVA} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \]
  2. Rezolvăm ecuația: Aducem fractiile la același numitor: \[ \frac{6x - x^2 - 15}{(3 - x)(3 + x)} + \frac{1 \cdot (3 + x)}{(3 - x)(3 + x)} = 2 \] Rezultă: \[ \frac{6x - x^2 - 15 + 3 + x}{(3 - x)(3 + x)} = \frac{2}{1} \]
    Inmultim pe diagonala: \[ 6x - x^2 - 15 + 3 + x = 2(3 - x)(3 + x) \] \[ 6x - x^2 - 15 + 3 + x = 2(9 - x^2) \] Simplificăm: \[ -x^2 + 7x - 12 = 18 - 2x^2 \] Obținem: \[ x^2 + 7x - 30 = 0 \]
  3. Rezolvăm ecuația de gradul 2: Calculăm discriminantul: \[ \Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169, \quad \sqrt{\Delta} = 13. \] Soluțiile sunt: \[ x_1 = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10, \quad x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
  4. Verificăm soluțiile în DVA: \[ x_1 = -10 \in \text{DVA}, \quad x_2 = 3 \notin \text{DVA} \] Rămâne doar \( x_1 = -10 \)

Răspuns: \(\mathbf{S = \{-10\}}\)

Exerciții

1
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{3x^2 + x}{12x + 4} = 0\)
2
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x+2}{x-2} - \frac{x^2}{x^2 - 4} = 0\)
3
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 + 12x + 20}{x+2} - \frac{x-6}{3} = 0\)
4
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 + 4x + 3}{x+1} = \frac{5x - 3}{2}\)
5
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 - 2}{x^2 + x} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x - 3}{x}\)
6
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} + \frac{x+1}{x+2} = 1\)
7
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{3} = 0\)
8
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{1}{x^2 - x} + \frac{1}{x} = 1\)
9
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{2}{1-x^2} - \frac{x}{1-x} = 2\)
10
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1}\)
11
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x+0,5}{9x+3} + \frac{8x^2 + 3}{9x^2 - 1} = \frac{x+2}{3x-1}\)
12
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x+3}{4x^2 - 9} - \frac{3-x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x-3}\)
13
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{1-2x}{6x^2 + 3x} + \frac{2x+1}{14x^2 - 7x} = \frac{8}{12x^2 - 3}\)
Înapoi Următor