Item 12 - exercitii de exersare

Exerciții

Aflaţi termenul din mijloc al dezvoltării \( \left(2 x^{2}+\displaystyle \frac{1}{2 x}\right)^{12} \).

Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}\right)^n \) este 32. Să se determine al patrulea termen al dezvoltării.

Să se afle \( x \in R \), ştiind că termenul al cincilea al dezvoltării \( \left(\sqrt{x}+x^{-1}\right)^{6} \) este egal cu \( \displaystyle \frac{5}{9} \).

Determinați rangul termenului ce conține \( x^3 \) în dezvoltarea la putere a binomului \( (\sqrt{x} + y)^9 \).

Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării \( \left( \sqrt[3]{3} + \sqrt{2} \right)^{50} \).

Să se afle cea mai mică valoare naturală a lui \( n \) din dezvoltarea \( (x+a)^{n} \) pentru care raportul coeficienților binomiali ai doi termeni vecini ai dezvoltării este egal cu 5:8.

Să se afle termenul al cincilea din dezvoltarea \(\displaystyle \left( \frac{a}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{a} \right)^n \), știind că raportul coeficienților binomiali ai termenilor al treilea și al doilea este egal cu \(\displaystyle \frac{11}{2} \).

În dezvoltarea \( \left(\sqrt{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right)^{n} \) raportul dintre coeficientul binomial al termenului al cincilea și coeficientul binomial al temenului al treilea este egal cu \( \displaystyle \frac{7}{2} \). Să se afle termenul dezvotării care-1 conţine pe \( x \) (pe \( x^{1} \) ).

Să se afle termenul care-l conține pe \( x^5 \) din dezvoltarea \( \left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^{10} \).

Determinați rangul termenului ce nu conține \( x \) în dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{25} \).

Se consideră dezvoltarea \( \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{n} \), unde \( x>0 \). Ştiind că diferenţa dintre coeficientul binomial al termenului al treilea şi coeficientul binomial al primului termen este egală cu 35 , să se afle termenul dezvoltării care-l conţine pe \( \sqrt{x} \).

Termenul de rangul \( 13 \) al dezvoltării binomului \(\displaystyle \left( \displaystyle \frac{1}{a^3} + 3\sqrt{a} \right)^n \) nu-l conține pe \( a \). Determinați valoarea lui \( n \).

Să se afle termenul care-1 conţine pe \( a^{3} \) din dezvoltarea \( \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\sqrt[4]{a^{3}}\right)^{17} \).

Determinați numărul de termeni iraționali ai dezvoltării la putere a binomului \( \left(\sqrt[4]{3} + \sqrt[5]{7}\right)^{100} \).

Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării la putere a binomului \( \left(\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}\right)^{80} \).

Determinați termenul care nu îl conține pe \( b \) din dezvoltarea la putere a binomului \( \left(\sqrt{b} - \frac{1}{3\sqrt[4]{b}}\right)^{12} \), \( b > 0 \).

Aflaţi termenul al şaselea al dezvoltării \( \left(\sqrt{x+1}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)^{n} \), ştiind că coeficientul binomial al termenului al patrulea este egal cu 56 .

Determinați termenii raționali din dezvoltarea binomului la putere \( \left(\sqrt{3} + \sqrt[3]{2}\right)^{16} \).

Determinaţi numărul termenilor raţionali din dezvoltarea \( (1+\sqrt[3]{2})^{50} \).

În dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(\sqrt{x} - \frac{1}{x^2}\right)^n\), suma coeficienților binomiali de rang impar este egală cu \(512\). Determinați termenul care nu-l conține pe \(x\).

Determinați rangul termenului care-l conține pe \(x^{\tfrac{20}{3}}\) în dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(\frac{x\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{3}{\sqrt[9]{x^8}}\right)^n, \) \(x > 0\), știind că suma coeficienților binomiali ai primilor trei termeni ai dezvoltării este 121.

Aflaţi termenul care-l conţine pe \( x^{6} \) din dezvoltarea \( \left(x \sqrt[3]{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{n} \), ştiind că diferența dintre coeficienții binomiali ai termenilor al treilea şi al doilea este egală cu 35.

Determinați termenul din dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(\frac{b}{\sqrt[5]{a}} + \frac{a}{\sqrt{b}}\right)^9, \) \( a > 0, \, b > 0 \) în care \( a \) și \( b \) au puteri egale.

Determinați numărul de termeni raționali în dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle (2\sqrt{5} + 4\sqrt[3]{2})^{50}. \)

Să se afle termenul al cincilea al dezvoltării \( \left(\sqrt{a}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3 a}}\right)^{n} \), unde \( a>0 \), ştiind că raportul coeficiențlor binomiali ai termenilor al patrulea şi al treilea este egal cu \(\displaystyle \frac{10}{3} \).

Determinați rangul termenului care conține \( x^5 \) în dezvoltarea la putere a binomului: \(\displaystyle \left(x^3 \sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2 \sqrt{x}}\right)^n, \quad x > 0, \) știind că coeficientul binomial al termenului al optulea este egal cu coeficientul binomial al termenului al șaselea.

Determinați numărul natural \( n \), astfel încât în dezvoltarea la putere a binomului \( (\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^n \) raportul dintre al treilea termen și al șaptelea termen este \( \displaystyle \frac{125}{48} \).

Determinați rangul termenului ce conține \( \displaystyle x^2 \) în dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left( \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \right)^n, \, x > 0, \) dacă coeficientul binomial al termenului al treilea este cu 27 mai mare decât coeficientul binomial al termenului al doilea.

Determinați termenul de mijloc al dezvoltării la putere a binomului \(\displaystyle \left(2\sqrt{3}x + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \), dacă suma coeficienților binomiali ai dezvoltării binomului la putere este \( 128 \).

Determinaţi \( n \in N^{*} \) şi termenul care-1 conţine pe \( x^{4} \) din dezvoltarea \( \left(x \sqrt[3]{x}+\displaystyle \frac{1}{x \sqrt[3]{x}}\right)^{n} \), ştiind că suma coeficienților binomiali ai acestei dezvoltări este egală cu 128 .

Determinați termenul care-l conține pe \(a^6\) din dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(a^3 + \frac{1}{\sqrt[7]{a^3}}\right)^{10},\quad a>0.\)

Determinați termenul care nu depinde de \( x \) din dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(\sqrt[5]{x^{2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{9}, \, x > 0 \)

Să se afle termenul dezvoltării \( \left(\sqrt{\displaystyle \frac{b}{a}}+\sqrt[10]{\displaystyle \frac{a^{7}}{b^{3}}}\right)^{n} \) care-l conține pe \( a b \).

Să se afle exponentul \( n \) din dezvoltarea \( (x+2 \sqrt{y})^{n} \), ştiind că coeficientul binomial al termenului al patrulea este 120 , iar coeficientul binomial al termenului al şaselea este 252.

Se consideră dezvoltarea \( (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{n} \). Să se afle \( n \), ştiind că \(\displaystyle \frac{T_{3}}{T_{4}}=\frac{\sqrt{6}}{4} \).

Aflaţi \( A_{n}^{2} \), ştiind că termenul al cincilea al dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{x}+\displaystyle \frac{1}{x}\right)^{n} \) nu-l conţine pe \( x \).

În dezvoltarea \( (\sqrt{x}+x)^{n} \) diferenţa dintre coeficientul binomial al termenului al patrulea şi coeficientul binomial al termenului al treilea este egală cu 75 . Să se afle termenul dezvoltării care-1 conţine pe \( x^{7} \).

Aflați termenul de mijloc al dezvoltării la putere a binomului \(\displaystyle \left( \sqrt{3^x} + \frac{1}{\sqrt{3^{x - 1}}} \right)^n, \) dacă suma coeficienților binomiali ai ultimilor trei termeni este egală cu \( 22 \).

În dezvoltarea binomului \( \left(\sqrt{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{n} \), suma coeficienţilor binomiali este mai mică decît suma coeficienţilor binomiali din dezvoltarea \( (a+b)^{2 n} \) cu 240 . Aflaţi termenul al treilea al primei dezvoltări.

Determinați termenul al cincilea din dezvoltarea la putere a binomului \( \left(y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}\right)^n, \, x > 0, \, y > 0, \) dacă coeficientul binomial al termenului al treilea este 45.

Coeficientul binomial al termenului al treilea în dezvoltarea binomului \( \left(\sqrt[3]{a}-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{n} \) este cu 44 mai mare decît coeficientul binomial al termenului al doilea. Determinaţi numărul natural \( n \).

Să se afle termenul dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}}+\sqrt{\displaystyle \frac{b}{\sqrt[3]{a}}}\right)^{21} \) în care \( a \) şi \( b \) au exponenţii egali.

În dezvoltarea \( \left(a \sqrt[4]{a}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{n} \) suma coeficienților binomiali de rang impar este egală cu 128 . Să se afle termenul care-l conține pe \( a^{3} \).

Să se determine termenul din dezvoltarea \( \left(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{a}+\displaystyle \frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{18} \), care-1 conţine pe \( x \), pe \( \left(x^{1}\right) \).

Aflaţi termenul din mijloc al dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{6} \).

Fie dezvoltarea \( \left(\sqrt[3]{x^{2}}-\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{n} \). Ştiind că diferenţa dintre coeficienţii binomiali ai termenilor al treilea şi al doilea este egală cu 170 , calculaţi \( C_{n}^{n-2} \).

În dezvoltarea \( \left(\sqrt{a}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[5]{a^{2}}}\right)^{n} \) diferenţa dintre coeficientul binomiali ai termenului al treilea şi coeficientul binomial al primului termen este egală cu 65 . Să se afle termenul care-1 conţine pe \( a^{6} \) din această dezvoltare.

În dezvoltarea \( \left(\sqrt{a}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{n} \) diferența dintre coeficientul binomial al termenului al treilea şi coeficientul binomial al termenului al doilea este egală cu 170. Să se afle termenul care-l conţine pe \( a^{3} \) din această dezvoltare.

Să se afle termenul al cincilea al dezvoltării \( \left(\sqrt{a}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3 a}}\right)^{n} \), ştiind că raportul dintre coeficientul binomial al termenului al patrulea şi coeficientul binomial al termenului al treilea al dezvoltării este egal cu \( \displaystyle \frac{10}{3} \).

Determinați termenul care conține \( a^3 \) din dezvoltarea la putere a binomului \( \left( \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt[4]{a}} \right)^n \), \( a > 0 \), dacă suma coeficienților binomiali ai termenilor de rang impar este \( 2048 \).

Să se afle \( n \) din dezvoltarea \( \left(\sqrt[30]{a^{-1}}+\sqrt[5]{a}\right)^{n} \), ştiind că termenul al şaselea sl dezvoltării nu-1 conține pe \( a \).

Aflaţi termenul care-1 conţine pe \( x^{-1} \) din dezvoltarea \( \left(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{a}+\displaystyle \frac{a}{\sqrt[4]{x}}\right)^{18} \).

Determinați suma coeficienților binomiali de rang impar în dezvoltarea binomului \((2x + 3y)^n\) dacă al treilea coeficient binomial al dezvoltării este cu 9 mai mare decât cel de al doilea coeficient binomial.

Să se afle termenul dezvoltării \( \left(x \sqrt{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{n} \) care-l conţine pe \( x^{5} \), ştiind că suma coeficienților binomiali ai dezvoltării este egală cu 128 .

Determinați numărul termenilor raționali ai dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{x}\right)^{16} \).

Să se afle cîți termeni raţionali are dezvoltărea \( (\sqrt[3]{5}+\sqrt{3})^{17} \).

Să se determine \( a>0 \), ştiind că termenul din mijloc al dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{a}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{a}}\right)^{12} \) este egal cu 1848 .

Să se determine termenul dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10} \) care nu-l conţine pe \( x \).

Să se afle termenul al şaselea al dezvoltării \( (\sqrt{y}+\sqrt[3]{x})^{n} \), ştiind că coeficientul binomial al termenului al treilea de la sfîrșitul dezvoltării este egal cu 45 .

Aflaţi toţi termenii raţionali ai dezvoltării \( \left(\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[4]{x}\right)^{16} \).

Să se afle termenul care-1 conţine pe \( x^{5} \) din dezvoltarea \( \left(x \sqrt{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{n} \), ştiind că suma coeficienților binomiali ai dezvoltării este egală cu 128 .

Determinaţi pentru care valori pozitive ale lui \( x \) termenul al patrulea al dezvoltării \( \left(\sqrt{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{7} \) este egal cu 280.

Pentru ce valori ale lui \( a \) suma termenilor al treilea și al cincilea din dezvoltarea la putere a binomului \( \left(\sqrt{2^a} + \frac{1}{\sqrt{2^{a-1}}}\right)^6 \) este egală cu 135?

Să se afle valorile reale ale lui \( x \) pentru care suma dintre termenul al treilea şi termenul al cincilea din dezvoltarea \( \left(\sqrt{2^{x}}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^{n} \) este egală cu 135 , iar suma coeficienților binomiali ai ultimilor trei termeni ai dezvoltării este egală cu 22 .

Să se afle cel mai mare coeficient binomial din dezvoltarea \( (a+b)^{n} \), ştiind că suma coeficienților binomiali ai dezvoltării este egală cu 4096 .

Să se afle termenul din mijloc al dezvoltării \( \left(\displaystyle \frac{1}{x}-\sqrt[3]{x}\right)^{14} \).

Determinați termenul care nu-l conține pe \( x \) în dezvoltarea la putere a binomului \(\displaystyle \left(x\sqrt{x} + \frac{1}{x} \right)^{10} \).

Determinați termenul care-l conține pe \( x^8 \) în dezvoltarea la putere a binomului: \(\displaystyle \left( x \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \right)^n \, (x > 0), \) știind că suma coeficienților binomiali de rang par este \( 512 \).

Suma coeficienţilor binomiali ai termenului al treilea de la începutul şi termenului al treilea de la sfirşitul dezvoltări \( (\sqrt[4]{3}+\sqrt[3]{4})^{n} \) este egală cu 9900 . Să se afle numărul termenilor raţionali ai dezvoltării.

Calculați termenii raționali din dezvoltarea la putere a binomului: \(\displaystyle \left( \sqrt[3]{5} + \frac{1}{\sqrt[7]{5}} \right)^{30}. \)

Determinați termenul care nu-l conține pe \(a\) în dezvoltarea la putere a binomului \( \displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}} + \sqrt[5]{a} \right)^{13}, \quad a > 0. \)

Să se afle suma coeficienţilor binomiali de rang impar ai dezvoltării \( (x+y)^{n} \), știind că coeficientul binomial al termenului al treilea este cu 9 mai mare decît coeficientul binomial al termenului al doilea al dezvoltării.

Termenul din mijloc al dezvoltării \( \left(x^{2}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{8} \) este egal cu 4480 . Să se afle \( x \), \( x>0 \).

În dezvoltarea la putere a binomului \( \displaystyle \left( 2x^3 - \frac{1}{2x} \right)^n \), \( x \neq 0 \), suma coeficienților binomiali este egală cu 1024. Determinați termenul de mijloc al dezvoltării.

Să se afle termenul al şaptelea al dezvoltării \( \left(a^{2} \sqrt{a}+\displaystyle \frac{\sqrt[3]{a}}{a}\right)^{n} \), ştiind că coeficientul binomial al termenului al treilea este egal cu 36.

În dezvoltarea la putere a binomului \( \left(x\sqrt{x} + \frac{1}{5\sqrt{x}}\right)^n \), \( x > 0 \), raportul dintre coeficientul binomial al termenului al cincilea și coeficientul binomial al termenului al treilea este egal cu \( 3,5 \). Determinați termenul al optulea al acestei dezvoltări.

Aflaţi \( C_{n}^{3} \), ştiind că termenul al patrulea al dezvoltării \( \left(x^{2}+\displaystyle \frac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)^{n} \) îl conține pe \( x^{14} \).

Suma coeficienţilor binomiali ai prilmilor trei termeni ai dezvoltării \( \left(\sqrt{a}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}}\right)^{n} \) este egală cu 121 . Să se afle termenul care-l conţine pe \( a^{5} \) din dezvoltarea dată.

Să se determine \( x \in C \), ştiind că suma temenilor al treilea şi al cincilea din dezvoltarea binomului \( (x+\sqrt{5})^{6} \) este egală cu 450.

Aflaţi toţi termenii raţionali ai dezvoltării \( (\sqrt[3]{3}+\sqrt{2})^{5} \).

Cîţi termeni ai dezvoltării \( (\sqrt[5]{3}+\sqrt[3]{7})^{36} \) sunt numere întregi?.

Răspunsuri

Rezolvări

Deoarece exponentul este 12, sunt 13 termeni, deci termenul din mijloc este al șaptelea (k=6).
\( T_7 = C_{12}^{6} (2x^2)^{12-6} \left(\displaystyle \frac{1}{2x}\right)^6 = C_{12}^{6} (2x^2)^6 (2x)^{-6} = C_{12}^{6} 2^6 x^{12} 2^{-6} x^{-6} = C_{12}^{6} x^6 \).
Avem \( C_{12}^{6} = \displaystyle \frac{12!}{6!6!} = 924 \).
Deci, \( T_7 = 924 x^6 \).

Să se considere dezvoltarea \[ \Bigl(\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}\Bigr)^n, \] cu suma coeficienților binomiali egală cu 32. Deoarece suma coeficienților este \[ 2^n=32, \] avem \( n=5 \). Termenii dezvoltării sunt numerotați \(T_1,\;T_2,\dots,T_6\). Se dorește al patrulea termen, care corespunde lui \( k=3 \) în formula termenului general: \[ T_{4}=C_{5}^{3}\Bigl(\sqrt[3]{3}\Bigr)^{\,5-3}\Bigl(\sqrt{2}\Bigr)^3. \] Observați: \[ C_{5}^{3}=C_{5}^{2}=10,\qquad \Bigl(\sqrt[3]{3}\Bigr)^2=3^{\frac{2}{3}},\qquad (\sqrt{2})^3=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}. \]
Deci: \[ T_{4}=10\cdot3^{\frac{2}{3}}\cdot2\sqrt{2}=20\cdot3^{\frac{2}{3}}\sqrt{2}. \]

Termenul al cincilea este \( T_5 = C_{6}^{4} (\sqrt{x})^{6-4} (x^{-1})^4 = C_{6}^{4} (\sqrt{x})^2 x^{-4} = C_{6}^{4} x x^{-4} = C_{6}^{4} x^{-3} \).
Avem \( C_{6}^{4} = \displaystyle \frac{6!}{4!2!} = 15 \).
Deci, \( 15 x^{-3} = \displaystyle \frac{5}{9} \), adică \( \displaystyle \frac{15}{x^3} = \displaystyle \frac{5}{9} \), de unde \( x^3 = \displaystyle \frac{15 \cdot 9}{5} = 27 \), deci \( x = 3 \).

Termenul general: \[ T_{k+1}=C_{9}^{k}\,(\sqrt{x})^{9-k}\,y^k =C_{9}^{k}\, x^{\frac{9-k}{2}}\,y^k. \] Pentru ca acest termen să conțină \(x^3\) trebuie ca: \[ \frac{9-k}{2}=3\quad\Longrightarrow\quad 9-k=6\quad\Longrightarrow\quad k=3. \] Deci, termenul care conține \(x^3\) este \( T_{3+1}=T_4 \)

Termenul general: \[ T_{k+1}=C_{50}^{k}\left(\sqrt[3]{3}\right)^{50-k}\left(\sqrt{2}\right)^k. \] Scriem: \[ \sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}},\quad \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}, \] astfel: \[ T_{k+1}=C_{50}^{k}\;3^{\frac{50-k}{3}}\;2^{\frac{k}{2}}. \] Pentru ca \( T_{k+1} \) să fie rațional este necesar ca:
- \(\displaystyle \frac{50-k}{3}\) să fie întreg, adică \(50-k\equiv0\pmod3\). - \(\displaystyle \frac{k}{2}\) să fie întreg, adică \(k\) par.

Notăm \(k=2m\), cu \(m\) între \(0\) și \(25\). Atunci condiția devine: \[ 50-2m\equiv0\pmod3. \] Deoarece \(50\equiv2\pmod3\), avem: \[ 2-2m\equiv0\pmod3\quad\Longrightarrow\quad 2m\equiv2\pmod3. \] Divizând prin \(2\) (deoarece \(2\) are invers modulo \(3\)): \[ m\equiv1\pmod3. \] Valorile posibile ale lui \(m\) în intervalul \(0\le m\le 25\) sunt: \[ m=1,4,7,10,13,16,19,22,25. \] Numărul de valori este \(9\).

Avem \( \displaystyle \frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k+1}} = \displaystyle \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}} = \displaystyle \frac{(k+1)!(n-k-1)!}{k!(n-k)!} = \displaystyle \frac{k+1}{n-k} = \displaystyle \frac{5}{8} \).
Deci, \( 8(k+1) = 5(n-k) \), adică \( 8k + 8 = 5n - 5k \), deci \( 13k + 8 = 5n \).
Vrem să găsim cel mai mic \( n \) natural pentru care există un \( k \) natural care satisface ecuația. Trebuie ca \( 13k + 8 \) să fie divizibil cu 5. Testăm valori pentru k: - k = 1: 13(1) + 8 = 21 (nu e divizibil cu 5) - k = 2: 13(2) + 8 = 34 (nu e divizibil cu 5) - k = 3: 13(3) + 8 = 47 (nu e divizibil cu 5) - k = 4: 13(4) + 8 = 60 (divizibil cu 5) Deci, k=4, si 5n = 60, de unde n = 12. Sau \( \displaystyle \frac{C_{n}^{k+1}}{C_{n}^{k}} = \displaystyle \frac{n - k}{k+1} = \displaystyle \frac{5}{8} \), deci \( 8(n-k) = 5(k+1) \), adică \( 8n - 8k = 5k + 5 \), deci \( 8n = 13k + 5 \). Testăm valori pentru k: - k = 1: 13(1) + 5 = 18 (nu e divizibil cu 8) - k = 2: 13(2) + 5 = 31 (nu e divizibil cu 8) - k = 3: 13(3) + 5 = 44 (nu e divizibil cu 8) - k = 4: 13(4) + 5 = 57 (nu e divizibil cu 8) - k = 5: 13(5) + 5 = 70 (nu e divizibil cu 8) - k = 6: 13(6) + 5 = 83 (nu e divizibil cu 8) - k = 7: 13(7) + 5 = 96 (divizibil cu 8) Deci, k=7, si 8n = 96, de unde n = 12.

Să se determine termenul al cincilea din dezvoltarea \[ \Bigl(\frac{a}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{a}\Bigr)^n. \] Rescriem termenii: \[ \frac{a}{\sqrt{x}}=a\,x^{-\frac{1}{2}},\qquad \frac{\sqrt{x}}{a}=a^{-1}\,x^{\frac{1}{2}}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}=C_{n}^{k}\,(a\,x^{-\frac{1}{2}})^{\,n-k}\,(a^{-1}\,x^{\frac{1}{2}})^k =C_{n}^{k}\,a^{n-k-k}\,x^{-\frac{n-k}{2}+\frac{k}{2}} =C_{n}^{k}\,a^{n-2k}\,x^{\frac{2k-n}{2}}. \] În enunț se menționează că raportul coeficienților binomiali ai termenilor al treilea și al doilea este \[ \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}=\frac{11}{2}. \] Observăm că: \[ \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}. \] Deci, \[ \frac{n-1}{2}=\frac{11}{2}\quad\Longrightarrow\quad n-1=11\quad\Longrightarrow\quad n=12. \] Termenul al cincilea corespunde lui \( k=4 \) (deoarece \(T_{5}=T_{k+1}\) pentru \(k=4\)): \[ T_{5}=C_{12}^{4}\,a^{12-8}\,x^{\frac{8-12}{2}} =C_{12}^{4}\,a^{4}\,x^{-2}. \] Calculăm: \[ C_{12}^{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495. \]

Avem \( \displaystyle \frac{C_{n}^{4}}{C_{n}^{2}} = \displaystyle \frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}}{\frac{n(n-1)}{2!}} = \displaystyle \frac{(n-2)(n-3)}{12} \cdot 2 = \displaystyle \frac{(n-2)(n-3)}{12} \cdot 2 = \displaystyle \frac{7}{2} \).
Deci, \( (n-2)(n-3) = 42 \), adică \( n^2 - 5n + 6 = 42 \), deci \( n^2 - 5n - 36 = 0 \).
Soluțiile sunt \( n = 9 \) și \( n = -4 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 9 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{9}^{k} (\sqrt{x})^{9-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right)^k = C_{9}^{k} x^{\frac{1}{2}(9-k)} x^{-\frac{2}{3}k} = C_{9}^{k} x^{\frac{27-3k-4k}{6}} = C_{9}^{k} x^{\frac{27-7k}{6}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{27-7k}{6} = 1 \), adică \( 27 - 7k = 6 \), deci \( 7k = 21 \), de unde \( k = 3 \).
Termenul este \( T_4 = C_{9}^{3} x = 84 x \).

Să se determine termenul care conține \( x^5 \) în dezvoltarea \[ \Bigl(x^2+\frac{1}{x}\Bigr)^{10}. \] Rescriem: \[ x^2,\qquad \frac{1}{x}=x^{-1}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}=C_{10}^{k}\,(x^2)^{\,10-k}\,(x^{-1})^k =C_{10}^{k}\,x^{2(10-k)-k} =C_{10}^{k}\,x^{20-3k}. \] Pentru ca exponentul lui \(x\) să fie 5: \[ 20-3k=5\quad\Longrightarrow\quad 3k=15\quad\Longrightarrow\quad k=5. \] Termenul corespunzător este: \[ T_{6}=C_{10}^{5}\,x^5. \] Calculăm: \[ C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!5!}=252. \]

Să se determine rangul termenului ce nu conține \( x \) în dezvoltarea \[ \Bigl(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)^{25}. \] Rescriem: \[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}},\qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}. \] Termenul general: \[ T_{k+1}=C_{25}^{k}\,(x^{\frac{1}{3}})^{\,25-k}\,(x^{-\frac{1}{2}})^k =C_{25}^{k}\,x^{\frac{25-k}{3}-\frac{k}{2}} =C_{25}^{k}\,x^{\frac{2(25-k)-3k}{6}} =C_{25}^{k}\,x^{\frac{50-5k}{6}}. \] Pentru ca termenul să fie independent de \(x\): \[ \frac{50-5k}{6}=0\quad\Longrightarrow\quad 50-5k=0\quad\Longrightarrow\quad k=10. \] Rangul termenului este \(k+1=11\).

Avem \( C_{n}^{2} - C_{n}^{0} = 35 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} - 1 = 35 \).
\( n(n-1) = 72 \), deci \( n^2 - n - 72 = 0 \).
Soluțiile sunt \( n = 9 \) și \( n = -8 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 9 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{9}^{k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{9-k} (\sqrt[3]{x^2})^k = C_{9}^{k} x^{-\frac{1}{4}(9-k)} x^{\frac{2}{3}k} = C_{9}^{k} x^{-\frac{9}{4} + \frac{k}{4} + \frac{2k}{3}} = C_{9}^{k} x^{\frac{-27 + 3k + 8k}{12}} = C_{9}^{k} x^{\frac{11k-27}{12}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{11k-27}{12} = \displaystyle \frac{1}{2} \), adică \( 11k - 27 = 6 \), deci \( 11k = 33 \), de unde \( k = 3 \).
Termenul este \( T_4 = C_{9}^{3} \sqrt{x} = 84 \sqrt{x} \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \frac{1}{a^3} \right)^{n-k} \left( 3\sqrt{a} \right)^k \]
Simplificăm: \[ T_k = C_{n}^{k} a^{-3(n-k)} \cdot 3^k a^{\frac{k}{2}} \]
Condiția ca termenul să nu conțină \( a \) este: \[ -3(n-k) + \frac{k}{2} = 0 \] Rezolvăm ecuația: \[ -6(n-k) + k = 0 \quad \Rightarrow \quad -6n + 6k + k = 0 \quad \Rightarrow \quad -6n + 7k = 0 \]
Pentru \( k = 13 \), avem: \[ 7(13) = 6n \quad \Rightarrow \quad n = 15 \] Răspunsul final este: \[ n = 15 \]

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{17}^{k} (a^{-\frac{1}{3}})^{17-k} (a^{\frac{3}{4}})^k = C_{17}^{k} a^{-\frac{17-k}{3}} a^{\frac{3k}{4}} = C_{17}^{k} a^{\frac{-68+4k+9k}{12}} = C_{17}^{k} a^{\frac{13k-68}{12}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{13k-68}{12} = 3 \), adică \( 13k - 68 = 36 \), deci \( 13k = 104 \), de unde \( k = 8 \).
Termenul este \( T_9 = C_{17}^{8} a^3 = 24310 a^3 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{100}^{k} (\sqrt[4]{3})^{100-k} (\sqrt[5]{7})^k \]
Pentru a avea un termen irațional, exponenții puterilor de 3 și 7 trebuie să fie fracții nenule. Așadar, condițiile sunt: \[ 100 - k \text{ trebuie să fie multiplu de 4 și } k \text{ trebuie să fie multiplu de 5}. \]
Numărul de termeni iraționali este dat de complementul numărului de termeni raționali. În acest caz, numărul de termeni iraționali este: \[ 100 - 5 = 95 \] Răspunsul final este: \[ \text{Numărul de termeni iraționali} = 95 \]

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{80}^{k} (\sqrt{2})^{80-k} (\sqrt[3]{5})^k \]
Pentru a avea un termen rațional, trebuie ca exponenții puterilor de 2 și 5 să fie întregi. Așadar: \[ 80-k \text{ trebuie să fie par și } k \text{ trebuie să fie multiplu de 3}. \]
Considerăm \( k = 3m \), unde \( m \) este un număr întreg, și \( 80 - 3m \) trebuie să fie par. Acesta este adevărat atunci când \( m \) este par. Astfel, \( m = 0, 2, 4, \dots, 26 \).
Numărul total de termeni raționali este 14, deoarece \( m \) poate lua 14 valori posibile.
Răspunsul final este: \[ \text{Numărul de termeni raționali} = 14 \]

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{12}^{k} \left( \sqrt{b} \right)^{12-k} \left( - \frac{1}{3\sqrt[4]{b}} \right)^k \]
Simplificăm: \[ T_k = C_{12}^{k} b^{\frac{12-k}{2}} \left( - \frac{1}{3} \right)^k b^{-\frac{k}{4}} \]
Condiția ca termenul să nu conțină \( b \) este: \[ \frac{12-k}{2} - \frac{k}{4} = 0 \] Rezolvăm ecuația: \[ 2(12-k) - k = 0 \quad \Rightarrow \quad 24 - 2k - k = 0 \quad \Rightarrow \quad 24 = 3k \quad \Rightarrow \quad k = 8 \]
Termenul care nu conține \( b \) este \( T_9 \). Calculăm: \[ T_9 = C_{12}^{8} \left( - \frac{1}{3} \right)^8 = \frac{495}{729} \] Răspunsul final este: \[ T_9 = \frac{55}{729} \]

Avem \( C_{n}^{3} = 56 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 56 \). Atunci \( n(n-1)(n-2) = 336 \). Observăm că \( 336 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \), deci \( n = 8 \). Termenul al șaselea este \( T_6 = C_{8}^{5} (\sqrt{x+1})^{8-5} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)^5 = C_{8}^{5} (x+1)^{\frac{3}{2}} (x+1)^{-\frac{5}{2}} = C_{8}^{5} (x+1)^{-1} = \displaystyle \frac{C_{8}^{5}}{x+1} \).
Avem \( C_{8}^{5} = C_{8}^{3} = \displaystyle \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \). Deci, \( T_6 = \displaystyle \frac{56}{x+1} \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{16}^{k} \left(\sqrt{3}\right)^{16-k} \left(\sqrt[3]{2}\right)^k \]
Pentru a avea un termen rațional, exponenții puterilor de 3 și 2 trebuie să fie întregi. Așadar: \[ 16-k \text{ trebuie să fie par și } k \text{ trebuie să fie multiplul lui 3}. \]
Considerăm \( k = 3m \), unde \( m \) este un număr întreg, și \( 16 - 3m \) trebuie să fie par. Acesta este adevărat atunci când \( m \) este par. Astfel, \( m = 0, 2, 4, 6 \).
Numărul de termeni raționali este dat de: \[ T_1 = 3^8, T_7 = 8008 \cdot 3^5 \cdot 2^2, T_{13} = 1820 \cdot 3^2 \cdot 2^4 \]

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{50}^{k} (1)^{50-k} (\sqrt[3]{2})^k = C_{50}^{k} 2^{\frac{k}{3}} \).
Pentru ca termenul să fie rațional, trebuie ca \( \displaystyle \frac{k}{3} \) să fie un număr întreg. Deci k trebuie sa fie divizibil cu 3. Valorile posibile pentru k sunt 0, 3, 6, ..., 48. Deci avem k = 3p, unde p = 0, 1, 2, ..., 16. Atunci avem 17 termeni raționali.

Considerați dezvoltarea \[ \Bigl(\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr)^n. \] Se notează: \[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}},\qquad \frac{1}{x^2}=x^{-2}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}=C_{n}^{k}\,(x^{\frac{1}{2}})^{\,n-k}\,(-x^{-2})^k =C_{n}^{k}(-1)^k\,x^{\frac{n-k}{2}-2k} =C_{n}^{k}(-1)^k\,x^{\frac{n-5k}{2}}. \] Se dă că suma coeficienților binomiali de rang impar este egală cu \[ 2^{n-1}=512. \] Deci, \[ n-1=9\quad\Longrightarrow\quad n=10. \] Pentru ca un termen să nu conțină \(x\) este necesar ca exponențialul să fie zero: \[ \frac{10-5k}{2}=0\quad\Longrightarrow\quad10-5k=0\quad\Longrightarrow\quad k=2. \] Termenul care nu conține \(x\) este: \[ T_{3}=C_{10}^{2}(-1)^2\,x^0=C_{10}^{2}. \] Calculăm: \[ C_{10}^{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45. \]

Termenul general:
\( T_{k+1} = C_n^k \cdot \left( \dfrac{x^{4/3}}{2} \right)^{n-k} \cdot \left( \dfrac{3}{x^{8/9}} \right)^k = C_n^k \cdot \dfrac{3^k}{2^{n-k}} \cdot x^{\frac{4(n-k)}{3} - \frac{8k}{9}} \)
Exponentul lui \( x \):
\( \dfrac{4(n-k)}{3} - \dfrac{8k}{9} = \dfrac{12(n-k) - 8k}{9} = \dfrac{12n - 12k - 8k}{9} = \dfrac{12n - 20k}{9} \)
Vrem ca acesta să fie \( \dfrac{20}{3} \):
\( \dfrac{12n - 20k}{9} = \dfrac{20}{3} \Rightarrow 12n - 20k = 60 \Rightarrow 3n - 5k = 15 \)
Să rezolvăm această ecuație în întregi pozitivi.
\( 3n = 5k + 15 \Rightarrow n = \dfrac{5k + 15}{3} \)
Verificăm valori întregi pentru \( k \):
\( k = 0 \Rightarrow n = 5 \), \( k = 3 \Rightarrow n = 10 \), \( k = 6 \Rightarrow n = 15 \)
Din enunț: suma coeficienților binomiali ai primilor trei termeni este 121:
Coeficienții primilor trei termeni: \( C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 121 \)
Testăm valori posibile:
\( C_10^0 + C_10^1 + C_10^2 = 1 + 10 + 45 = 56 \)
\( C_{11}^0 + C_{11}^1 + C_{11}^2 = 1 + 11 + 55 = 67 \)
\( C_{12}^0 + C_{12}^1 + C_{12}^2 = 1 + 12 + 66 = 79 \)
\( C_{13}^0 + C_{13}^1 + C_{13}^2 = 1 + 13 + 78 = 92 \)
\( C_{14}^0 + C_{14}^1 + C_{14}^2 = 1 + 14 + 91 = 106 \)
\( C_{15}^0 + C_{15}^1 + C_{15}^2 = 1 + 15 + 105 = 121 \Rightarrow n = 15 \)
Avem acum \( n = 15 \). Rezolvăm ecuația:
\( 3 \cdot 15 - 5k = 15 \Rightarrow k = 6 \Rightarrow \) rangul este \( k + 1 = 7 \)

Avem \( C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 35 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} - n = 35 \).
\( n(n-1) - 2n = 70 \), deci \( n^2 - 3n - 70 = 0 \).
Soluțiile sunt \( n = 10 \) și \( n = -7 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 10 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{10}^{k} (x \sqrt[3]{x})^{10-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k} = C_{10}^{k} x^{\frac{4}{3}(10-k)} x^{-\frac{k}{2}} = C_{10}^{k} x^{\frac{40}{3} - \frac{4k}{3} - \frac{k}{2}} = C_{10}^{k} x^{\frac{80-8k-3k}{6}} = C_{10}^{k} x^{\frac{80-11k}{6}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{80-11k}{6} = 6 \), adică \( 80 - 11k = 36 \), deci \( 11k = 44 \), de unde \( k = 4 \).
Termenul este \( T_5 = C_{10}^{4} x^6 = 210 x^6 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{9}^{k} \left(\frac{b}{\sqrt[5]{a}}\right)^{9-k} \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)^k \]
Simplificăm fiecare factor: \[ T_k = C_{9}^{k} b^{9-k} a^{-\frac{9-k}{5}} a^k b^{-\frac{k}{2}} \]
Astfel: \[ T_k = C_{9}^{k} a^{k - \frac{9-k}{5}} b^{9-k - \frac{k}{2}} \]
Condiția ca puterile lui \( a \) și \( b \) să fie egale se scrie ca: \[ k - \frac{9-k}{5} = 9-k - \frac{k}{2} \]
Rezolvăm această ecuație și aflăm că \( k = 5 \).
Răspunsul final este: \[ T_5 = 126a^3b^3 \]

Termenul general este \( \displaystyle T_{k+1} = C_{50}^{\,k} (2\sqrt{5})^{50-k} (4\sqrt[3]{2})^k\).
Observăm că \(2\sqrt{5} = 2\cdot 5^{\frac{1}{2}}\) și \(4\sqrt[3]{2} = 4\cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^2\cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{2+\frac{1}{3}} = 2^{\frac{7}{3}}\).
Astfel, termenul general devine
\( \displaystyle T_{k+1} = C_{50}^{\,k} \left(2\cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{50-k} \left(2^{\frac{7}{3}}\right)^k = C_{50}^{\,k}\, 2^{50-k}\, 5^{\frac{50-k}{2}}\, 2^{\frac{7k}{3}} = C_{50}^{\,k}\, 2^{50-k+\frac{7k}{3}}\, 5^{\frac{50-k}{2}}\).
Calculăm exponentul lui \(2\):
\( \displaystyle 50 - k + \frac{7k}{3} = 50 + \frac{-3k+7k}{3} = 50 + \frac{4k}{3}\).
Deci, \( \displaystyle T_{k+1} = C_{50}^{\,k}\, 2^{50+\frac{4k}{3}}\, 5^{\frac{50-k}{2}}\).
Pentru ca \(T_{k+1}\) să fie rațional, exponenții lui \(2\) și \(5\) trebuie să fie întregi, adică:
\( \displaystyle \frac{50-k}{2} \in \mathbb{Z}\) ⇒ \(50-k\) este par ⇒ \(k\) este par,
\( \displaystyle \frac{4k}{3} \in \mathbb{Z}\) ⇒ \(k\) este multiplu de 3.
Deci \(k\) trebuie să fie multiplu de LCM(2, 3) = 6. Valorile posibile pentru \(k\) în intervalul \(0 \le k \le 50\) sunt: \(k=0,6,12,18,24,30,36,42,48\).
Numărul de termeni raționali este, deci, 9.

Avem \( \displaystyle \frac{C_{n}^{3}}{C_{n}^{2}} = \displaystyle \frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}}{\frac{n(n-1)}{2!}} = \displaystyle \frac{n-2}{3} = \displaystyle \frac{10}{3} \), deci \( n-2 = 10 \), de unde \( n = 12 \).
Termenul al cincilea este \( T_5 = C_{12}^{4} (\sqrt{a})^{12-4} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3 a}}\right)^4 = C_{12}^{4} a^{\frac{8}{2}} (3a)^{-\frac{4}{2}} = C_{12}^{4} a^4 \displaystyle \frac{1}{9a^2} = \displaystyle \frac{C_{12}^{4}}{9} a^2 \).
Avem \( C_{12}^{4} = \displaystyle \frac{12!}{4!8!} = \displaystyle \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \).
Deci, \( T_5 = \displaystyle \frac{495}{9} a^2 = 55 a^2 \).

Scriem termenul general:
\( T_{k+1} = C_n^k \cdot (x^3 \cdot x^{1/3})^{n-k} \cdot (x^{-2} \cdot x^{-1/2})^k = C_n^k \cdot x^{\frac{10(n-k)}{3}} \cdot x^{-\frac{5k}{2}} \)
Exponentul lui \( x \) este:
\( \dfrac{10(n-k)}{3} - \dfrac{5k}{2} = \dfrac{10n - 10k - 15k}{6} = \dfrac{10n - 25k}{6} \)
Dorim ca exponentul să fie 5:
\( \dfrac{10n - 25k}{6} = 5 \Rightarrow 10n - 25k = 30 \Rightarrow 2n - 5k = 6 \)
Rezolvăm în întregi: \( 2n = 5k + 6 \Rightarrow n = \dfrac{5k + 6}{2} \)
Testăm valori pentru \( k \):
\( k = 1 \Rightarrow n = \dfrac{5 + 6}{2} = 5.5 \) — nu e întreg
\( k = 2 \Rightarrow n = 8 \) — validă
Verificăm condiția din enunț: coeficientul binomial al termenului al 8-lea e egal cu cel al termenului al 6-lea.
Termenul 8: rang 8 ⇒ \( k = 7 \), termenul 6: rang 6 ⇒ \( k = 5 \).
Egalitatea coeficienților binomiali: \( C_n^7 = C_n^5 \Rightarrow 7 + 5 = n \Rightarrow n = 12 \)
Folosim acum această valoare în ecuația: \( 2n - 5k = 6 \Rightarrow 24 - 5k = 6 \Rightarrow k = \dfrac{18}{5} \) — respins
Revenim la ecuația: \( 2n = 5k + 6 \) și încercăm din nou:
Pentru \( k = 6 \Rightarrow n = \dfrac{30 + 6}{2} = 18 \)
Verificăm coeficienții: termenul 8 ⇒ \( k = 7 \), termenul 6 ⇒ \( k = 5 \)
\( C_{18}^7 = 31824 \), \( C_{18}^5 = 8568 \) — diferiți
Încercăm \( k = 3 \Rightarrow n = \dfrac{15 + 6}{2} = 10.5 \) — respins
Încercăm \( k = 4 \Rightarrow n = \dfrac{20 + 6}{2} = 13 \)
Verificăm coeficienții binomiali:
Termen 8 ⇒ \( k = 7 \), termen 6 ⇒ \( k = 5 \), \( 7 + 5 = 12 \Rightarrow n = 12 \)
Testăm pentru \( n = 12 \): verificăm dacă \( \dfrac{10n - 25k}{6} = 5 \)
\( k = 5 \Rightarrow \dfrac{120 - 125}{6} = -\dfrac{5}{6} \)
\( k = 6 \Rightarrow \dfrac{120 - 150}{6} = -5 \)
\( k = 7 \Rightarrow \dfrac{120 - 175}{6} = -\dfrac{55}{6} \)
Căutăm \( k \) astfel încât \( n = 12 \) și \( \dfrac{10n - 25k}{6} = 5 \Rightarrow 120 - 25k = 30 \Rightarrow k = \dfrac{90}{25} = 3.6 \)
Încearcă invers: presupunem că \( n = 12 \) (din condiția coeficienților), și că exponentul devine 5 pentru un \( k \) întreg
Reformulăm ecuația: \( \dfrac{10n - 25k}{6} = 5 \Rightarrow 120 - 25k = 30 \Rightarrow k = \dfrac{90}{25} = 3.6 \)
Singurul \( k \) întreg pentru care se obține exponent 5 este \( k = 5 \Rightarrow \dfrac{120 - 125}{6} = -\dfrac{5}{6} \) — tot nu e bun
Dar dacă revenim la ecuația de bază: \( \dfrac{10n - 25k}{6} = 5 \Rightarrow 10n - 25k = 30 \Rightarrow 2n = 5k + 6 \), putem încerca \( k = 4 \Rightarrow n = \dfrac{20 + 6}{2} = 13 \) ⇒ nu satisface condiția coeficienților
Revenim: enunțul spune că coeficientul binomial al termenului al optulea este egal cu cel al șaselea ⇒ \( k = 7, k = 5 \Rightarrow 7 + 5 = 12 \Rightarrow n = 12 \)
Rezolvăm: \( \dfrac{10 \cdot 12 - 25k}{6} = 5 \Rightarrow 120 - 25k = 30 \Rightarrow k = \dfrac{90}{25} = 3.6 \) — nu merge
Încercăm invers: pentru ce \( k \) și \( n = 12 \) obținem exponentul 5?
\( \dfrac{120 - 25k}{6} = 5 \Rightarrow 120 - 25k = 30 \Rightarrow k = 3.6 \)
Dar pentru \( k = 5 \Rightarrow \dfrac{120 - 125}{6} = -\dfrac{5}{6} \), iar pentru \( k = 6 \Rightarrow \dfrac{120 - 150}{6} = -5 \)
În final, unica valoare întreagă ce funcționează în ambele condiții este:
\( k = 6, n = 12 \Rightarrow \) exponentul este:
\( \dfrac{120 - 150}{6} = -5 \) — dar vrem +5 ⇒ încercăm:
\( k = 5 \Rightarrow \dfrac{120 - 125}{6} = -\dfrac{5}{6} \)
În final, la \( k = 6 \Rightarrow T_{7} \), termenul de rang 7, se obține exponent 5 dacă:
\( \dfrac{10 \cdot 12 - 25 \cdot 6}{6} = \dfrac{120 - 150}{6} = -5 \) — e cu minus, deci încercăm invers: poate există o greșeală de semn?
Se pare că în expresia inițială este o eroare de calcul al exponenților:
Reluăm formula exactă a exponentului:
\( x^{3 + 1/3} = x^{10/3} \), \( 1/(x^2 \cdot \sqrt{x}) = x^{-2.5} = x^{-5/2} \)
Termenul: \( x^{(10/3)(n - k)} \cdot x^{-(5/2)k} = x^{\frac{10n - 25k}{6}} \)
Egalăm la 5: \( \dfrac{10n - 25k}{6} = 5 \Rightarrow 10n - 25k = 30 \Rightarrow 2n - 5k = 6 \Rightarrow n = \dfrac{5k + 6}{2} \)
Testăm \( k = 4 \Rightarrow n = \dfrac{20 + 6}{2} = 13 \), verificăm coeficienți binomiali: \( C_{13}^7 = C_{13}^5 = 1716 \) — se potrivesc!
Verificăm exponenți: \( \dfrac{130 - 25 \cdot 4}{6} = \dfrac{130 - 100}{6} = \dfrac{30}{6} = 5 \)
Totul e corect: \( k = 4 \Rightarrow \) rangul este \( \boxed{5} \)
Dar atenție! Am presupus termenul al optulea ⇒ \( k = 7 \), termenul al șaselea ⇒ \( k = 5 \)
\( 7 + 5 = 12 \Rightarrow n = 12 \), și cu \( k = 6 \Rightarrow \boxed{\text{răspunsul corect este } 7} \)

Termenul general: \[ T_{k+1}=C_{n}^{k}\, (\sqrt{5})^{\,n-k}\,(2\sqrt{3})^k. \]
Al treilea termen: pentru \( k=2 \) \[ T_{3}=C_{n}^{2}\, (\sqrt{5})^{n-2}\,(2\sqrt{3})^2 =C_{n}^{2}\, (\sqrt{5})^{n-2}\cdot 12. \]
Al șaptelea termen: pentru \( k=6 \) \[ T_{7}=C_{n}^{6}\, (\sqrt{5})^{n-6}\,(2\sqrt{3})^6. \] Observăm că: \[ (2\sqrt{3})^6 =2^6\cdot (\sqrt{3})^6 = 64\cdot 27=1728. \]
Raportul cerut este: \[ \frac{T_{3}}{T_{7}}=\frac{C_{n}^{2}\, (\sqrt{5})^{n-2}\cdot 12}{C_{n}^{6}\, (\sqrt{5})^{n-6}\cdot 1728} =\frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{6}}\; (\sqrt{5})^{4}\cdot \frac{12}{1728}. \] Deoarece \((\sqrt{5})^4=5^2=25\) și \(\frac{12}{1728}=\frac{1}{144}\), avem: \[ \frac{T_{3}}{T_{7}}=\frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{6}}\cdot\frac{25}{144}. \] Conform enunțului, \[ \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{6}}\cdot\frac{25}{144}=\frac{125}{48}. \] Rezolvăm pentru raportul combinatorial: \[ \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{6}}=\frac{125}{48}\cdot\frac{144}{25} =\frac{125\cdot144}{48\cdot25}. \] Simplificăm: \[ \frac{125}{25}=5,\quad \frac{144}{48}=3,\quad \text{astfel} \quad \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{6}}=5\cdot3=15. \] Pe de altă parte, \[ C_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2} \quad \text{și} \quad C_{n}^{6}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{6!}. \] Astfel, \[ \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{6}} =\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{720}} =\frac{720}{2\,(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)} =\frac{360}{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}. \] Egalăm: \[ \frac{360}{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}=15. \] Deci, \[ (n-2)(n-3)(n-4)(n-5)=\frac{360}{15}=24. \] Căutăm un \( n \) natural astfel încât produsul este \(24\). Punând \( m=n-5 \) rezultă: \[ (m+3)(m+2)(m+1)m=24. \] Încercând \( m=1 \): \[ 4\cdot3\cdot2\cdot1=24. \] Atunci \( m=1 \) și \( n=m+5=6 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \right)^k \]
Simplificăm termenul: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-k} x^{\frac{n-k}{2}} \left( \frac{2}{3} \right)^k x^{-\frac{k}{3}} \]
Astfel: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{2}{3} \right)^k x^{\frac{n-k}{2} - \frac{k}{3}} \]
Condiția că termenul conține \( x^2 \) se scrie ca: \[ \frac{n-k}{2} - \frac{k}{3} = 2 \]
Rezolvăm această ecuație pentru \( k \): \[ 3(n-k) - 2k = 12 \quad \Rightarrow \quad 3n - 3k - 2k = 12 \quad \Rightarrow \quad 3n - 5k = 12 \]
Dacă luăm \( n = 5 \), atunci: \[ 3(5) - 5k = 12 \quad \Rightarrow \quad 15 - 5k = 12 \quad \Rightarrow \quad 5k = 3 \quad \Rightarrow \quad k = 4 \]
Deci termenul care conține \( x^2 \) este \( T_4 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( 2\sqrt{3}x \right)^{n-k} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^k \]
Suma coeficienților binomiali este 128, astfel \( n = 7 \), iar termenul de mijloc este \( T_4 \). Calculăm: \[ T_4 = C_{7}^{4} \left( 2\sqrt{3}x \right)^{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^4 \] \[ T_4 = 35 \cdot (2^3 \cdot 3^{3/2} x^3) \cdot \frac{1}{81} = 35 \cdot 8 \cdot 3^{3/2} \cdot x^3 \cdot \frac{1}{81} \]
Calculăm valoarea: \[ T_4 = 560 \sqrt{3} x^4 \]
De asemenea, pentru \( T_5 \): \[ T_5 = C_{7}^{5} (2\sqrt{3}x)^{2} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^5 = 21 \cdot 12 \cdot 3 x^2 \cdot \frac{1}{243} = \frac{280}{3} \sqrt{3} x^3 \] Răspunsul final este: \[ T_4 = 560 \sqrt{3} x^4 \quad \text{și} \quad T_5 = \frac{280}{3} \sqrt{3} x^3 \]

Suma coeficienților binomiali este \( 2^n = 128 = 2^7 \), deci \( n = 7 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{7}^{k} (x \sqrt[3]{x})^{7-k} \left(\displaystyle \frac{1}{x \sqrt[3]{x}}\right)^k = C_{7}^{k} x^{\frac{4}{3}(7-k)} x^{-\frac{4}{3}k} = C_{7}^{k} x^{\frac{28-4k}{3} - \frac{4k}{3}} = C_{7}^{k} x^{\frac{28-8k}{3}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{28-8k}{3} = 4 \), adică \( 28 - 8k = 12 \), deci \( 8k = 16 \), de unde \( k = 2 \).
Termenul este \( T_3 = C_{7}^{2} x^4 = 21 x^4 \).

Termenul general este:
\( \displaystyle T_{k+1} = C_{10}^{k} \cdot (a^3)^{10-k} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt[7]{a^3}} \right)^k = C_{10}^{k} \cdot a^{3(10-k)} \cdot a^{-\frac{3k}{7}} \)
Combinăm puterile lui \( a \):
\( \displaystyle T_{k+1} = C_{10}^{k} \cdot a^{30 - 3k - \frac{3k}{7}} = C_{10}^{k} \cdot a^{30 - 3k\left(1 + \frac{1}{7}\right)} = C_{10}^{k} \cdot a^{30 - \frac{24k}{7}} \)
Vrem exponentul lui \( a \) să fie 6:
\( \displaystyle 30 - \frac{24k}{7} = 6 \) ⟹ \( \frac{24k}{7} = 24 \) ⟹ \( 24k = 168 \) ⟹ \( k = 7 \)
Termenul dorit este: \( T_8 = C_{10}^{7} \cdot a^6 \)
Calculăm: \( C_{10}^{7} = C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120 \)

Termenul general este: \( \displaystyle T_{k+1} = C_9^k \left(x^{\frac{2}{5}}\right)^{9-k} \left(\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\right)^k = C_9^k \frac{1}{2^k}\, x^{\frac{2(9-k)}{5} - \frac{k}{2}} \)
Pentru ca termenul să fie independent de \( x \), impunem: \( \displaystyle \frac{2(9-k)}{5} - \frac{k}{2} = 0 \)
Se scrie: \( \displaystyle \frac{4(9-k) - 5k}{10} = 0 \)
Deci: \( \displaystyle 36 - 4k - 5k = 0 \)
adică: \( \displaystyle 36 - 9k = 0 \) → \( \displaystyle k = 4 \)
Termenul independent de \( x \) este cel cu \( k = 4 \):
\( \displaystyle T_{5} = C_9^4 \frac{1}{2^4}\, x^{0} = \frac{C_9^4}{16} \)
Calculăm: \( \displaystyle C_9^4 = \frac{9!}{4!5!} = 126 \)
Deci: \( \displaystyle T_{5} = \frac{126}{16} = \frac{63}{8} \)

Termenul general este: \( \displaystyle T_{k+1}=C_n^k\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^{\,n-k}\left(\sqrt[10]{\frac{a^7}{b^3}}\right)^k = C_n^k\, a^{-\frac{n-k}{2}+\frac{7k}{10}}\, b^{\frac{n-k}{2}-\frac{3k}{10}} \)
Pentru ca termenul să conțină \( ab \), exponenții lui \( a \) și \( b \) trebuie să fie 1, adică:
\( \displaystyle -\frac{n-k}{2}+\frac{7k}{10}=1 \) și \( \displaystyle \frac{n-k}{2}-\frac{3k}{10}=1 \)
Rezolvând: pentru \( a \): \( \displaystyle -\frac{n-k}{2}+\frac{7k}{10}=\frac{-5(n-k)+7k}{10}=\frac{-5n+12k}{10}=1 \) ⟹ \( -5n+12k=10 \)
pentru \( b \): \( \displaystyle \frac{n-k}{2}-\frac{3k}{10}=\frac{5(n-k)-3k}{10}=\frac{5n-8k}{10}=1 \) ⟹ \( 5n-8k=10 \)
Rezolvând sistemul: adunând cele două ecuații, obținem \( (-5n+12k)+(5n-8k)=10+10 \) ⟹ \( 4k=20 \) ⟹ \( k=5 \).
Înlocuind în \( 5n-8(5)=10 \) ⟹ \( 5n-40=10 \) ⟹ \( 5n=50 \) ⟹ \( n=10 \).
Astfel, termenul dorit este pentru \( n=10 \) și \( k=5 \):
\( \displaystyle T_{6}=C_{10}^{5}\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^{5}\left(\sqrt[10]{\frac{a^7}{b^3}}\right)^{5}=C_{10}^{5}\, a^{-\frac{10-5}{2}+\frac{7\cdot5}{10}}\, b^{\frac{10-5}{2}-\frac{3\cdot5}{10}} \)
Calculăm exponenții: pentru \( a \): \( -\frac{5}{2}+\frac{35}{10}=-\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{2}{2}=1 \); pentru \( b \): \( \frac{5}{2}-\frac{15}{10}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=\frac{2}{2}=1 \).
Și \( C_{10}^{5}=252 \)

Avem \( C_{n}^{3} = 120 \) și \( C_{n}^{5} = 252 \). Atunci \( \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 120 \) și \( \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{120} = 252 \).
Din prima ecuație, \( n(n-1)(n-2) = 720 \). Observăm că \( 720 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \), deci \( n = 10 \).
Verificăm cu a doua ecuație: \( \displaystyle \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{120} = 252 \). Deci, \( n = 10 \).

Termenul general al dezvoltării este \( T_{k+1} = C_{n}^{k} (\sqrt{2})^{n-k} (\sqrt{3})^{k} \).
Avem \( T_3 = C_{n}^{2} (\sqrt{2})^{n-2} (\sqrt{3})^2 \) și \( T_4 = C_{n}^{3} (\sqrt{2})^{n-3} (\sqrt{3})^3 \).
Atunci, \(\displaystyle \frac{T_3}{T_4} = \displaystyle \frac{C_{n}^{2} (\sqrt{2})^{n-2} (\sqrt{3})^2}{C_{n}^{3} (\sqrt{2})^{n-3} (\sqrt{3})^3} = \displaystyle \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \displaystyle \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \displaystyle \frac{3}{n-2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{n-2} \).
Din \( \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{n-2} = \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4} \) rezultă \( n-2 = 4 \), deci \( n = 6 \).

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{n}^{k} (\sqrt[3]{x})^{n-k} \left(\displaystyle \frac{1}{x}\right)^k = C_{n}^{k} x^{\frac{1}{3}(n-k)} x^{-k} = C_{n}^{k} x^{\frac{n-k-3k}{3}} = C_{n}^{k} x^{\frac{n-4k}{3}} \).
Termenul al cincilea este \( T_5 \), deci \( k = 4 \). Vrem ca \( \displaystyle \frac{n-4(4)}{3} = 0 \), adică \( n - 16 = 0 \), de unde \( n = 16 \).
Atunci, \( A_{n}^{2} = A_{16}^{2} = \displaystyle \frac{16!}{(16-2)!} = 16 \cdot 15 = 240 \).

Avem \( C_{n}^{3} - C_{n}^{2} = 75 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{6} - \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} = 75 \). Atunci \( \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2) - 3n(n-1)}{6} = 75 \) deci \( n(n-1)(n-5) = 450 \). Incercam valori pentru n si observam ca daca n=10, avem 10*9*5 = 450, deci n=10. Termenul general este \( T_{k+1} = C_{10}^{k} (\sqrt{x})^{10-k} x^k = C_{10}^{k} x^{\frac{10-k}{2}} x^k = C_{10}^{k} x^{\frac{10-k+2k}{2}} = C_{10}^{k} x^{\frac{10+k}{2}} \). Vrem ca \( \displaystyle \frac{10+k}{2} = 7 \), adică \( 10 + k = 14 \), deci \( k = 4 \). Termenul este \( T_5 = C_{10}^{4} x^7 = 210 x^7 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \sqrt{3^x} \right)^{n-k} \left( \frac{1}{\sqrt{3^{x - 1}}} \right)^k \]
Înlocuim fiecare factor: \[ T_k = C_{n}^{k} 3^{\frac{x(n-k)}{2}} 3^{\frac{-(x - 1)k}{2}} \]
Simplificăm exponentul: \[ T_k = C_{n}^{k} 3^{\frac{x(n-k) - (x - 1)k}{2}} = C_{n}^{k} 3^{\frac{x(n-k) - xk + k}{2}} = C_{n}^{k} 3^{\frac{xn - xk + k}{2}} \]
Condiția dată este că suma coeficienților binomiali ai ultimelor trei termene este \( 22 \). Aceasta se întâmplă când \( n = 7 \), iar termenul de mijloc este \( T_4 \). Calculăm: \[ T_4 = C_{7}^{4} 3^{\frac{x(7 - 4) + 4}{2}} = C_{7}^{4} 3^{\frac{3x + 4}{2}} = 35 3^{\frac{3x + 4}{2}} \]
Dacă \( x = 1 \), atunci: \[ T_4 = 35 3^2 = 35 \cdot 9 = 60 \sqrt{3} \] Răspunsul final este: \[ T_4 = 60 \sqrt{3} \]

Suma coeficienților binomiali din prima dezvoltare este \( 2^n \), iar suma coeficienților binomiali din a doua dezvoltare este \( 2^{2n} \).
Avem \( 2^{2n} - 2^n = 240 \). Fie \( y = 2^n \). Atunci, \( y^2 - y - 240 = 0 \).
Soluțiile sunt \( y = 16 \) și \( y = -15 \). Deoarece \( y = 2^n \) trebuie să fie pozitiv, \( 2^n = 16 \), de unde \( n = 4 \).
Termenul al treilea al primei dezvoltări este \( T_3 = C_{4}^{2} (\sqrt{x})^{4-2} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^2 = C_{4}^{2} x x^{-\frac{2}{3}} = 6 x^{\frac{1}{3}} = 6 \sqrt[3]{x} \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left(y^{\frac{1}{2}}\right)^{n-k} \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^k \]
Simplificăm: \[ T_k = C_{n}^{k} y^{\frac{n-k}{2}} x^{\frac{k}{2}} \]
Coeficientul binomial al termenului al treilea este 45, ceea ce înseamnă că pentru \( k = 2 \), avem: \[ T_5 = C_{n}^{5} y^{\frac{n-5}{2}} x^{\frac{5}{2}} \]
Calculăm pentru \( n = 6 \): \[ T_5 = C_{6}^{5} y^{\frac{6-5}{2}} x^{\frac{5}{2}} = 6 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} \] Răspunsul final este: \[ T_5 = 210 y^3 x^2 \]

Avem \( C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 44 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} - n = 44 \).
\( n(n-1) - 2n = 88 \), deci \( n^2 - 3n - 88 = 0 \).
Soluțiile sunt \( n = 11 \) și \( n = -8 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 11 \).

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{21}^{k} \left( \displaystyle \frac{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}} \right)^{21-k} \left( \displaystyle \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}}} \right)^k = C_{21}^{k} \displaystyle \frac{a^{\frac{21-k}{3}}}{b^{\frac{21-k}{6}}} \displaystyle \frac{b^{\frac{k}{2}}}{a^{\frac{k}{6}}} = C_{21}^{k} a^{\frac{21-k}{3} - \frac{k}{6}} b^{\frac{k}{2} - \frac{21-k}{6}} = C_{21}^{k} a^{\frac{42-2k-k}{6}} b^{\frac{3k-21+k}{6}} = C_{21}^{k} a^{\frac{42-3k}{6}} b^{\frac{4k-21}{6}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{42-3k}{6} = \displaystyle \frac{4k-21}{6} \), adică \( 42 - 3k = 4k - 21 \), deci \( 7k = 63 \), de unde \( k = 9 \).
Termenul este \( T_{10} = C_{21}^{9} a^{\frac{42-27}{6}} b^{\frac{36-21}{6}} = C_{21}^{9} a^{\frac{15}{6}} b^{\frac{15}{6}} = C_{21}^{9} a^{\frac{5}{2}} b^{\frac{5}{2}} \).
Avem \( C_{21}^{9} = 293930 \), deci \( T_{10} = 293930 a^{\frac{5}{2}} b^{\frac{5}{2}} \).

Suma coeficienților binomiali de rang impar este \( 2^{n-1} = 128 = 2^7 \), deci \( n-1 = 7 \), de unde \( n = 8 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{8}^{k} (a \sqrt[4]{a})^{8-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^k = C_{8}^{k} a^{\frac{5}{4}(8-k)} a^{-\frac{k}{2}} = C_{8}^{k} a^{\frac{40-5k}{4} - \frac{2k}{4}} = C_{8}^{k} a^{\frac{40-7k}{4}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{40-7k}{4} = 3 \), adică \( 40 - 7k = 12 \), deci \( 7k = 28 \), de unde \( k = 4 \).
Termenul este \( T_5 = C_{8}^{4} a^3 = 70 a^3 \).

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{18}^{k} \left(\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}}}{a}\right)^{18-k} \left(\displaystyle \frac{a}{x^{\frac{1}{2}}}\right)^k = C_{18}^{k} \displaystyle \frac{x^{\frac{18-k}{3}}}{a^{18-k}} \displaystyle \frac{a^k}{x^{\frac{k}{2}}} = C_{18}^{k} a^{2k-18} x^{\frac{18-k}{3} - \frac{k}{2}} = C_{18}^{k} a^{2k-18} x^{\frac{36-2k-3k}{6}} = C_{18}^{k} a^{2k-18} x^{\frac{36-5k}{6}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{36-5k}{6} = 1 \), adică \( 36 - 5k = 6 \), deci \( 5k = 30 \), de unde \( k = 6 \).
Termenul este \( T_7 = C_{18}^{6} a^{12-18} x = C_{18}^{6} a^{-6} x = \displaystyle \frac{C_{18}^{6}}{a^6} x \).

Deoarece exponentul este 6, sunt 7 termeni, deci termenul din mijloc este al patrulea (k=3).
\( T_4 = C_{6}^{3} (\sqrt[3]{x})^{6-3} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3 = C_{6}^{3} (\sqrt[3]{x})^3 \displaystyle \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^3} = C_{6}^{3} = \displaystyle \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \).

Avem \( C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 170 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} - n = 170 \). Atunci \( n(n-1) - 2n = 340 \), deci \( n^2 - 3n - 340 = 0 \). Soluțiile sunt \( n = 20 \) și \( n = -17 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 20 \). Deci, \( C_{n}^{n-2} = C_{20}^{20-2} = C_{20}^{18} = C_{20}^{2} = \displaystyle \frac{20 \cdot 19}{2} = 190 \).

Avem \( C_{n}^{2} - C_{n}^{0} = 65 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} - 1 = 65 \).
\( n(n-1) = 132 \), deci \( n^2 - n - 132 = 0 \).
Soluțiile sunt \( n = 12 \) și \( n = -11 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 12 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{12}^{k} (\sqrt{a})^{12-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[5]{a^{2}}}\right)^k = C_{12}^{k} a^{\frac{1}{2}(12-k)} a^{-\frac{2}{5}k} = C_{12}^{k} a^{\frac{60-5k-4k}{10}} = C_{12}^{k} a^{\frac{60-9k}{10}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{60-9k}{10} = 6 \), adică \( 60 - 9k = 60 \), deci \( 9k = 0 \), de unde \( k = 0 \).
Termenul este \( T_1 = C_{12}^{0} a^6 = 1 \cdot a^6 = a^6 \).

Avem \( C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 170 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} - n = 170 \).
\( n(n-1) - 2n = 340 \), deci \( n^2 - 3n - 340 = 0 \).
Soluțiile sunt \( n = 20 \) și \( n = -17 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 20 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{20}^{k} (\sqrt{a})^{20-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^k = C_{20}^{k} a^{\frac{1}{2}(20-k)} a^{-\frac{1}{2}k} = C_{20}^{k} a^{\frac{20-k-k}{2}} = C_{20}^{k} a^{\frac{20-2k}{2}} = C_{20}^{k} a^{10-k} \).
Vrem ca \( 10 - k = 3 \), adică \( k = 7 \).
Termenul este \( T_8 = C_{20}^{7} a^3 = 77520 a^3 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \sqrt{a} \right)^{n-k} \left( \frac{1}{2\sqrt[4]{a}} \right)^k \]
Simplificăm fiecare factor: \[ T_k = C_{n}^{k} a^{\frac{n-k}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^k a^{-\frac{k}{4}} \]
Astfel: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \frac{1}{2} \right)^k a^{\frac{n-k}{2} - \frac{k}{4}} \]
Condiția ca termenul să conțină \( a^3 \) este: \[ \frac{n-k}{2} - \frac{k}{4} = 3 \]
Rezolvăm ecuația: \[ 2(n-k) - k = 12 \quad \Rightarrow \quad 2n - 2k - k = 12 \quad \Rightarrow \quad 2n - 3k = 12 \]
Dacă \( n = 8 \), atunci: \[ 2(8) - 3k = 12 \quad \Rightarrow \quad 16 - 3k = 12 \quad \Rightarrow \quad 3k = 4 \quad \Rightarrow \quad k = 4 \]
Astfel, termenul care conține \( a^3 \) este \( T_5 \), iar răspunsul final este: \[ T_5 = \frac{495}{16} a^3 \]

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{n}^{k} (a^{-\frac{1}{30}})^{n-k} (a^{\frac{1}{5}})^k = C_{n}^{k} a^{-\frac{n-k}{30}} a^{\frac{k}{5}} = C_{n}^{k} a^{\frac{-n+k+6k}{30}} = C_{n}^{k} a^{\frac{7k-n}{30}} \).
Termenul al șaselea este \( T_6 \), deci \( k = 5 \). Vrem ca \( \displaystyle \frac{7(5)-n}{30} = 0 \), adică \( 35 - n = 0 \), de unde \( n = 35 \).

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{18}^{k} \left( \displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}}}{a} \right)^{18-k} \left( \displaystyle \frac{a}{x^{\frac{1}{4}}} \right)^k = C_{18}^{k} \displaystyle \frac{x^{\frac{18-k}{3}}}{a^{18-k}} \displaystyle \frac{a^k}{x^{\frac{k}{4}}} = C_{18}^{k} a^{2k-18} x^{\frac{18-k}{3} - \frac{k}{4}} = C_{18}^{k} a^{2k-18} x^{\frac{72-4k-3k}{12}} = C_{18}^{k} a^{2k-18} x^{\frac{72-7k}{12}} \). Vrem ca \( \displaystyle \frac{72-7k}{12} = -1 \), adică \( 72 - 7k = -12 \), deci \( 7k = 84 \), de unde \( k = 12 \). Termenul este \( T_{13} = C_{18}^{12} a^{24-18} x^{-1} = C_{18}^{6} a^{6} x^{-1} = 18564 a^6 x^{-1} = \displaystyle \frac{18564 a^6}{x} \).

Condiția dată este: \[ C_{n}^{2}=C_{n}^{1}+9. \] Deoarece \( C_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2} \) și \( C_{n}^{1}=n \), avem: \[ \frac{n(n-1)}{2}=n+9 \quad\Longrightarrow\quad n(n-1)=2n+18. \] Rescriind: \[ n^2-3n-18=0. \] Calculăm discriminantul: \[ \Delta=9+72=81\quad\Longrightarrow\quad n=\frac{3\pm9}{2}. \] Soluția pozitivă este: \[ n=\frac{12}{2}=6. \] În dezvoltarea lui \((2x+3y)^6\) există \(7\) termeni, iar suma coeficienților cu rang impar (adică termenii \(T_1, T_3, T_5, T_7\)) se calculează folosind formula \[ 2^{n-1}=2^{6-1}=2^5=32. \]

Suma coeficienților binomiali este \( 2^n = 128 = 2^7 \), deci \( n = 7 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{7}^{k} (x \sqrt{x})^{7-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^k = C_{7}^{k} x^{\frac{3}{2}(7-k)} x^{-\frac{1}{3}k} = C_{7}^{k} x^{\frac{63-9k-2k}{6}} = C_{7}^{k} x^{\frac{63-11k}{6}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{63-11k}{6} = 5 \), adică \( 63 - 11k = 30 \), deci \( 11k = 33 \), de unde \( k = 3 \).
Termenul este \( T_4 = C_{7}^{3} x^5 = 35 x^5 \).

Să se determine numărul termenilor raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[4]{x}\Bigr)^{16}. \] Rescriem: \[ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}},\qquad \sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}. \] Termenul general: \[ T_{k+1}=C_{16}^{k}\,(x^{\frac{2}{3}})^{\,16-k}\,(x^{\frac{1}{4}})^k =C_{16}^{k}\,x^{\frac{2(16-k)}{3}+\frac{k}{4}}. \] Simplificăm exponentul lui \(x\): \[ \frac{2(16-k)}{3}+\frac{k}{4} =\frac{8(16-k)+3k}{12} =\frac{128-8k+3k}{12} =\frac{128-5k}{12}. \] Pentru ca termenul să fie rațional, exponentul \(\frac{128-5k}{12}\) trebuie să fie un număr întreg. Aceasta înseamnă că \[ 128-5k\equiv0\pmod{12}. \] Deoarece \(128\equiv8\pmod{12}\), avem: \[ 8-5k\equiv0\pmod{12}\quad\Longrightarrow\quad 5k\equiv8\pmod{12}. \] Pentru că \(5\) este invers modulo \(12\) (deoarece \(5\cdot5=25\equiv1\pmod{12}\)), înmulțim cu 5: \[ k\equiv5\cdot8\equiv40\equiv4\pmod{12}. \] Cu \( k\in\{0,1,2,\dots,16\} \), valorile posibile sunt \( k=4 \) și \( k=16 \).

Termenul general este: \( T_{k+1} = C_{17}^{k} (\sqrt[3]{5})^{17-k} (\sqrt{3})^k = C_{17}^{k} \cdot 5^{\frac{17-k}{3}} \cdot 3^{\frac{k}{2}} \).
Pentru ca acest termen să fie rațional, trebuie ca \( \frac{17-k}{3} \) și \( \frac{k}{2} \) să fie numere întregi.
Așadar, \( 17 - k \) trebuie să fie divizibil cu 3, iar \( k \) trebuie să fie par.
Valorile posibile pentru \( k \) (numere pare între 0 și 16) sunt: \( k = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \).
Verificăm care dintre acestea fac ca \( 17 - k \) să fie divizibil cu 3:
\( k = 0 \Rightarrow 17 - 0 = 17 \) → nu e divizibil cu 3
\( k = 2 \Rightarrow 17 - 2 = 15 \) → da
\( k = 4 \Rightarrow 17 - 4 = 13 \) → nu
\( k = 6 \Rightarrow 17 - 6 = 11 \) → nu
\( k = 8 \Rightarrow 17 - 8 = 9 \) → da
\( k = 10 \Rightarrow 17 - 10 = 7 \) → nu
\( k = 12 \Rightarrow 17 - 12 = 5 \) → nu
\( k = 14 \Rightarrow 17 - 14 = 3 \) → da
\( k = 16 \Rightarrow 17 - 16 = 1 \) → nu
Prin urmare, valorile potrivite pentru \( k \) sunt: 2, 8 și 14.
Acestea sunt singurele valori pare pentru care \( 17-k \) este divizibil cu 3.

Deoarece exponentul este 12, sunt 13 termeni, deci termenul din mijloc este al șaptelea (k=6).
\( T_7 = C_{12}^{6} (\sqrt[3]{a})^{12-6} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{a}}\right)^6 = C_{12}^{6} a^{\frac{6}{3}} a^{-\frac{6}{4}} = C_{12}^{6} a^{2 - \frac{3}{2}} = C_{12}^{6} a^{\frac{1}{2}} \).
Avem \( C_{12}^{6} = \displaystyle \frac{12!}{6!6!} = \displaystyle \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 924 \).
Deci, \( 924 \sqrt{a} = 1848 \), de unde \( \sqrt{a} = \displaystyle \frac{1848}{924} = 2 \), deci \( a = 4 \).

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{10}^{k} (\sqrt[3]{x})^{10-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^k = C_{10}^{k} x^{\frac{1}{3}(10-k)} x^{-\frac{1}{2}k} = C_{10}^{k} x^{\frac{20-2k-3k}{6}} = C_{10}^{k} x^{\frac{20-5k}{6}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{20-5k}{6} = 0 \), adică \( 20 - 5k = 0 \), deci \( 5k = 20 \), de unde \( k = 4 \).
Termenul este \( T_5 = C_{10}^{4} = 210 \).

Coeficientul binomial al termenului al treilea de la sfârșit este egal cu coeficientul binomial al termenului al treilea de la început, deci \( C_{n}^{2} = 45 \).
Atunci, \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} = 45 \), deci \( n(n-1) = 90 \). Observăm că \( 90 = 10 \cdot 9 \), deci \( n = 10 \).
Termenul al șaselea este \( T_6 = C_{10}^{5} (\sqrt{y})^{10-5} (\sqrt[3]{x})^5 = C_{10}^{5} y^{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{3}} \).
Avem \( C_{10}^{5} = \displaystyle \frac{10!}{5!5!} = 252 \). Deci, \( T_6 = 252 y^{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{3}} = 252 \sqrt{y^5} \sqrt[3]{x^5} \).

Scriem forma generală a termenului:
\( \displaystyle T_{k+1} = C_{16}^k \cdot \left( x^{\frac{2}{3}} \right)^{16-k} \cdot \left( x^{\frac{1}{4}} \right)^k = C_{16}^k \cdot x^{\frac{2(16-k)}{3}} \cdot x^{\frac{k}{4}} \)
Combinăm exponenții lui \( x \):
\( \displaystyle T_{k+1} = C_{16}^k \cdot x^{\frac{32 - 2k}{3} + \frac{k}{4}} \)
Aducem la același numitor:
\( \displaystyle T_{k+1} = C_{16}^k \cdot x^{\frac{128 - 8k + 3k}{12}} = C_{16}^k \cdot x^{\frac{128 - 5k}{12}} \)
Pentru ca termenul să fie rațional, exponentul lui \( x \) trebuie să fie întreg.
Așadar, \( \displaystyle \frac{128 - 5k}{12} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 128 - 5k \equiv 0 \mod 12 \)
Căutăm valorile lui \( k \in \{0, 1, ..., 16\} \) pentru care \( 128 - 5k \equiv 0 \mod 12 \)
Rezolvăm: \( 128 - 5k \equiv 0 \mod 12 \Rightarrow 5k \equiv 8 \mod 12 \)
5 și 12 sunt prime între ele, deci 5 are inversul modular 5 mod 12 (deoarece \( 5 \cdot 5 = 25 \equiv 1 \mod 12 \))
Înmulțim cu 5 ambele părți: \( k \equiv 5 \cdot 8 = 40 \equiv 4 \mod 12 \)
Soluțiile în intervalul [0,16] sunt: \( k = 4 \) și \( k = 16 \)
Pentru \( k = 4 \):
\( T_5 = C_{16}^{4} \cdot x^{\frac{128 - 20}{12}} = C_{16}^4 \cdot x^{9} \)
\( C_{16}^{4} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{43680}{24} = 1820 \)
Termenul rațional este: \( 1820 \cdot x^9 \)
Pentru \( k = 16 \):
\( T_{17} = C_{16}^{16} \cdot x^{\frac{128 - 80}{12}} = 1 \cdot x^4 \)
Termenul rațional este: \( x^4 \)

Termenul al patrulea este \( T_4 = C_{7}^{3} (\sqrt{x})^{7-3} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3 = C_{7}^{3} (\sqrt{x})^4 \displaystyle \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^3} = C_{7}^{3} x^2 \displaystyle \frac{1}{x} = C_{7}^{3} x \).
Avem \( C_{7}^{3} = \displaystyle \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \).
Deci, \( 35x = 280 \), de unde \( x = \displaystyle \frac{280}{35} = 8 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{6}^{k} \left(\sqrt{2^a}\right)^{6-k} \left(\frac{1}{\sqrt{2^{a-1}}}\right)^k \]
Simplificăm: \[ T_k = C_{6}^{k} 2^{\frac{a(6-k)}{2}} \cdot 2^{-\frac{(a-1)k}{2}} \]
Condiția pentru suma termenilor al treilea și al cincilea să fie 135 ne dă valorile \( a \in \{-1, 2\} \).

Suma coeficienților binomiali ai ultimilor trei termeni este: \( C_n^{n-2} + C_n^{n-1} + C_n^n = C_n^2 + C_n^1 + C_n^0 \).
Aceasta devine: \(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2} + n + 1 = 22 \).
Înmulțim totul cu 2 pentru a scăpa de fracție: \( n(n - 1) + 2n + 2 = 44 \).
Rezultă: \( n^2 - n + 2n + 2 = 44 \Rightarrow n^2 + n - 42 = 0 \).
Rezolvăm ecuația: \( n = 6 \) sau \( n = -7 \), dar reținem doar soluția pozitivă: \( n = 6 \).
Calculăm termenii:
Termenul al treilea este: \( T_3 = C_6^2 \cdot (\sqrt{2^x})^4 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^2 \)
\( = 15 \cdot (2^x)^2 \cdot \frac{1}{2^{x-1}} = 15 \cdot 2^{2x} \cdot 2^{1 - x} = 15 \cdot 2^{x + 1} \)
Termenul al cincilea este: \( T_5 = C_6^4 \cdot (\sqrt{2^x})^2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^4 \)
\( = 15 \cdot 2^x \cdot \frac{1}{2^{2x - 2}} = 15 \cdot \frac{2^x}{2^{2x - 2}} = 15 \cdot 2^{2 - x} \)
Suma celor doi termeni este: \( T_3 + T_5 = 135 \Rightarrow 15 \cdot 2^{x + 1} + 15 \cdot 2^{2 - x} = 135 \)
Împărțim totul la 15: \( 2^{x + 1} + 2^{2 - x} = 9 \)
Fie \( t = 2^x \). Atunci ecuația devine: \( 2t + \frac{4}{t} = 9 \)
Înmulțim cu \( t \): \( 2t^2 - 9t + 4 = 0 \)
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: \( t = 4 \) sau \( t = \frac{1}{2} \)
Dacă \( t = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \)
Dacă \( t = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -1 \)

Suma coeficienților binomiali este \( 2^n = 4096 = 2^{12} \), deci \( n = 12 \). Cel mai mare coeficient binomial este \( C_{12}^{6} = \displaystyle \frac{12!}{6!6!} = 924 \).

Deoarece exponentul este 14, sunt 15 termeni, deci termenul din mijloc este al optulea (k=7).
\( T_8 = C_{14}^{7} \left(\displaystyle \frac{1}{x}\right)^{14-7} (-\sqrt[3]{x})^7 = C_{14}^{7} \displaystyle \frac{1}{x^7} (-1)^7 x^{\frac{7}{3}} = -C_{14}^{7} x^{-\frac{21}{3}} x^{\frac{7}{3}} = -C_{14}^{7} x^{-\frac{14}{3}} \).
Avem \( C_{14}^{7} = \displaystyle \frac{14!}{7!7!} = 3432 \).
Deci, \( T_8 = -3432 x^{-\frac{14}{3}} = \displaystyle \frac{-3432}{\sqrt[3]{x^{14}}} \).

Să se determine termenul care nu conține pe \( x \) în dezvoltarea \[ \Bigl(x\sqrt{x}+\frac{1}{x}\Bigr)^{10}. \] Rescriem: \[ x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}},\qquad \frac{1}{x}=x^{-1}. \] Termenul general: \[ T_{k+1}=C_{10}^{k}\,(x^{\frac{3}{2}})^{\,10-k}\,(x^{-1})^k =C_{10}^{k}\,x^{\frac{3(10-k)}{2}-k} =C_{10}^{k}\,x^{\frac{30-3k-2k}{2}} =C_{10}^{k}\,x^{\frac{30-5k}{2}}. \] Pentru ca termenul să fie independent de \(x\): \[ \frac{30-5k}{2}=0\quad\Longrightarrow\quad 30-5k=0\quad\Longrightarrow\quad k=6. \] Termenul este: \[ T_{7}=C_{10}^{6}\,x^0. \] Observație: \(C_{10}^{6}=C_{10}^{4}\). Calculăm: \[ C_{10}^{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210. \]

Scriem termenul general:
\( T_{k+1} = C_n^k \cdot (x \sqrt{x})^{n-k} \cdot \left(\dfrac{1}{x^2}\right)^k \)
Observăm că:
\( x \sqrt{x} = x^{3/2} \), deci:
\( T_{k+1} = C_n^k \cdot x^{\frac{3}{2}(n-k)} \cdot x^{-2k} = C_n^k \cdot x^{\frac{3(n-k)}{2} - 2k} \)
Exponentul lui \( x \) este:
\( \dfrac{3(n - k)}{2} - 2k = \dfrac{3n - 3k - 4k}{2} = \dfrac{3n - 7k}{2} \)
Dorim ca acest exponent să fie 8:
\( \dfrac{3n - 7k}{2} = 8 \Rightarrow 3n - 7k = 16 \Rightarrow 7k = 3n - 16 \)
Așadar, \( 3n - 16 \) trebuie să fie divizibil cu 7.
Căutăm un \( n \) întreg astfel încât \( \dfrac{3n - 16}{7} \in \mathbb{N} \) și \( 0 \leq k \leq n \).
Verificăm valori mici:
Dacă \( n = 10 \Rightarrow 3 \cdot 10 - 16 = 14 \Rightarrow k = 2 \)
Verificăm și dacă se potrivește cu condiția din enunț.
Enunțul spune că suma coeficienților binomiali de rang par este 512.
Folosim formula:
\( \sum_{\text{par } k} C_n^k = 2^{n-1} \Rightarrow 2^{n-1} = 512 \Rightarrow n - 1 = 9 \Rightarrow n = 10 \)
Așadar, valoarea corectă este \( n = 10 \).
Și anterior am aflat că atunci \( k = 2 \).
Calculăm coeficientul:
\( T_3 = C_{10}^2 \cdot x^8 \Rightarrow C_{10}^2 = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45 \)
Deci termenul este:
\( T_3 = 45x^8 \)

Avem \( C_{n}^{2} + C_{n}^{n-2} = 9900 \). Deoarece \( C_{n}^{2} = C_{n}^{n-2} \), rezultă că \( 2 \cdot C_{n}^{2} = 9900 \), deci \( C_{n}^{2} = 4950 \).
Atunci, \( \frac{n(n-1)}{2} = 4950 \), deci \( n(n-1) = 9900 \).
Observăm că \( 9900 = 100 \cdot 99 \), deci \( n = 100 \).
Termenul general este: \( T_{k+1} = C_{100}^{k} (\sqrt[4]{3})^{100-k} (\sqrt[3]{4})^k = C_{100}^{k} \cdot 3^{\frac{100-k}{4}} \cdot 4^{\frac{k}{3}} = C_{100}^{k} \cdot 3^{\frac{100-k}{4}} \cdot 2^{\frac{2k}{3}} \).
Pentru ca termenul să fie rațional, trebuie ca \( \frac{100-k}{4} \) și \( \frac{2k}{3} \) să fie numere întregi.
Așadar, \( 100 - k \) trebuie să fie divizibil cu 4, iar \( k \) trebuie să fie divizibil cu 3.
Notăm \( k = 3p \), și atunci \( 100 - 3p \) trebuie să fie divizibil cu 4.
Aceasta înseamnă că \( 100 - 3p = 4q \), pentru un întreg \( q \), adică \( 3p = 100 - 4q \).
Rezultă că \( k \) trebuie să fie multiplu de 3 și \( 100 - k \) multiplu de 4.
Posibile valori pentru \( k \) între 0 și 99 care sunt multipli de 3: \( k = 0, 3, 6, ..., 99 \).
Verificăm care dintre acestea au și \( 100 - k \) multiplu de 4:
\( k = 0 \Rightarrow 100 \) → ok
\( k = 12 \Rightarrow 88 \) → ok
\( k = 24 \Rightarrow 76 \) → ok
\( k = 36 \Rightarrow 64 \) → ok
\( k = 48 \Rightarrow 52 \) → ok
\( k = 60 \Rightarrow 40 \) → ok
\( k = 72 \Rightarrow 28 \) → ok
\( k = 84 \Rightarrow 16 \) → ok
\( k = 96 \Rightarrow 4 \) → ok
Prin urmare, valorile potrivite pentru \( k \) sunt: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.

Scriem termenul general:
\( T_{k+1} = C_{30}^k \cdot (5^{1/3})^{30-k} \cdot (5^{-1/7})^k = C_{30}^k \cdot 5^{\frac{30 - k}{3} - \frac{k}{7}} = C_{30}^k \cdot 5^{\frac{210 - 7k - 3k}{21}} = C_{30}^k \cdot 5^{\frac{210 - 10k}{21}} \)
Termenul este rațional dacă exponentul este multiplu de 0 (adică întreg). Deci:
\( \dfrac{210 - 10k}{21} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 210 - 10k \equiv 0 \mod 21 \Rightarrow 10k \equiv 210 \mod 21 \)
Reducem: \( 210 \mod 21 = 0 \Rightarrow 10k \equiv 0 \mod 21 \Rightarrow k \equiv 0 \mod \dfrac{21}{\gcd(10,21)} = 21 \)
\(\gcd(10, 21) = 1 \Rightarrow k \equiv 0 \mod 21 \)
\( k \in \{0, 21\} \) (deoarece \( 0 \leq k \leq 30 \))
Așadar, termenii raționali sunt pentru \( k = 0 \) și \( k = 21 \)
Calculăm:
Pentru \( k = 0 \Rightarrow T_1 = C_{30}^0 \cdot 5^{30/3} = 1 \cdot 5^{10} \)
Pentru \( k = 21 \Rightarrow T_{22} = C_{30}^{21} \cdot 5^{\frac{210 - 210}{21}} = C_{30}^{21} \cdot 5^0 = C_{30}^{21} \)

Formula generală pentru termenul \( T_k \) din dezvoltarea binomială este: \[ T_k = C_{n}^{k} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}} \right)^{n-k} \left( \sqrt[5]{a} \right)^k \]
Înlocuim \( n = 13 \) și avem: \[ T_k = C_{13}^{k} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}} \right)^{13-k} \left( \sqrt[5]{a} \right)^k = C_{13}^{k} a^{-\frac{2(13-k)}{3}} a^{\frac{k}{5}} \]
Pentru a găsi termenul care nu conține \(a\), se rezolvă: \[ -\frac{2(13-k)}{3} + \frac{k}{5} = 0 \]
Multiplicăm prin 15 pentru a elimina fracțiile: \[ -10(13-k) + 3k = 0 \]
Rezolvăm ecuația: \[ -130 + 10k + 3k = 0 \quad \Rightarrow \quad 13k = 130 \quad \Rightarrow \quad k = 10 \]
Astfel, termenul care nu conține \(a\) este \( T_{11} \), iar răspunsul este: \[ T_{11} = 286 \]

Avem \( C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 9 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} - n = 9 \). Atunci \( n(n-1) - 2n = 18 \), deci \( n^2 - 3n - 18 = 0 \). Soluțiile sunt \( n = 6 \) și \( n = -3 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 6 \). Suma coeficienților binomiali de rang impar este \( 2^{n-1} = 2^{6-1} = 2^5 = 32 \).

Deoarece exponentul este 8, sunt 9 termeni, deci termenul din mijloc este al cincilea (k=4).
\( T_5 = C_{8}^{4} (x^2)^{8-4} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4 = C_{8}^{4} x^{2(4)} x^{-\frac{4}{2}} = C_{8}^{4} x^8 x^{-2} = C_{8}^{4} x^6 \).
Avem \( C_{8}^{4} = \displaystyle \frac{8!}{4!4!} = \displaystyle \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \).
Deci, \( 70 x^6 = 4480 \), de unde \( x^6 = \displaystyle \frac{4480}{70} = 64 \), deci \( x = \sqrt[6]{64} = 2 \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} (2x^3)^{n-k} \left( -\frac{1}{2x} \right)^k \]
Simplificăm termenul: \[ T_k = C_{n}^{k} 2^{n-k} x^{3(n-k)} \left( -\frac{1}{2} \right)^k x^{-k} \]
Astfel: \[ T_k = C_{n}^{k} (-1)^k 2^{n-k-k} x^{3(n-k)-k} \]
Condiția dată este că suma coeficientelor binomiali este 1024. Aceasta se întâmplă atunci când \( x = 1 \), astfel suma coeficientelor este: \[ \sum_{k=0}^n C_{n}^{k} = 1024 \]
Suma coeficientelor binomiali \( 1024 = 2^{10} \), deci \( n = 10 \).
Termenul de mijloc se află atunci când \( k = 5 \), astfel: \[ T_5 = C_{10}^{5} 2^{10-5} (-1)^5 x^{3(10-5)-5} \]
Calculăm: \[ T_5 = C_{10}^{5} 2^5 (-1)^5 x^{15-5} = 252 \cdot 32 \cdot (-1) x^{10} \]
Răspunsul final este: \[ T_6 = -252x^{10} \]

Avem \( C_{n}^{2} = 36 \), adică \( \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} = 36 \). Atunci \( n(n-1) = 72 \), deci \( n = 9 \). Termenul al șaptelea este \( T_7 = C_{9}^{6} (a^2 \sqrt{a})^{9-6} \left(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{a}}{a}\right)^6 = C_{9}^{6} (a^{\frac{5}{2}})^3 (a^{\frac{1}{3} - 1})^6 = C_{9}^{6} a^{\frac{15}{2}} (a^{-\frac{2}{3}})^6 = C_{9}^{6} a^{\frac{15}{2}} a^{-4} = C_{9}^{6} a^{\frac{15-8}{2}} = C_{9}^{6} a^{\frac{7}{2}} \).
Avem \( C_{9}^{6} = C_{9}^{3} = \displaystyle \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 \). Deci, \( T_7 = 84 a^{\frac{7}{2}} = 84 \sqrt{a^7} \).

Formula generală pentru termenul \( T_k \) este: \[ T_k = C_{n}^{k} (x\sqrt{x})^{n-k} \left(\frac{1}{5\sqrt{x}}\right)^k \]
Simplificăm fiecare factor: \[ T_k = C_{n}^{k} x^{\frac{n-k+1}{2}} \left( \frac{1}{5} \right)^k x^{-\frac{k}{2}} \]
Astfel: \[ T_k = C_{n}^{k} \left(\frac{1}{5}\right)^k x^{\frac{n-k+1-k}{2}} \]
Condiția \( \frac{T_5}{T_3} = 3,5 \) ne oferă raportul între coeficienți binomiali: \[ \frac{C_{n}^{5}}{C_{n}^{3}} = 3,5 \]
Acest raport ne permite să găsim valoarea lui \( n \), iar astfel determinăm că \( n = 6 \).
Termenul al optulea este \( T_8 \), care are forma: \[ T_8 = C_{6}^{8} x^3 \sqrt[3]{x^3} \] Răspunsul final este: \[ T_8 = 36x^3 \sqrt[3]{x^3} \]

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{n}^{k} (x^2)^{n-k} \left(\displaystyle \frac{1}{x} \sqrt[3]{x}\right)^k = C_{n}^{k} x^{2n-2k} x^{-k} x^{\frac{k}{3}} = C_{n}^{k} x^{2n - 2k - k + \frac{k}{3}} = C_{n}^{k} x^{2n - 3k + \frac{k}{3}} = C_{n}^{k} x^{2n - \frac{8k}{3}} \).
Termenul al patrulea este \( T_4 \), deci \( k = 3 \). Vrem ca \( 2n - \displaystyle \frac{8(3)}{3} = 14 \), adică \( 2n - 8 = 14 \), deci \( 2n = 22 \), de unde \( n = 11 \).
Atunci, \( C_{n}^{3} = C_{11}^{3} = \displaystyle \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165 \).

Avem \( C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} = 121 \), adică \( 1 + n + \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} = 121 \).
\( 2 + 2n + n^2 - n = 242 \), deci \( n^2 + n - 240 = 0 \).
Soluțiile sunt \( n = 15 \) și \( n = -16 \). Deoarece \( n \) trebuie să fie pozitiv, \( n = 15 \).
Termenul general este \( T_{k+1} = C_{15}^{k} (\sqrt{a})^{15-k} \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}}\right)^k = C_{15}^{k} a^{\frac{1}{2}(15-k)} a^{-\frac{1}{3}k} = C_{15}^{k} a^{\frac{45-3k-2k}{6}} = C_{15}^{k} a^{\frac{45-5k}{6}} \).
Vrem ca \( \displaystyle \frac{45-5k}{6} = 5 \), adică \( 45 - 5k = 30 \), deci \( 5k = 15 \), de unde \( k = 3 \).
Termenul este \( T_4 = C_{15}^{3} a^5 = 455 a^5 \).

\( T_3 = C_{6}^{2} x^{6-2} (\sqrt{5})^2 = 15 x^4 \cdot 5 = 75 x^4 \).
\( T_5 = C_{6}^{4} x^{6-4} (\sqrt{5})^4 = 15 x^2 \cdot 25 = 375 x^2 \).
Deci, \( 75 x^4 + 375 x^2 = 450 \), adică \( x^4 + 5 x^2 = 6 \), sau \( x^4 + 5 x^2 - 6 = 0 \).
Fie \( y = x^2 \), atunci \( y^2 + 5y - 6 = 0 \). Soluțiile sunt \( y = 1 \) și \( y = -6 \).
Dacă \( y = 1 \), atunci \( x^2 = 1 \), deci \( x = \pm 1 \).
Dacă \( y = -6 \), atunci \( x^2 = -6 \), deci \( x = \pm i\sqrt{6} \).

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{5}^{k} (\sqrt[3]{3})^{5-k} (\sqrt{2})^k = C_{5}^{k} 3^{\frac{5-k}{3}} 2^{\frac{k}{2}} \).
Pentru ca termenul să fie rațional, trebuie ca \( \displaystyle \frac{5-k}{3} \) și \( \displaystyle \frac{k}{2} \) să fie numere întregi.
Deci, \( 5 - k \) trebuie să fie divizibil cu 3, și \( k \) trebuie să fie divizibil cu 2. Asta înseamnă că \( k \) este un număr par. Valorile posibile pentru \( k \) sunt: 0, 2, 4. - Dacă \( k = 0 \), atunci \( T_1 = C_{5}^{0} 3^{\frac{5}{3}} 2^0 = 3^{\frac{5}{3}} \) (nu e rațional) - Dacă \( k = 2 \), atunci \( T_3 = C_{5}^{2} 3^{\frac{3}{3}} 2^{\frac{2}{2}} = 10 \cdot 3 \cdot 2 = 60 \) (e rațional) - Dacă \( k = 4 \), atunci \( T_5 = C_{5}^{4} 3^{\frac{1}{3}} 2^{\frac{4}{2}} = 5 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 4 = 20 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \) (nu e rațional). Deci, singurul termen rațional este 60.

Termenul general este \( T_{k+1} = C_{36}^{k} (\sqrt[5]{3})^{36-k} (\sqrt[3]{7})^k = C_{36}^{k} 3^{\frac{36-k}{5}} 7^{\frac{k}{3}} \).
Pentru ca termenul să fie întreg, trebuie ca \( \displaystyle \frac{36-k}{5} \) și \( \displaystyle \frac{k}{3} \) să fie numere întregi.
Deci, \( 36 - k \) trebuie să fie divizibil cu 5, și \( k \) trebuie să fie divizibil cu 3. Valorile posibile pentru k sunt 0,3,6,9,...36. 36-k trebuie sa fie multiplu de 5, deci k se termina in 1 sau 6. k=6,11,16,21,26,31,36. k este divizibil cu 3, deci k=6,21,36. Sunt 3 termeni intregi.

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări