Teorie
Problemele care implică aranjamentele sau combinațiile apar frecvent în generarea de coduri, formarea de cuvinte, sau determinarea unor numere în anumite condiții.
Exemplu rezolvat
Se consideră un număr de patru cifre. Determinați probabilitatea că cifrele acestui număr sunt distincte.
Rezolvare:
- \( A = \{ \text{număr cu cifre distincte} \} \)
- Numărul total de numere de patru cifre: \( n = 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \)
- Numărul favorabil de numere cu cifre distincte: \( m = 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \)
Probabilitatea:
\[ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{63}{125} \]
Rezultatul final este:
\(\displaystyle R/s: \frac{63}{125} \)
1
Cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se formează aleator un număr de șapte cifre distincte două câte două. Determinați probabilitatea ca primele trei cifre ale numărului să fie pare, iar celelalte - impare.
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{35}\)
2
Determinați probabilitatea ca un număr natural de șase cifre, format aleator, să fie divizibil prin 25.
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{25}\)
3
Pe 10 fișe sunt scrise literele: M, A, T, E, M, A, T, I, C, A. Fișele se amestecă, apoi se extrag consecutiv patru fișe. Determinați probabilitatea că fișele extrase formează (în ordinea extragerii) cuvântul „TEMA”.
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{420}\)
4
Cu cifrele 2, 3, 4, 5, 6 se formează un număr de 5 cifre care nu se repetă. Determinați probabilitatea că ultimele 2 cifre ale numărului format sunt impare.
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{10}\)
5
Literele A, P, O, L, L, O sunt scrise câte una pe șase fișe identice. Patru fișe se extrag aleatoriu consecutiv. Determinați probabilitatea că, în ordinea extragerii, se obține cuvântul POLO.
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{90}\)
6
Cu cifrele 1, 2, 3 se formează coduri de 6 simboluri. Determinați probabilitatea că un cod format la întâmplare va conține o cifră de 1, două cifre de 2 și trei de 3.
Răspuns: \(\displaystyle \frac{20}{243}\)
1
\(\displaystyle \frac{1}{35}\)
2
\(\displaystyle \frac{1}{25}\)
3
\(\displaystyle \frac{1}{420}\)
4
\(\displaystyle \frac{1}{10}\)
5
\(\displaystyle \frac{1}{90}\)
6
\(\displaystyle \frac{20}{243}\)
1
Se formează un număr de 7 cifre distincte din cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Totalul aranjamentelor este: \(7! = 5040\).
Cifrele pare sunt: 2, 4, 6 (3 cifre); cele impare: 1, 3, 5, 7 (4 cifre).
Pentru ca primele 3 cifre să fie pare se pot aranja în \(3! = 6\) moduri, iar ultimele 4 cifre (impare) în \(4! = 24\) moduri.
Numărul favorabil este: \(6 \cdot 24 = 144\).
Probabilitatea este: \(\displaystyle P = \frac{144}{5040} = \frac{1}{35}\)
2
Un număr natural de 6 cifre este divizibil cu 25 dacă ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75.
Numărul total de numere de 6 cifre este 900000.
Pentru primele 4 cifre, avem \(9 \cdot 10^3 = 9000\) opțiuni (prima cifră de la 1 la 9, iar următoarele trei de la 0 la 9).
Există 4 posibilități pentru ultimele 2 cifre.
Numărul numerelor divizibile cu 25 este: \(9000 \cdot 4 = 36000\).
Probabilitatea este: \(\displaystyle P = \frac{36000}{900000} = \frac{1}{25}\)
3
Pe 10 fișe sunt scrise literele: M, A, T, E, M, A, T, I, C, A.
Se extrag consecutiv 4 fișe. Totalul de moduri de extragere (cu ordine) este: \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040\).
Pentru a forma cuvântul „TEMA” în ordine, avem nevoie de:
- T: 2 fișe
- E: 1 fișă
- M: 2 fișe
- A: 3 fișe
Numărul favorabil este: \(2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 12\).
Probabilitatea este: \(\displaystyle P = \frac{12}{5040} = \frac{1}{420}\)
4
Se formează un număr de 5 cifre din cifrele 2, 3, 4, 5, 6 (fără repetare).
Totalul aranjamentelor este: \(5! = 120\).
Cifrele impare din mulțime sunt: 3 și 5.
Pentru ca ultimele 2 cifre să fie impare, acestea trebuie să fie 3 și 5 (în orice ordine, \(2! = 2\) moduri), iar primele 3 cifre se aranjează din cele rămase în \(3! = 6\) moduri.
Numărul favorabil este: \(6 \cdot 2 = 12\).
Probabilitatea este: \(\displaystyle P = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}\)
5
Literele A, P, O, L, L, O sunt scrise pe 6 fișe.
Se extrag 4 fișe consecutiv și se dorește ca, în ordinea extragerii, să se obțină cuvântul "POLO".
Totalul modurilor de extragere este: \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\).
Numărul favorabil: pentru P există 1 fișă, pentru O există 2 fișe, pentru L există 2 fișe, iar pentru a doua literă O, după ce s-a extras una, rămâne 1 fișă.
Astfel, numărul favorabil este: \(1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\).
Probabilitatea este: \(\displaystyle P = \frac{4}{360} = \frac{1}{90}\)
6
Se formează coduri de 6 simboluri folosind cifrele 1, 2, 3 (repetițiile sunt permise).
Totalul codurilor este: \(3^6 = 729\).
Se dorește ca un cod să conțină o cifră de 1, două cifre de 2 și trei cifre de 3.
Numărul favorabil este dat de coeficientul multinomial: \(\displaystyle \frac{6!}{1! \cdot 2! \cdot 3!} = \frac{720}{1 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{720}{12} = 60\).
Probabilitatea este: \(\displaystyle P = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}\)