Trunchi de con

1. Definiție

Trunchiul de con este figura geometrică obținută prin secționarea unui con cu un plan paralel cu baza sa și eliminarea vârfului. Trunchiul de con are:

  • Două baze circulare paralele: baza mare și baza mică.
  • O suprafață laterală în formă de zonă tronconică.

2. Formule

Aria Laterală

Aria laterală a trunchiului de con este:

\[ A_{\text{lat}} = \pi \cdot (R + r) \cdot g \]

unde:

  • \( g \) este generatoarea trunchiului de con (distanța oblică dintre cele două baze).

Aria Totală

Aria totală a trunchiului de con este suma ariei laterale și a ariilor celor două baze:

\[ A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + A_1 + A_2 \]

unde \( A_1 \) și \( A_2 \) sunt ariile bazelor circulare:

\[ A_1 = \pi R^2, \quad A_2 = \pi r^2 \]

Volumul Trunchiului de Con

Volumul unui trunchi de con este dat de formula:

\[ V = \frac{\pi h}{3} \cdot (R^2 + r^2 + R \cdot r) \]

unde:

  • \( h \) este înălțimea trunchiului (distanța dintre cele două baze).
  • \( R \) este raza bazei mari.
  • \( r \) este raza bazei mici.

Secțiunea Diagonală

O secțiune diagonală a trunchiului de con este un trapez isoscel, în care:

  • Bazele trapezului sunt diametrele bazelor mari și mici.
  • Înălțimea trapezului coincide cu înălțimea trunchiului (\( h \)).

3. Exemple Rezolvate

Exemplu 1: Calculul Volumului

Fie un trunchi de con cu:

  • \( R = 6 \, \text{cm} \) (raza bazei mari);
  • \( r = 4 \, \text{cm} \) (raza bazei mici);
  • \( h = 8 \, \text{cm} \) (înălțimea).

Calculați volumul trunchiului de con.

\[ V = \frac{\pi h}{3} \cdot (R^2 + r^2 + R \cdot r) \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 8}{3} \cdot (6^2 + 4^2 + 6 \cdot 4) \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 8}{3} \cdot (36 + 16 + 24) = \frac{\pi \cdot 8}{3} \cdot 76 = \frac{608\pi}{3} \, \text{cm}^3 \]

Răspuns: Volumul este \(\frac{608\pi}{3} \, \text{cm}^3 \).

Exemplu 2: Calculul Ariei Laterale

Fie un trunchi de con cu:

  • \( R = 7 \, \text{cm} \);
  • \( r = 3 \, \text{cm} \);
  • \( g = 10 \, \text{cm} \) (generatoarea).

Calculați aria laterală.

\[ A_{\text{lat}} = \pi \cdot (R + r) \cdot g \]
\[ A_{\text{lat}} = \pi \cdot (7 + 3) \cdot 10 = \pi \cdot 10 \cdot 10 = 100\pi \, \text{cm}^2 \]

Răspuns: Aria laterală este \( 100\pi \, \text{cm}^2 \).

Exemplu 3: Calculul Ariei Totale

Fie un trunchi de con cu:

  • \( R = 5 \, \text{cm} \);
  • \( r = 3 \, \text{cm} \);
  • \( g = 6 \, \text{cm} \) (generatoarea)

Calculați aria totală.

\[ A_{\text{lat}} = \pi \cdot (R + r) \cdot g \]
\[ A_{\text{lat}} = \pi \cdot (5 + 3) \cdot 6 = \pi \cdot 8 \cdot 6 = 48\pi \, \text{cm}^2 \]
\[ A_1 = \pi R_1^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \, \text{cm}^2 \]
\[ A_2 = \pi R_2^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \, \text{cm}^2 \]
\[ A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + A_1 + A_2 = 48\pi + 25\pi + 9\pi = 82\pi \, \text{cm}^2 \]

Răspuns: Aria totală este \( 82\pi \, \text{cm}^2 \).

Exerciții

1
Generatoarea unui trunchi de con circular drept formează cu planul bazei mai mari un unghi de 45°. Razele bazelor sunt de 3 cm și 6 cm. Să se determine aria laterală și volumul trunchiului de con.
2
Razele bazelor unui trunchi de con circular drept sunt de 18 cm și 30 cm, iar generatoarea este de 20 cm. Să se afle:
a) aria laterală a trunchiului de con;
b) volumul trunchiului de con.
3
Într-un vas de forma unui trunchi de con circular drept s-au turnat 312π cm³ de lichid, ceea ce constituie \(\frac{3}{4}\) din capacitatea vasului. Să se determine raza deschizăturii vasului, știind că raza fundului vasului este de 2 cm, iar înălțimea lui este de 24 cm.
4
O piesă din fontă de forma unui trunchi de con cu razele bazelor de 4 cm și 22 cm a fost topită și turnată într-un cilindru echivalent (de același volum) de aceeași înălțime. Să se afle raza bazei cilindrului.
Înapoi Următor