Inecuatii irationale (radicali)

Inecuația irationala este de forma:

\[ \sqrt{f(x)} > g(x), \quad \sqrt{f(x)} \geq g(x), \quad \sqrt{f(x)} < g(x), \quad \sqrt{f(x)} \leq g(x). \]

Metodă de rezolvare

Cazul I ( \( \sqrt{f(x)} < g(x) \), \( \sqrt{f(x)} \leq g(x) \) )

  1. Radicalul trebuie să fie singur în partea stângă.
  2. Determinam DVA: \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \end{cases} \]
  3. Ridicăm la puterea a doua ambele părți și rezolvam.
  4. Construim axa comună cu DVA.

Exemplul 1:

Se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația:

\[ \sqrt{2 - x} - x \leq 0 \]
  1. Radicalul este lasat singur în stânga. \[ \sqrt{2 - x} \leq x \]
  2. Calculam DVA: \[ \text{DVA: } \begin{cases} 2 - x \geq 0 \\ x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} - x \geq -2 \\ x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 2 \\ x \geq 0 \end{cases} \]

    Rezultă: \( \text{DVA} = [0; 2] \)

  3. Ridicăm la pătrat ambele părți: \[ \sqrt{2 - x} \leq x \implies 2 - x \leq x^2 \]
    Reordonăm: \[ -x^2 - x + 2 \leq 0 \]
    Zerourile: \[ -x^2 - x + 2 = 0 \]
    Calculăm delta: \[ \Delta = 1 + 8 = 9, \sqrt{\Delta} = 3 \]
    Zerourile ecuației: \[ x_1 = \frac{1 - 3}{-2} = 1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{-2} = -2 \]
    Construim axa cu doua cerculete colorate, si o parabola cu ramurile in jos, deoarece numarul din fata lui \(x^2\) este negativ. Vom alege intervalele negative.

    \[ x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty) \]
  4. Axa comună cu DVA:
    \[ x \in [1; 2] \]

Răspuns: \( S = [1; 2] \)

Cazul II ( \( \sqrt{f(x)} > g(x) \), \( \sqrt{f(x)} \geq g(x) \) )

Fie aceasta inecuatie ca exemplu: \[ \sqrt{f(x)} > g(x) \]
  1. Caclulam DVA:
    \[\text{DVA: } f(x) \geq 0\]
  2. Construim sistemul si rezolvam: \[ \left[ \begin{array}{l} g(x) < 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} g(x) \geq 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{array} \right. \end{array} \right. \]
  3. Construim axa comuna cu DVA

Exemplu rezolvat

Vom rezolva în \( \mathbb{R} \) inecuația:

\[ \sqrt{x + 6} \geq x \]

Caclulam DVA: \[\text{DVA: } x+6 \geq 0 \implies x \geq -6 \implies x \in [-6; +\infty) \]

Construim sistemul: \[ \left[ \begin{array}{l} x < 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} x \geq 0 \\ x + 6 \geq x^2 \end{array} \right. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} x < 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} x \geq 0 \\ -x^2 + x + 6 \geq 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \]

Caclulam zerourile inecuatiei: \[-x^2 + x + 6 \geq 0\]

\[-x^2 + x + 6 = 0\]

Calculăm discriminantul: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4 \cdot (-1) \cdot (6) = 1 + 24 = 25 \]
Determinăm rădăcinile: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2 \]
Construim parabola cu ramurile in jos si alegem intervalele pozitive

\[x \in [-2; 3]\]

Revenim la sistem \[ \left[ \begin{array}{l} x \in (-\infty; 0) \\ \left\{ \begin{array}{l} x \in [0; +\infty) \\ x \in [-2; 3] \end{array} \right. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} x \in (-\infty; 0) \\ x \in [0; 3] \end{array} \right. \implies x \in (-\infty; 3] \]

Construim axa comuna cu DVA:
Raspuns: \[S = [-6; 3]\]

Exerciții

1
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{x^2 - 15x} < 4\)
2
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{x^2 - 4x} < x - 3\)
3
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(x - \sqrt{2 - x} \leq 0\)
4
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{x + 14} > x + 2\)
5
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{x^2 + x} > 1 - x\)
6
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{2x + 1} > 3x - 9\)
7
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\sqrt{3 - 2x} > \sqrt{x}\).
8
Rezolvați inecuația \(\sqrt{2 - x} < x\).
9
Rezolvați inecuația \(\sqrt{x - 1} \leq 2x - 3\).
10
Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\sqrt{x^2 - 8x} < 3\).

Răspunsuri

Rezolvări

Înapoi Următor