Mărginirea Șirului
Definiție
Un șir \((x_n)_{n \geq 1}\) este mărginint dacă valorile termenilor săi sunt cuprinse între două constante finite, pentru orice \(n\).
Metodă de rezolvare a mărginirii unui șir
- Calculăm termenul inițial \(x_1\).
- Determinăm limita șirului, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n\).
- Analizăm valorile lui \(x_n\) în raport cu aceste limite: dacă toate valorile sunt între limite, șirul este mărginint.
Exemplu Rezolvat
Se consideră șirul: \[ x_n = \frac{2n + 1}{2n + 6}. \] De analizat dacă acest șir este mărginint.
1. Calculul termenului inițial
Calculăm \(x_1\) substituind \(n = 1\):
\[ x_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2 \cdot 1 + 6} = \frac{3}{8}. \]2. Determinarea limitei
Determinăm \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n\):
\[ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{2n + 6}. \]Împărțim toți termenii din numărător și numitor la \(n\):
\[ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{2n}{n} + \frac{6}{n}} = \frac{2 + 0}{2 + 0} = 1. \]3. Analiza valorilor șirului
Observăm că termenii șirului sunt pozitivi și se află între \(\frac{3}{8}\) (valoarea inițială) și 1 (limita când \(n \to \infty\)).
\[ \frac{3}{8} \leq x_n \leq 1, \, \forall n \geq 1. \]Concluzie
Deoarece termenii șirului sunt cuprinși între \(\frac{3}{8}\) și 1, concluzionăm că șirul este mărginint.
Răspuns Final
\[ R/s: \text{Șirul este mărginint.} \]Exerciții
1
Studiati marginea șirului \(\displaystyle x_n = \frac{3 - 2n}{n+5}\)
2
Studiati marginea șirului \(\displaystyle x_n = \frac{n - 5}{6n + 7}\)
3
Studiati marginea șirului \(\displaystyle x_n = \frac{6n + 10}{n + 1}\)