Relații în Triunghi

1. Teorema Sinusului

Teorema sinusului stabilește o relație între laturile unui triunghi și unghiurile opuse acestora.

\[\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \]

Unde:

  • \( a, b, c \) sunt lungimile laturilor triunghiului.
  • \( \alpha, \beta, \gamma \) sunt unghiurile opuse acestor laturi.
  • \( R \) este raza cercului circumscris triunghiului.

Exemplu

Fie un triunghi cu \( a = 7 \), \( \alpha = 30^\circ \), \( \beta = 45^\circ \). Calculați lungimea laturii \( b \).

  1. Aplicăm teorema sinusului:
    2. \(\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}\)
  2. Substituim valorile cunoscute:
    3. \(\displaystyle \frac{7}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}\)
  3. Rezolvăm pas cu pas:
    4. \(\displaystyle \frac{7}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
    \(\displaystyle 14 = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
    \(\displaystyle b = 14 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}\)

Rezultatul: \( b = 7\sqrt{2} \)

2. Intersecția Medianelor

În orice triunghi, medianele se intersectează într-un punct numit centroid sau centrul de greutate. Centroidul împarte fiecare mediană în raportul \( 2:1 \), adică partea dinspre vârful triunghiului este de două ori mai mare decât partea dinspre mijlocul laturii opuse.

Exemplu

Fie triunghiul \( ABC \) cu mediana \( AD \). Dacă lungimea medianei \( AD = 9 \), aflați lungimile segmentelor în care centroidul împarte mediana.

  1. Partea dinspre vârf: \( \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \).
  2. Partea dinspre mijlocul laturii opuse: \( \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 \).

Rezultatul: Centroidul împarte \( AD \) în segmente de \( 6 \) și \( 3 \).

3. Intersecția Bisectoarelor

Bisectoarele unghiurilor unui triunghi se intersectează într-un punct numit centrul cercului înscris (incentrul). Acest punct este centrul cercului care atinge toate laturile triunghiului.

Triunghi circumscris (cerc înscris în triunghi)

Un triunghi este circumscris unui cerc atunci când cercul este înscris în triunghi (tangent la toate cele 3 laturi). Raza cercului înscris este \( r \), iar \( p \) este semiperimetrul.

\[ \boxed{\,r=\frac{A_{\Delta}}{p}\,} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\,r=\frac{2A_{\Delta}}{a+b+c}\,} \] \[ \boxed{\,p=\frac{a+b+c}{2}\,} \qquad\text{și}\qquad \boxed{\,A_{\Delta}=r\cdot p\,} \]

Exemplu

Fie triunghiul \( ABC \) cu laturile \( a = 8 \), \( b = 6 \), \( c = 10 \). Calculați raza cercului înscris.

  1. Calculăm semiperimetrul \( p \):
    2. \(\displaystyle p = \frac{a+b+c}{2}=\frac{8+6+10}{2}=12\)
  2. Calculăm aria triunghiului (Heron):
    3. \(\displaystyle A_{\Delta}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12\cdot4\cdot6\cdot2}\)
    \(\displaystyle A_{\Delta}=\sqrt{576}=24\)
  3. Calculăm raza cercului înscris:
    4. \(\displaystyle r=\frac{A_{\Delta}}{p}=\frac{24}{12}=2\)

Rezultatul: Raza cercului înscris este \( r=2 \).

4. Triunghi înscris în cerc (cercul circumscris)

Un triunghi este înscris într-un cerc atunci când toate cele 3 vârfuri sunt pe cerc. Acest cerc se numește cercul circumscris triunghiului, iar raza lui este \( R \).

\[ \boxed{\,R=\frac{abc}{4A_{\Delta}}\,} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\,R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4A_{\triangle ABC}}\,} \]

Exemplu

Fie triunghiul cu laturile \( a=6 \), \( b=8 \), \( c=10 \). Calculați raza cercului circumscris \( R \).

  1. Calculăm semiperimetrul \( p \):
    2. \(\displaystyle p=\frac{6+8+10}{2}=12\)
  2. Calculăm aria \( A_{\Delta} \) (Heron):
    3. \(\displaystyle A_{\Delta}=\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}=\sqrt{12\cdot6\cdot4\cdot2}\)
    \(\displaystyle A_{\Delta}=\sqrt{576}=24\)
  3. Aplicăm formula razei cercului circumscris:
    4. \(\displaystyle R=\frac{abc}{4A_{\Delta}}=\frac{6\cdot8\cdot10}{4\cdot24}=\frac{480}{96}=5\)

Rezultatul: \( R=5 \).

Exerciții

1
Într-un triunghi dreptunghic, măsura unui unghi ascuțit este egală cu 30°, iar lungimea catetei mai mari este egală cu \(5\sqrt{3}\) cm. Determinați aria discului mărginit de cercul circumscris triunghiului.
2
Fie ABC un triunghi dreptunghic, în care m(∠A) = 90°, iar bisectoarea BK împarte cateta AC în segmentele AK = 8 cm și KC = 10 cm. Determinați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC.
3
Fie triunghiul \(ABC\). Un cerc, cu diametrul \(AC\), intersectează latura \(AB\) în punctul \(D\). Calculați aria triunghiului \(ABC\), dacă \(AC = 20 \, \text{cm}\), \(AD = 12 \, \text{cm}\), \(m(\angle ABC) = 45^\circ\).
Înapoi Următor