Operații cu Numere

Numere pozitive și negative

Numere pozitive: Numere mai mari decât 0, de exemplu: 1; 2; 3; 4; 5; ...
Numere negative: Numere mai mici decât 0, de exemplu: -1; -2; -3; -4; -5; ...

Exemplu vizualizare pe axă:

La stânga lui 0 avem -1, -2, -3, iar la dreapta lui 0 avem 1, 2, 3.
Deci, cu cât ne mișcăm la stânga pe axă, cu atât numerele scad, iar cu cât ne mișcăm spre dreapta, numerele cresc!

Adunarea și scăderea numerelor

Dacă numerele au același semn, le adunăm ca pe numere obișnuite și păstrăm semnul.

\(3 + 5 = 8\)
Ambele numere sunt pozitive, deci s-au adunat și s-a pus semnul lor comun "+" în fața rezultatului.
\(-3 + (-5) = -8\) sau \(-3 -5 = -8\)
Ambele numere sunt negative, deci s-au adunat și s-a pus semnul lor comun "-" în fața rezultatului.

Dacă numerele au semne diferite, scădem valoarea mai mică din valoarea mai mare și păstrăm semnul numărului mai mare.

\(-5 + 8 = 3\)
Numerele au semne diferite, deci s-a scăzut din numărul 8, pentru că este mai mare, numărul 5, iar la rezultat s-a pus semnul din fața lui 8, adică "+".
\(6 - 9 = -3\)
Numărul 6 este pozitiv, iar 9 este negativ, deci am scăzut din 9 numărul 6, și în față am pus semnul din fața lui 9, adică "-".

Vizualizare pe axa numerică:

Ne deplasăm spre dreapta pentru adunare și spre stânga pentru scădere.

Exemplu: \(3 + (-5)\): Pornim de la \(3\), ne deplasăm 5 unități spre stânga. Răspuns: \(-2\).

La adunare sau scădere, atunci când avem "\(- -\)" se va transforma în "\(+\)", iar când avem "\(+ -\)" se va transforma în "\(-\)".

\( -5 - (-8) = -5+8 = 3 \)
\( 4 + (-5) = 4 - 5 = -1 \)

Numere cu virgule:

Funcționează la fel ca numerele întregi, dar trebuie să aliniem virgula:

\(2.3 + 1.7 = 4.0 = 4\)
\(3.2 - 1.8 = 1.4\)

Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

Înmulțirea:

Atunci când se adună de mai multe ori același număr, de exemplu 4 + 4 + 4, aceasta poate fi reprezentată cu ajutorul înmulțirii, ca \( 4 \cdot 3 \) sau \( 3 \cdot 4 \).

Deci, înmulțirea este adunarea repetată a aceluiași număr.

Pentru a ne fi mai ușor la rezolvarea exercițiilor, trebuie memorată tabla înmulțirii. Însă, în caz că uităm înmulțirea unor numere, putem să le adunăm repetat, exact cum am făcut mai sus cu 4 + 4 + 4.

La înmulțire avem niște reguli în privința semnelor:

Pozitiv × Pozitiv = Pozitiv

Exemplu: \(3 \cdot 5 = 15\)

Negativ × Negativ = Pozitiv

Exemplu: \((-3) \cdot (-5) = 15\)

Pozitiv × Negativ = Negativ

Exemplu: \(3 \cdot (-5) = -15\)

Negativ × Pozitiv = Negativ

Exemplu: \(-3 \cdot 5 = -15\)

Împărțirea:

Împărțirea este operația inversă a înmulțirii. Dacă \(3 \cdot 5 = 15 \), atunci \(15 : 3 = 5\) sau \(15 : 5 = 3\).

Ar fi util să cunoaștem tabla înmulțirii pentru a putea împărți numerele mai eficient și mai rapid. Însă, în caz că uităm împărțirea unor numere, putem calcula în felul următor: scădem al doilea număr din primul număr până când ajungem la rezultatul 0, și calculăm de câte ori am scăzut, și acesta va fi rezultatul împărțirii.

Spre exemplu \( 15 : 5 \), scădem 5 din 15 până când avem 0:

\(15 - 5 = 10\)
\(10 - 5 = 5\)
\(5 - 5 = 0\)

Deci, rezultatul împărțirii \(15 : 5\) este 3, deoarece a trebuit să scădem 5 de 3 ori din 15 ca să avem 0.

Regulile la împărțire în privința semnelor este aceeași ca la înmulțire.

Semnele înmulțirii și împărțirii

−

Înmulțirea numerelor zecimale

Pașii de calcul a două numere cu virgulă:

Ignorăm virgula și înmulțim ca pe numere întregi.
Numărăm câte zecimale au factorii la un loc și punem virgula corespunzător în rezultat.

Exemplu: \(2,3 \cdot 1,5\)

\(23 \cdot 15 = 345\)
Deoarece avem 2 zecimale (una din \(2.3\) și una din \(1.5\)), răspunsul devine \(3,45\).

Înmulțirea/Împărțirea cu 10, 100, etc.

Înmulțirea:

\(2,3 \cdot 10 = 23\)
\(2,3 \cdot 100 = 230\)

Împărțirea:

\(230 : 10 = 23\)
\(230 : 100 = 2,3\)

Fracțiile

O fracție reprezintă o parte dintr-un întreg. Este formată din:

Numărător: Numărul de sus care arată câte părți avem.
Numitor: Numărul de jos care arată în câte părți este împărțit întregul.

Exemplu: Fracția \(\displaystyle \frac{3}{4} \) reprezintă 3 părți dintr-un întreg împărțit în 4. Numărătorul este 3, iar numitorul este 4.

Împărțirea poate fi reprezentată ca fracție, și invers - fracția poate fi reprezentată ca împărțire:
\(\displaystyle \frac{15}{3} = 15 : 3 = 5 \)

Operații cu fracții

Adunare și scădere:

Dacă fracțiile au același numitor, adunăm/scădem numărătorii, iar numitorul rămâne același.

\(\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{2+3}{5} = \frac{5}{5} = 1 \)

Dacă fracțiile au numitori diferiți, găsim un numitor comun, transformăm fracțiile și apoi efectuăm operația.

\(\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \)

Prima fracție a fost amplificată cu 4, iar a doua a fost amplificată cu 3, astfel numitorul fiecăreia este 12.

Înmulțire:

Înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei.

\(\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} \)

Împărțire:

Întoarcem a doua fracție (o inversăm) și efectuăm o înmulțire.

\(\displaystyle \frac{2}{3} : \frac{7}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}\)

Simplificarea:

Atunci când la rezultat avem o fracție, trebuie să verificăm dacă mai poate fi simplificată. Asta înseamnă să găsim un număr diferit de 1 care îl putem împărți și la numărător, și la numitor, astfel încât să obținem numere întregi.

\(\displaystyle \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)

Numărul la care se împarte exact și 6, dar și 15 - este 3, deci \(6:3=2\) și \(15:3=5\).

La înmulțire putem simplifica numerele de pe diagonală și să înmulțim apoi ceea ce rămâne.

\(\displaystyle \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{3} \)

În prima diagonală avem 8 și 4. Ambele numere se împart exact la 4, deci \(8:4=2\) și \(4:4=1\).
În a doua diagonală avem 5 și 15. Ambele numere se împart exact la 5, deci \(5:5=1\) și \(15:5=3\).

Introducerea întregului în fracție

Numărul întreg se înmulțește cu numitorul fracției și rezultatul se adună cu numărătorul - acesta va fi noul numărător, iar numitorul rămâne neschimbat.

Exemplu: \(\displaystyle 2 \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5} \).

Dacă avem un număr întreg, îl putem scrie ca fracție punând 1 ca numitor.

Exemplu: \(\displaystyle 3 = \frac{3}{1} \).

Fracție compusă

O fracție poate conține alte fracții în numărător sau numitor. Simplificăm aceste cazuri transformând fracțiile în împărțire:

Exemplu: \(\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Exemplu: \(\displaystyle \frac{5}{\frac{25}{3}} = 5 : \frac{25}{3} = \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{25} = \frac{3}{5} \).

Ridicarea la putere a numerelor

Ridicarea unui număr întreg la o putere înseamnă înmulțirea acelui număr de mai multe ori cu el însuși.

\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
\( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \)

Ridicarea la putere a fracțiilor

Pentru fracții, ridicăm separat numărătorul și numitorul la puterea indicată.

\( \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \)

Ridicarea numerelor negative la puteri pare/impare

Putere pară: Rezultatul este pozitiv.
Putere impară: Rezultatul este negativ.

\( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \) (putere pară)
\( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \) (putere impară)

Ordinea operațiilor

În matematică, operațiile se efectuează în următoarea ordine:

Paranteze: Se rezolvă întâi expresiile dintre paranteze.
Puteri: Se calculează ridicările la putere.
Înmulțiri și împărțiri: Se efectuează de la stânga la dreapta.
Adunări și scăderi: Se efectuează de la stânga la dreapta.

Exemplu: \( 3 + 2 \cdot (4 - 1)^2 \)
1. Rezolvăm paranteza: \( 4 - 1 = 3 \)
2. Ridicăm la putere: \( 3^2 = 9 \)
3. Înmulțim: \( 2 \cdot 9 = 18 \)
4. Adunăm: \( 3 + 18 = 21 \)

Cuprins

Explicație