Paritatea Funcției
Definiție
O funcție este caracterizată ca fiind pară sau impară, în funcție de comportamentul ei față de simetria graficului în raport cu axele de coordonate.
Metoda de rezolvare pentru determinarea parității:
- Calculăm \(f(-x)\).
- Comparam \(f(-x)\) cu \(f(x)\):
- Dacă \(f(-x) = f(x)\), funcția este pară.
- Dacă \(f(-x) = -f(x)\), funcția este impară.
- Daca nici una din cele doua conditii de mai sus nu este indeplinita, atunci functia nu este nici para, nici impara.
Proprietăți și formule
- Funcțiile trigonometrice parități:
- \(\cos(-x) = \cos(x)\) → Funcția \(\cos(x)\) este pară.
- \(\sin(-x) = -\sin(x)\) → Funcția \(\sin(x)\) este impară.
Exemple
1. Determinarea parității pentru \(f(x) = x^2\)
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x) = (-x)^2 = x^2. \]Observăm că \(f(-x) = f(x)\), deci funcția este pară.
2. Determinarea parității pentru \(f(x) = x^3\)
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x) = (-x)^3 = -x^3. \]Observăm că \(f(-x) = -f(x)\), deci funcția este impară.
3. Funcție care nu este nici pară, nici impară: \(f(x) = x^2 + x\)
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x. \]Observăm că \(f(-x) \neq f(x)\) și \(f(-x) \neq -f(x)\). Deci funcția nu este nici pară, nici impară.
Exerciții
1
Studiati paritatea funcției \(\displaystyle f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x) = x^3 + \frac{1}{x}\).
2
Studiati paritatea funcției \( f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + \cos x \).
3
Studiati paritatea funcției \(\displaystyle f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x) = x + \frac{1}{x^3}\).
4
Studiati paritatea funcției \(\displaystyle f(x) = x^4 - 2x^2 + 5\).
5
Studiati paritatea funcției \(\displaystyle f(x) = \sin x + x^3\).
6
Studiati paritatea funcției \(\displaystyle f(x) = \cos x + x^2\).
7
Studiati paritatea funcției \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}\).
8
Studiati paritatea funcției \(\displaystyle f(x) = e^x + e^{-x}\).
9
Studiati paritatea funcției \(\displaystyle f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x\).
10
Studiati paritatea funcției \(\displaystyle f(x) = \tan x + x\).