Polinom: Rădăcina
1. Rădăcina polinomului
Rădăcinile unui polinom se obțin rezolvând ecuația \( P(X) = 0 \).
Dacă \( X = a \) este o rădăcină a polinomului, atunci \( P(a) = 0 \)
- Dacă \( X = 3 \) este o rădăcină a polinomului, atunci \( P(3) = 0 \).
- Dacă \( X = -27 \) este o rădăcină a polinomului, atunci \( P(-27) = 0 \).
2. Exemplu Rezolvat
Fie polinomul \( P(X) = X^4 + a X^3 - X - 1 \), unde \( a \in \mathbb{Z} \). Aflați valoarea lui a, daca \( X = 1 \) este rădăcină a polinomului \(P(X)\).
\( P(1) = 0 \)
\(\Rightarrow 1^4 + a \cdot 1^3 - 1 - 1 = 0 \)
\( \Rightarrow 1 + a - 1 - 1 = 0 \)
\(\Rightarrow a = 1 \)
\(\Rightarrow 1^4 + a \cdot 1^3 - 1 - 1 = 0 \)
\( \Rightarrow 1 + a - 1 - 1 = 0 \)
\(\Rightarrow a = 1 \)
Răspuns: \( a = 1 \).
3. Rădăcina Dublă a Polinomului
O rădăcină \( X = a \) se numește rădăcină dublă dacă nu doar \( P(a) = 0 \), ci și derivata \( P'(a) = 0 \).
Alta metoda este de a imparti polinomul de doua ori la \(X - a\), si de a egala restul fiecarei impartiri la 0.
Exerciții
1
Aflati \(a\), daca \(X=1\) este radacina a polinomului \(P(X) = X^4 + aX^3 - X - 1\).
2
Fie polinomul \(P(X) = -X^4 + 2mX^3 + (m^2+3)X^2 - 5mX + 6\), \(m \in \mathbb{R}\). Determinati \(m \in \mathbb{R}\), daca \(X=-2\) este o radacina a lui \(P(X)\).
3
Fie polinomul \(P(X) = X^3 - X^2 - aX + 3\), \(a \in \mathbb{R}\). Determinati \(a \in \mathbb{R}\), daca \(X=\sqrt{3}\) este o radacina a polinomului \(P(X)\).
4
Determinati valorile reale ale lui \(m\), astfel incat \(X=2\) sa fie o radacina a polinomului \(P(X) = X^3 + mX^2 - 5X + 6\).