Un corp de rotație este generat prin rotirea graficului unei funcții \( f(x) \) în jurul axei Ox, între limitele \( a \) și \( b \). Volumul corpului de rotație se calculează utilizând formula:
Metoda de rezolvare
Exemplu Rezolvat
Calculați volumul corpului de rotație determinat de funcția:
\[ f(x) = x^2 - 3x, \quad x \in [2, 3] \] \[ V(C_f) = \pi \int_2^3 \left[ f(x) \right]^2 dx = \pi \int_2^3 \left( x^2 - 3x \right)^2 dx \] \[ \left( x^2 - 3x \right)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2 \] \[ V(C_f) = \pi \int_2^3 \left( x^4 - 6x^3 + 9x^2 \right) dx \] Integrăm fiecare termen: \[ \int x^4 dx = \frac{x^5}{5}, \quad \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \] Aplicăm limitele de integrare: \[ V(C_f) = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{6x^4}{4} + \frac{9x^3}{3} \right]_2^3 \] Calculăm termenii la \( x = 3 \): \[ \frac{3^5}{5} = \frac{243}{5}, \quad \frac{6 \cdot 3^4}{4} = \frac{486}{4} = 121.5, \quad \frac{9 \cdot 3^3}{3} = 81 \] Calculăm termenii la \( x = 2 \): \[ \frac{2^5}{5} = \frac{32}{5}, \quad \frac{6 \cdot 2^4}{4} = 48, \quad \frac{9 \cdot 2^3}{3} = 24 \] Diferența dintre limite: \[ V(C_f) = \pi \left[ \left( \frac{243}{5} - \frac{121.5}{1} + 81 \right) - \left( \frac{32}{5} - 48 + 24 \right) \right] \] Simplificăm: \[ V(C_f) = \pi \left( \frac{211}{5} - \frac{243}{2} + 81 \right) \] \[ V(C_f) = \frac{17\pi}{10} \, \text{(u.c.)} \]
1
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \( f : [0, 2] \to \mathbb{R}, \ f(x) = x^2 + 2x \)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{496\pi}{15}\)
2
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \( f : [0, 1] \to \mathbb{R}, \ f(x) = \sqrt{x} + 1 \)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{17\pi}{6}\)
3
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \( f : [1, 3] \to \mathbb{R}, \ f(x) = -x + 4 \)
Răspuns: \(\displaystyle V = \frac{26\pi}{3}\)
4
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [1, 2] \to \mathbb{R}, \ f(x) = \frac{6}{x^2} \)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{7\pi}{2}\)
5
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [0, \frac{\pi}{4}] \to \mathbb{R}, \ f(x) = \sqrt{\sin x} \)
Răspuns: \(\displaystyle \pi \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}\)
6
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [1, e] \to \mathbb{R}, \ f(x) = \sqrt{\frac{\ln x}{x}} \)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
7
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \( f : [0, 1] \to \mathbb{R}, \ f(x) = \sqrt{x \cdot e^{x}} \)
Răspuns: \(\pi\)
8
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [0, \frac{\pi}{12}] \to \mathbb{R}, \ f(x) = \sqrt{\sin 3x} \)
Răspuns: \(\displaystyle \pi \cdot \frac{-1 - \sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\)
9
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [0, 1] \to \mathbb{R}, \ f(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x + 2}} \)
Răspuns: \(\displaystyle \pi \cdot \left( 1 - \ln\left( \frac{3}{2} \right) \right)\)
1
\(\displaystyle \frac{496\pi}{15}\)
2
\(\displaystyle \frac{17\pi}{6}\)
3
\(\displaystyle V = \frac{26\pi}{3}\)
4
\(\displaystyle \frac{7\pi}{2}\)
5
\(\displaystyle \pi \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}\)
6
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
8
\(\displaystyle \pi \cdot \frac{-1 - \sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\)
9
\(\displaystyle \pi \cdot \left( 1 - \ln\left( \frac{3}{2} \right) \right)\)
1
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [0, 2] \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^2 + 2x\)
Formula pentru volumul corpului de rotație este: \(\displaystyle V = \pi \int_a^b f(x)^2 \, dx\)
În cazul nostru: \(\displaystyle V = \pi \int_0^2 (x^2 + 2x)^2 \, dx\)
Dezvoltăm expresia: \(\displaystyle (x^2 + 2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2\)
Astfel: \(\displaystyle V = \pi \int_0^2 (x^4 + 4x^3 + 4x^2) \, dx\)
Calculăm integralele: \(\displaystyle \int_0^2 x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \bigg|_0^2 = \frac{32}{5}\)
\(\displaystyle \int_0^2 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} \bigg|_0^2 = 16\)
\(\displaystyle \int_0^2 4x^2 \, dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} \bigg|_0^2 = \frac{32}{3}\)
Așadar: \(\displaystyle V = \pi \left( \frac{32}{5} + 16 + \frac{32}{3} \right)\)
Calculăm suma: \(\displaystyle V = \pi \left( \frac{96}{15} + \frac{240}{15} + \frac{160}{15} \right) = \pi \cdot \frac{496}{15}\)
Deci volumul este: \(\displaystyle V = \frac{496\pi}{15}\)
2
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [0, 1] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{x} + 1\)
Formula pentru volumul este: \(\displaystyle V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x} + 1)^2 \, dx\)
Dezvoltăm expresia: \(\displaystyle (\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1\)
Astfel: \(\displaystyle V = \pi \int_0^1 (x + 2\sqrt{x} + 1) \, dx\)
Calculăm integralele: \(\displaystyle \int_0^1 x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_0^1 = \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \int_0^1 2\sqrt{x} \, dx = 2 \cdot \frac{2x^{3/2}}{3} \bigg|_0^1 = \frac{4}{3}\)
\(\displaystyle \int_0^1 1 \, dx = x \bigg|_0^1 = 1\)
Așadar: \(\displaystyle V = \pi \left( \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + 1 \right)\)
Calculăm suma: \(\displaystyle V = \pi \left( \frac{3}{6} + \frac{8}{6} + \frac{6}{6} \right) = \pi \cdot \frac{17}{6}\)
Deci volumul este: \(\displaystyle V = \frac{17\pi}{6}\)
3
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [1, 3] \to \mathbb{R}, \, f(x) = -x + 4\)
Formula pentru volumul este: \(\displaystyle V = \pi \int_1^3 (-x + 4)^2 \, dx\)
Dezvoltăm expresia: \(\displaystyle (-x + 4)^2 = x^2 - 8x + 16\)
Astfel: \(\displaystyle V = \pi \int_1^3 (x^2 - 8x + 16) \, dx\)
Calculăm integralele: \(\displaystyle \int_1^3 x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\)
\(\displaystyle \int_1^3 -8x \, dx = -8 \cdot \frac{x^2}{2} \bigg|_1^3 = -8 \cdot \frac{9 - 1}{2} = -32\)
\(\displaystyle \int_1^3 16 \, dx = 16 \cdot (3 - 1) = 32\)
Așadar: \(\displaystyle V = \pi \left( \frac{26}{3} - 32 + 32 \right) = \pi \cdot \frac{26}{3}\)
Deci volumul este: \(\displaystyle V = \frac{26\pi}{3}\)
4
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [1, 2] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{6}{x^2}\)
Formula pentru volumul este: \(\displaystyle V = \pi \int_1^2 \left( \frac{6}{x^2} \right)^2 \, dx\)
Calculăm: \(\displaystyle \left( \frac{6}{x^2} \right)^2 = \frac{36}{x^4}\)
Astfel: \(\displaystyle V = \pi \int_1^2 \frac{36}{x^4} \, dx\)
Calculăm integrală: \(\displaystyle \int_1^2 \frac{36}{x^4} \, dx = 36 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} \bigg|_1^2 = 36 \cdot \frac{1}{3} \left( \frac{1}{8} - 1 \right) = 36 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{7}{8} \right)\)
Așadar: \(\displaystyle V = \pi \cdot 36 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{7}{8} \right) = \pi \cdot \left( -\frac{84}{24} \right) = -\frac{7\pi}{2}\)
Volumul este: \(\displaystyle V = \frac{7\pi}{2}\)
5
ă se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [0, \frac{\pi}{4}] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{\sin x}\)
Formula pentru volumul este: \(\displaystyle V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sqrt{\sin x})^2 \, dx = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx\)
Calculăm integrală: \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx = -\cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} = -\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + \cos(0)\)
\(\displaystyle \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos(0) = 1\)
Așadar: \(\displaystyle V = \pi \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\)
Volumul este: \(\displaystyle V = \pi \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \pi \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}\)
6
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [1, e] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{\frac{\ln x}{x}}\)
Formula pentru volumul este: \(\displaystyle V = \pi \int_1^e \left( \sqrt{\frac{\ln x}{x}} \right)^2 \, dx = \pi \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx\)
Calculăm integrală: \(\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx\)
Observăm că \(\displaystyle \int \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2}\)
Așadar: \(\displaystyle V = \pi \cdot \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_1^e\)
Calculăm la limite: \(\displaystyle \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_1^e = \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}\)
Volumul este: \(\displaystyle V = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}\)
7
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [0, 1] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{x \cdot e^{x}}\)
Formula pentru volumul este: \(\displaystyle V = \pi \int_0^1 \left( \sqrt{x \cdot e^x} \right)^2 \, dx = \pi \int_0^1 x \cdot e^x \, dx\)
Calculăm integrală folosind integrarea prin părți: \(\displaystyle u = x, \, dv = e^x \, dx\)
Derivăm și integrăm: \(\displaystyle du = dx, \, v = e^x\)
Aplicăm formula de integrare prin părți: \(\displaystyle \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx\)
Așadar: \(\displaystyle \int x e^x \, dx = x e^x - e^x\)
Calculăm limita: \(\displaystyle \int_0^1 x e^x \, dx = \left[ x e^x - e^x \right]_0^1 = (1 \cdot e^1 - e^1) - (0 \cdot e^0 - e^0)\)
\(\displaystyle = (e - e) - (0 - 1) = 1\)
Volumul este: \(\displaystyle V = \pi \cdot 1 = \pi\)
8
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [0, \frac{\pi}{12}] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{\sin 3x}\)
Formula pentru volumul este: \(\displaystyle V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{12}} (\sqrt{\sin 3x})^2 \, dx = \pi \int_0^{\frac{\pi}{12}} \sin 3x \, dx\)
Calculăm integrală: \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{12}} \sin 3x \, dx = \frac{-\cos 3x}{3} \bigg|_0^{\frac{\pi}{12}}\)
\(\displaystyle = \frac{-\cos \left( 3 \cdot \frac{\pi}{12} \right)}{3} + \frac{-\cos(0)}{3} = \frac{-\cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{3} + \frac{-1}{3}\)
\(\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Așadar: \(\displaystyle V = \pi \cdot \left( \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}} - 1}{3} \right)\)
Volumul este: \(\displaystyle V = \pi \cdot \frac{-1 - \sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\)
9
Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția: \(\displaystyle f : [0, 1] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x + 2}}\)
Formula pentru volumul este: \(\displaystyle V = \pi \int_0^1 \left( \sqrt{\frac{x + 1}{x + 2}} \right)^2 \, dx = \pi \int_0^1 \frac{x + 1}{x + 2} \, dx\)
Calculăm integrală: \(\displaystyle \int_0^1 \frac{x + 1}{x + 2} \, dx\)
Dividim termenii: \(\displaystyle \frac{x + 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2}\)
Așadar: \(\displaystyle V = \pi \int_0^1 1 \, dx - \pi \int_0^1 \frac{1}{x + 2} \, dx\)
Calculăm fiecare integrală: \(\displaystyle \int_0^1 1 \, dx = 1\)
\(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x + 2} \, dx = \ln(x + 2) \bigg|_0^1 = \ln(3) - \ln(2)\)
Așadar: \(\displaystyle V = \pi \left( 1 - \left( \ln(3) - \ln(2) \right) \right)\)
Volumul este: \(\displaystyle V = \pi \cdot \left( 1 - \ln\left( \frac{3}{2} \right) \right)\)