Ecuații irationale (radicali)

Metoda de Rezolvare

  1. Izolarea radicalului: Radicalul trebuie să fie singur în partea stângă a ecuației. \[ \sqrt{f(x)} = g(x) \]
  2. Determinarea Domeniului de Valori Admisibile al Ecuației (DVA): Determinăm valorile pentru care radicalul și funcția de sub radical sunt definite: \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \end{cases} \]
  3. Ridicarea la pătrat: Ridicăm ambele părți ale ecuației la pătrat pentru a elimina radicalul: \[ \left( \sqrt{f(x)} \right)^2 = \left( g(x) \right)^2 \implies f(x) = g^2(x) \]
  4. Verificarea soluțiilor: Soluțiile obținute se verifică pentru a vedea dacă se află în DVA.

Exemplu Rezolvat

Rezolvați ecuația în \(\mathbb{R}\):

\[ \sqrt{15 + 3x} + x = 1 \]

  1. Izolăm radicalul: \[ \sqrt{15 + 3x} = 1 - x \]
  2. Determinăm DVA: \[ \text{DVA: } \begin{cases} 15 + 3x \geq 0 \\ 1 - x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \geq -15 \\ -x \geq -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{-15}{3} \\ x \leq \frac{-1}{-1} \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -5 \\ x \leq 1 \end{cases} \]

    Rezultă: \[ \text{DVA} = [-5; 1] \]
  3. Ridicăm la pătrat: \[ \left( \sqrt{15 + 3x} \right)^2 = \left( 1 - x \right)^2 \implies 15 + 3x = 1 - 2x + x^2. \] Obținem: \[ x^2 - 5x - 14 = 0. \]
  4. Rezolvăm ecuația de gradul 2: \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81, \quad \sqrt{\Delta} = 9. \] Soluțiile sunt: \[ x_1 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7. \]
  5. Verificăm soluțiile în D.V.A.: \[ x_1 = -2 \in [-5; 1], \quad x_2 = 7 \notin [-5; 1]. \] Rămâne doar \( x_1 = -2 \).

Răspuns: \(\mathbf{S = \{-2\}}\)

Exerciții

1
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x} + 2 = x\)
2
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle 6 \sqrt{x} - x = -16\)
3
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{3 - x} = 2x\)
4
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x + 1} - 2x = 1\)
5
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x + 2} - x = 0\)
6
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x - 1} - x = -7\)
7
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{4x + 12} = x\)
8
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{x^2 - 1} = 2\)
9
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{3 - 2x^2} = 1\)
10
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{6x - 4} = 0\)
11
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{7 - 3x} = x + 7\)
12
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{15 + 3x} = 1 - x\)
13
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(3x + 5 = \sqrt{3 - x}\)
14
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-5x + 12} = 3\).
15
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt{4 - x} = x - 2\).
16
Rezolvați ecuația \(\sqrt{24 - 10x} - 3 + 4x = 0\).
17
Rezolvați ecuația \(\sqrt{x + 9} + x + 8 = 0\).
18
Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt{10 - x} = 4 - x\).
19
Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(5^{4\sqrt{x - 3} - x} = 1\).
20
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt{4 - x} \cdot (x^2 - 3x - 10) = 0\).
21
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\left(\frac{4}{9}\right)^{\sqrt{x}} = (2,25)^{\sqrt{x-1}}\).
Înapoi Următor