Monotonia Funcției

Definiție

O funcție \( f(x) \) este:

Monoton crescătoare pe un interval dacă derivata primește valori pozitive: \( f'(x) \geq 0 \implies f(x) \text{ este crescătoare.} \)
Monoton descrescătoare pe un interval dacă derivata primește valori negative: \( f'(x) \leq 0 \implies f(x) \text{ este descrescătoare.} \)

Metoda de Rezolvare

Calculăm derivata funcției: \( f'(x) \).
Rezolvăm ecuația \( f'(x) = 0 \), pentru a găsi punctele critice \( x_1, x_2, \dots \).
Construim o axă semn, marcând punctele critice \( x_1, x_2, \dots \). Determinăm semnul derivatelor \( f'(x) \) pe fiecare interval obținut.

Exemplu Rezolvat

Fie funcția \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \). Să determinăm monotonia funcției.

1. Calculăm derivata funcției:

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2. \]

2. Rezolvăm ecuația \( f'(x) = 0 \):

\[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \implies x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{6} = \frac{6 \pm 2}{6}. \] Deci: \[ x_1 = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{2}{3}. \]

3. Construim axa semnului:

Examinăm derivata pe intervalele \((-\infty, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}), (\frac{4}{3}, \infty)\):

Pe \((-\infty, \frac{2}{3})\), derivata \( f'(x) > 0 \implies f(x) \) este crescătoare.
Pe \((\frac{2}{3}, \frac{4}{3})\), derivata \( f'(x) < 0 \implies f(x) \) este descrescătoare.
Pe \((\frac{4}{3}, \infty)\), derivata \( f'(x) > 0 \implies f(x) \) este crescătoare.

4. Concluzie:

Funcția \( f(x) \) este:

Monoton crescătoare pe \( (-\infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty). \)
Monoton descrescătoare pe \( (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}). \)

Exerciții

Determinați intervalul pe care funcția \( f: (0; +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = 6\sqrt{x} - x \) este monoton descrescătoare.

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 1 \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).

Fie funcția \( f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{x^2 + 1}{x} \). Determinați intervalele, pe care funcția \( f \) este descrescătoare.

Fie funcția \( f: (0; +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x - \ln x \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 12x - 5 \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).

Fie funcția \( f: (0; +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x\ln x \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).

Fie funcția \( f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{x^3 + 2}{x} \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).

Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și extremele locale ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=x^{4}-2 x^{2}-3 \).

Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și extremele locale ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-1 \).

Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și extremele locale ale funcției \( \displaystyle f: D \rightarrow R, f(x)=\frac{x}{\ln x} \).

Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=e^{x}\left(7 x^{3}-2 x^{4}\right) \).

Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=x e^{-3 x} \).

Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\frac{x}{x^{2}+1} \).

Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\left|x^{2}-4 x\right| \).

Fie funcţia \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=-2 x^{3}-3 x^{2}+12 x-5 \). Utilizând monotonia funcției \( \displaystyle f \), comparați \( \displaystyle f(\pi) \) și \( \displaystyle f(3) \).

Fie funcția \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=x \cdot e^{1-2 x^{2}} \). Determinați punctele critice.

Fie funcția \( \displaystyle f: R^{*} \rightarrow \mathrm{R}, f(x)=\frac{x^{2}+1}{x} \). Determinați intervalele pe care funcția este monoton descrescătoare.

Determinaţi intervalele de monotonie, punctele de extrem local, extremele locale ale funcţiei \( \displaystyle f: R \rightarrow R f(x)=x^{4} \cdot e^{-x} \).

Răspunsuri

Funcția este monoton descrescătoare pe intervalul \( [9, +\infty) \)

Funcția este monoton descrescătoare pe intervalul \( (-\infty, -1] \) și monoton crescătoare pe intervalul \( [-1, +\infty) \)

Funcția este descrescătoare pe intervalele \( [-1, 0) \) și \( (0, 1] \)

Funcția este descrescătoare pe intervalul \( (0, 1] \) și crescătoare pe intervalul \( [1, +\infty) \)

Funcția este descrescătoare pe intervalele \( (-\infty, -2] \) și \( [1, +\infty) \) și crescătoare pe intervalul \( [-2, 1] \)

Funcția este descrescătoare pe intervalul \( (0, \frac{1}{e}] \) și crescătoare pe intervalul \( [\frac{1}{e}, +\infty) \)

Funcția este descrescătoare pe intervalele \( (-\infty, 0) \) și \( (0, 1] \) și crescătoare pe intervalul \( [1, +\infty) \)

\( \displaystyle f(-1)=-4, f(0)=-3, f(1)=-4 \) - extremele locale ale funcției.

\( \displaystyle f(-1)=3-4-1=-2 \) este minimul local al funcției.

\( \displaystyle f(e)=e \) este extremul local (minimul local) al funcției.

\( \displaystyle x=3 \) este punct de maxim local.

\( \displaystyle x=\frac{1}{3} \) este punct de maxim local.

\( \displaystyle x=1 \) este punct de maxim local.

\( \displaystyle f \) este monoton descrescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle (-\infty ; 0],[2 ; 4] \).

\( \displaystyle f(\pi) < f(3) \). - *Nota: There was an error in the initial solution, which has been corrected here. Since f is decreasing, and pi < 3, then f(pi) > f(3)*

\( \displaystyle x \in\{-0,5 ; 0,5\} \).

Funcția \( \displaystyle f \) este monoton descrescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle [-1 ; 0) \) și \( \displaystyle (0 ; 1] \).

\( \displaystyle f(0)=0, f(4)=\frac{256}{e^{4}}-\text { extremele locale ale funcției. } \)

Rezolvări

Calculăm derivata: \( f'(x) = \displaystyle \frac{6}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{3}{\sqrt{x}} - 1 \). Punem condiția \( f'(x) = 0 \), adică \( \displaystyle \frac{3}{\sqrt{x}} = 1 \), deci \( \sqrt{x} = 3 \), de unde \( x = 9 \). Analizăm semnul derivatei:

x	\((0, 9)\)	\(9\)	\((9, +\infty)\)
f'(x)	+	0	-
f(x)	↑	Max	↓

Funcția este descrescătoare pe intervalul \( [9, +\infty) \).

Calculăm derivata: \( f'(x) = 12x^3 + 12x^2 = 12x^2(x + 1) \). Punem condiția \( f'(x) = 0 \), adică \( 12x^2(x+1) = 0 \), deci \( x = 0 \) și \( x = -1 \). Analizăm semnul derivatei:

x	\((-\infty, -1)\)	\(-1\)	\((-1, 0)\)	\(0\)	\((0, +\infty)\)
f'(x)	-	0	+	0	+
f(x)	↓	Min	↑		↑

Funcția este descrescătoare pe intervalul \( (-\infty, -1] \) și crescătoare pe intervalul \( [-1, +\infty) \).

Calculăm derivata: \( f'(x) = \displaystyle \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1)}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \). Punem condiția \( f'(x) = 0 \), adică \( \displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \), deci \( x^2 - 1 = 0 \), de unde \( x = \pm 1 \). Analizăm semnul derivatei:

x	\((-\infty, -1)\)	\(-1\)	\((-1, 0)\)	\(0\)	\((0, 1)\)	\(1\)	\((1, +\infty)\)
f'(x)	+	0	-		-	0	+
f(x)	↑	Max	↓		↓	Min	↑

Funcția este descrescătoare pe intervalele \( [-1, 0) \) și \( (0, 1] \).

Calculăm derivata: \( f'(x) = 1 - \displaystyle \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x} \). Punem condiția \( f'(x) = 0 \), adică \( \displaystyle \frac{x - 1}{x} = 0 \), deci \( x - 1 = 0 \), de unde \( x = 1 \). Analizăm semnul derivatei:

x	\((0, 1)\)	\(1\)	\((1, +\infty)\)
f'(x)	-	0	+
f(x)	↓	Min	↑

Funcția este descrescătoare pe intervalul \( (0, 1] \) și crescătoare pe intervalul \( [1, +\infty) \).

Calculăm derivata: \( f'(x) = -6x^2 - 6x + 12 = -6(x^2 + x - 2) = -6(x+2)(x-1) \). Punem condiția \( f'(x) = 0 \), adică \( -6(x+2)(x-1) = 0 \), deci \( x = -2 \) și \( x = 1 \). Analizăm semnul derivatei:

x	\((-\infty, -2)\)	\(-2\)	\((-2, 1)\)	\(1\)	\((1, +\infty)\)
f'(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↓	Min	↑	Max	↓

Funcția este descrescătoare pe intervalele \( (-\infty, -2] \) și \( [1, +\infty) \) și crescătoare pe intervalul \( [-2, 1] \).

Calculăm derivata: \( f'(x) = \ln x + x \cdot \displaystyle \frac{1}{x} = \ln x + 1 \). Punem condiția \( f'(x) = 0 \), adică \( \ln x + 1 = 0 \), deci \( \ln x = -1 \), de unde \( x = e^{-1} = \displaystyle \frac{1}{e} \). Analizăm semnul derivatei:

x	\((0, \frac{1}{e})\)	\(\frac{1}{e}\)	\( (\frac{1}{e}, +\infty)\)
f'(x)	-	0	+
f(x)	↓	Min	↑

Funcția este descrescătoare pe intervalul \( (0, \frac{1}{e}] \) și crescătoare pe intervalul \( [\frac{1}{e}, +\infty) \).

Calculăm derivata: \( f'(x) = \displaystyle \frac{3x^2 \cdot x - (x^3 + 2)}{x^2} = \frac{3x^3 - x^3 - 2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2} = \frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2} \). Punem condiția \( f'(x) = 0 \), adică \( \displaystyle \frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2} = 0 \), deci \( x - 1 = 0 \), de unde \( x = 1 \). Analizăm semnul derivatei:

x	\((-\infty, 0)\)	\(0\)	\((0, 1)\)	\(1\)	\((1, +\infty)\)
f'(x)	-		-	0	+
f(x)	↓		↓	Min	↑

Funcția este descrescătoare pe intervalele \( (-\infty, 0) \) și \( (0, 1] \) și crescătoare pe intervalul \( [1, +\infty) \).

Rezolvare:
Calculăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=4 x(x-1)(x+1) \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0, x=1, x=-1 \).
Tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \) este:
\( \displaystyle \begin{array}{|l|l|c|c|c|c|c|r|} \hline x & -\infty & -1 & & 0 & & 1 & +\infty \\ \hline f^{\prime} & ---- & 0 & +++++ & 0 & --- & 0 & +++++ \\ \hline f & \longrightarrow & -4 & \longrightarrow & -3 & \longrightarrow & -4 & \\ \hline \end{array} \)
Funcția \( \displaystyle f \) este monoton descrescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle (-\infty ;-1],[0 ; 1] \).
Funcția \( \displaystyle f \) este monoton crescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle [-1 ; 0],[1 ; \infty) \).
\( \displaystyle x=-1, x=1 \) - puncte de minim local, \( \displaystyle x=0 \) - punct de maxim local.

Rezolvare:
Calculăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=12 x^{3}+12 x^{2}=12 x^{2}(x+1) \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0, x=-1 \).
Tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \) este:
\( \displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|r|} \hline x & -\infty & -1 & & 0 & +\infty \\ \hline f^{\prime} & -\ldots- & 0 & +++++ & 0 & +++++ \\ \hline f & \longrightarrow & -2 & & & \longrightarrow \\ \hline \end{array} \)
\( \displaystyle f \) este monoton descrescătoare pentru \( \displaystyle x \in(-\infty ;-1] \).
\( \displaystyle f \) este monoton crescătoare pentru \( \displaystyle x \in[-1 ; \infty) \).
\( \displaystyle x_{0}=-1 \) este punct de minim local.

Rezolvare:
Domeniul funcției este \( \displaystyle D(f)=(0,1) \cup(1 ;+\infty) \).
Calculăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\ln x-1}{\ln ^{2} x} \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=e \).
Tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \) este:
\( \displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & & 1 & & e & +\infty \\ \hline f^{\prime}(x) & & --- & & -\ldots & 0 & +++++ \\ \hline f & & \longrightarrow & & \longrightarrow & e & \longrightarrow \\ \hline \end{array} \)
\( \displaystyle f \) este monoton descrescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle (0 ; 1),(1 ; e] \).
\( \displaystyle f \) este monoton crescătoare pentru \( \displaystyle x \in[e ;+\infty) \).
\( \displaystyle x=e \) este punct de minim local.

Rezolvare:
Calculăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=e^{x}\left(7 x^{3}-2 x^{4}\right)+e^{x}\left(21 x^{2}-8 x^{3}\right)=e^{x} x^{2}\left(-2 x^{2}-x+21\right) \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-3,5, x=0, x=3 \).
Tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \) este:
\( \displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|r|} \hline x & -\infty & -3,5 & & 0 & & 3 & +\infty \\ \hline f^{\prime} & -\cdots-- & 0 & +++++ & 0 & +++++ & 0 & \ldots \\ \hline f & \longrightarrow & -4 & \longrightarrow & -3 & & \longrightarrow \\ \hline \end{array} \)
\( \displaystyle f \) este monoton descrescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle (-\infty ;-3,5],[3 ;+\infty) \).
\( \displaystyle f \) este monoton crescătoare pentru \( \displaystyle x \in[-3,5 ; 3] \).
\( \displaystyle x=-3,5 \) este punct de minim local.

Rezolvare:
Calculăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=e^{-3 x}(1-3 x) \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3} \).
Tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \) este:
\[ \begin{array}{|c|cc|c|c|} \hline x & -\infty & & \frac{1}{3} & & +\infty \\ \hline f^{\prime}(x) & ++++ & & 0 & & ---- \\ \hline f(x) & & \longrightarrow & \frac{1}{3e} & \longrightarrow & \\ \hline \end{array} \]
\( \displaystyle f \) este monoton crescătoare pentru \( \displaystyle x \in\left(-\infty ; \frac{1}{3}\right] \).
\( \displaystyle f \) este monoton descrescătoare pentru \( \displaystyle x \in\left[\frac{1}{3} ; \infty\right) \).

Rezolvare:
Calculăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-1, x=1 \).
Tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \) este:
\( \displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f^{\prime} & \ldots-+ & 0 & +++++ & 0 & \ldots-+ \\ \hline f & \longrightarrow & & -\frac{1}{2} & & \frac{1}{2} & & \longrightarrow \\ \hline \end{array} \)
\( \displaystyle f \) este monoton descrescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle (-\infty ;-1],[1 ; \infty) \).
\( \displaystyle f \) este monoton crescătoare pentru \( \displaystyle x \in[-1 ; 1] \).
\( \displaystyle x=-1 \) este punct de minim local.

Rezolvare:
Explicităm modulul: \( \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}-4 x, x \in(-\infty ; 0) \cup(4 ; \infty) \\ -x^{2}+4 x, x \in[0 ; 4]\end{array}\right. \).
Determinăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x-4, x \in(-\infty ; 0) \cup(4 ; \infty) \\ -2 x+4, x \in(0 ; 4)\end{array}\right. \)
Verificăm derivabilitatea în \( \displaystyle x=0 \) și \( \displaystyle x=4 \): \( \displaystyle f_{s}^{\prime}(0)=-4 \) și \( \displaystyle f_{d}^{\prime}(0)=4 \), deci nu este derivabilă în \( \displaystyle x=0 \). Analog, nu este derivabilă în \( \displaystyle x=4 \).
Deci, \( \displaystyle x=0 \) și \( \displaystyle x=4 \) sunt puncte critice. De asemenea, \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \) pentru \( \displaystyle x=2 \), deci și \( \displaystyle x=2 \) este punct critic.
Tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \) este:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & & 0 & & 2 & & 4 & +\infty \\ \hline f^{\prime}(x) & \cdots - & & - & & +++ & 0 & \cdots & +++ \\ \hline f(x) & \longrightarrow & & 0 & \longrightarrow & 4 & \longrightarrow & 0 & \longrightarrow \\ \hline \end{array} \]
\( \displaystyle x=0 \) și \( \displaystyle x=4 \) sunt puncte de minim local.
\( \displaystyle x=2 \) este punct de maxim local.
Răspuns: \( \displaystyle f \) este monoton crescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle [0 ; 2],[4 ;+\infty) \).

Rezolvare:
Calculăm derivata: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=-6 x^{2}-6 x+12=-6\left(x^{2}+x-2\right) \).
Determinăm punctele critice: \( \displaystyle f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=1, x=-2 \).
Tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \) este:
\( \displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & & -2 & & 1 & & +\infty \\ \hline f^{\prime} & \ldots- & 0 & +++++ & 0 & ---- \\ \hline f & \longrightarrow & & & & \longrightarrow \\ \hline \end{array} \)
\( \displaystyle \pi \approx 3.14 \) și \( \displaystyle 3 \) aparțin intervalului \( \displaystyle [1 ;+\infty) \). Pe intervalul \( \displaystyle [1 ;+\infty) \) funcția \( \displaystyle f \) este descrescătoare.
Deoarece \( \displaystyle \pi< 3 \), rezultă că \( \displaystyle f(\pi)> f(3) \).

Calculăm derivata: \( \begin{aligned} f'(x) &= e^{1-2x^2} + x \cdot e^{1-2x^2} \cdot (-4x) \\ &= e^{1-2x^2} (1 - 4x^2) \end{aligned} \)
Punctele critice apar când \( \displaystyle f'(x) = 0 \), adică atunci când \( \displaystyle 1-4x^2 = 0 \)
\( \displaystyle x^2 = \frac{1}{4} \)
\( \displaystyle x = \pm \frac{1}{2} \)

Calculăm derivata: \( \begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x \cdot x - (x^2+1) \cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{x^2 - 1}{x^2} \end{aligned} \)
Funcția este descrescătoare când \( \displaystyle f'(x) < 0 \), adică atunci când \( \displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2} < 0 \).
Deoarece \( \displaystyle x^2 \) este întotdeauna pozitiv, trebuie ca \( \displaystyle x^2 - 1 < 0 \), adică \( \displaystyle x^2 < 1 \).
Aceasta înseamnă că \( \displaystyle -1 < x < 1 \). Dar funcția nu este definită în \( \displaystyle x = 0 \), deci intervalele de monotonie descrescătoare sunt \( \displaystyle (-1, 0) \) și \( \displaystyle (0, 1) \).

Calculăm derivata: \( \begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 e^{-x} + x^4 (-e^{-x}) \\ &= x^3 e^{-x} (4 - x) \end{aligned} \)
Punctele critice apar când \( \displaystyle f'(x) = 0 \), adică atunci când \( \displaystyle x = 0 \) sau \( \displaystyle x = 4 \) (deoarece \( \displaystyle e^{-x} \) nu poate fi 0).
Analizăm semnul derivatei: * Pentru \( \displaystyle x < 0 \), \( \displaystyle f'(x) < 0 \) (funcția este descrescătoare) * Pentru \( \displaystyle 0 < x < 4 \), \( \displaystyle f'(x) > 0 \) (funcția este crescătoare) * Pentru \( \displaystyle x > 4 \), \( \displaystyle f'(x) < 0 \) (funcția este descrescătoare)
Aceasta înseamnă că \( \displaystyle x = 0 \) este un punct de minim local, iar \( \displaystyle x = 4 \) este un punct de maxim local.
Calculăm valorile funcției în aceste puncte: * \( \displaystyle f(0) = 0^4 \cdot e^{-0} = 0 \) * \( \displaystyle f(4) = 4^4 \cdot e^{-4} = \frac{256}{e^4} \)
Răspuns: \( \displaystyle x=0 \) este punct de minim local; \( \displaystyle x=4 \) este punct de maxim local; \( \displaystyle f \) este monoton descrescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle (-\infty ; 0] \) și \( \displaystyle [4 ; \infty) \); \( \displaystyle f \) este monoton crescătoare pentru \( \displaystyle x \in[0 ; 4] \);

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări