Monotonia Funcției
Definiție
O funcție \( f(x) \) este:
- Monoton crescătoare pe un interval dacă derivata primește valori pozitive: \( f'(x) \geq 0 \implies f(x) \text{ este crescătoare.} \)
- Monoton descrescătoare pe un interval dacă derivata primește valori negative: \( f'(x) \leq 0 \implies f(x) \text{ este descrescătoare.} \)
Metoda de Rezolvare
- Calculăm derivata funcției: \( f'(x) \).
- Rezolvăm ecuația \( f'(x) = 0 \), pentru a găsi punctele critice \( x_1, x_2, \dots \).
- Construim o axă semn, marcând punctele critice \( x_1, x_2, \dots \). Determinăm semnul derivatelor \( f'(x) \) pe fiecare interval obținut.
Exemplu Rezolvat
Fie funcția \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \). Să determinăm monotonia funcției.
1. Calculăm derivata funcției:
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2. \]
2. Rezolvăm ecuația \( f'(x) = 0 \):
\[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \implies x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{6} = \frac{6 \pm 2}{6}. \] Deci: \[ x_1 = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{2}{3}. \]
3. Construim axa semnului:
Examinăm derivata pe intervalele \((-\infty, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}), (\frac{4}{3}, \infty)\):
- Pe \((-\infty, \frac{2}{3})\), derivata \( f'(x) > 0 \implies f(x) \) este crescătoare.
- Pe \((\frac{2}{3}, \frac{4}{3})\), derivata \( f'(x) < 0 \implies f(x) \) este descrescătoare.
- Pe \((\frac{4}{3}, \infty)\), derivata \( f'(x) > 0 \implies f(x) \) este crescătoare.
4. Concluzie:
Funcția \( f(x) \) este:- Monoton crescătoare pe \( (-\infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty). \)
- Monoton descrescătoare pe \( (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}). \)
Exerciții
1
Determinați intervalul pe care funcția \( f: (0; +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = 6\sqrt{x} - x \) este monoton descrescătoare.
2
Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 1 \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
3
Fie funcția \( f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{x^2 + 1}{x} \). Determinați intervalele, pe care funcția \( f \) este descrescătoare.
4
Fie funcția \( f: (0; +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x - \ln x \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
5
Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 12x - 5 \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
6
Fie funcția \( f: (0; +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x\ln x \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
7
Fie funcția \( f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{x^3 + 2}{x} \). Determinați intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
8
Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și extremele locale ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=x^{4}-2 x^{2}-3 \).
9
Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și extremele locale ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-1 \).
10
Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și extremele locale ale funcției \( \displaystyle f: D \rightarrow R, f(x)=\frac{x}{\ln x} \).
11
Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=e^{x}\left(7 x^{3}-2 x^{4}\right) \).
12
Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=x e^{-3 x} \).
13
Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\frac{x}{x^{2}+1} \).
14
Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\left|x^{2}-4 x\right| \).
15
Fie funcţia \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=-2 x^{3}-3 x^{2}+12 x-5 \). Utilizând monotonia funcției \( \displaystyle f \), comparați \( \displaystyle f(\pi) \) și \( \displaystyle f(3) \).