Item 5 - toate variantele posibile

Exerciții

Rezolvați ecuația: \(4^x - 2^x = 56\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x+3}{4x^2 - 9} - \frac{3-x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x-3}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{2x - 8}{\sqrt{6 - x}} + \sqrt{6 - x} = 3 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log_3 \frac{x^2}{3} - 2\log_3(3x^2) = -4 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle 3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}+3} > 84 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația: \(\displaystyle \frac{D(x) + 6}{x^2 - 4} \geq 0, \) dacă: \(\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & -1 & x \\ 2 & 3 & -x \end{vmatrix}. \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_{0,3} \frac{x-3}{1-x} < 0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle (3-x)\sqrt{x^2+x-2} \leq 0 \)

\(\text{Determinați toate valorile reale ale lui } x, \text{ pentru care matricea } A = \begin{pmatrix} e^x & e^{-x} \\ 2 + e^x & 1 \end{pmatrix} \text{ nu este inversabilă.}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{x^2 - 15x} - 4 < 0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle \frac{\log _{\frac{1}{3}}^{2}(4-x)}{x^{2}-2 x} \leq 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x+0,5}{9x+3} + \frac{8x^2 + 3}{9x^2 - 1} = \frac{x+2}{3x-1}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \frac{2+\log _{3} x}{\log _{3}^{2} x-4}=0 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația: \(\displaystyle \sqrt{x^2 + 3x - 18} > 2x + 3. \)

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x+3} - \sqrt{\left(\frac{27}{8}\right)^x} > 0\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \sqrt{2x + x^2} \leq 1 - x \).

Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \( \sqrt{x^2 - 16} \cdot (x + 9) > 0 \).

Aflați cea mai mare soluție întreagă a inecuației \(2^x + (0,5)^{3-x} < 9\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{x \cdot 3^{1-x} - 81x}{x+3} = 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle 2 + \frac{(\log_2|x|)^2}{1 + \log_2|x|} > \log_2|x| \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{9 x-5 x^{2}} \leq 2\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{1+3 x^{2}} \leq 2 x-1\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( (0,25)^x = \frac{128}{2^{x-1}} \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația Rezolvați în R ecuația \( 10^{x}-2 \cdot 25^{x}+4^{x}=0 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{x^2 - 4x} > x - 3\)

Rezolvați inecuația \(\displaystyle \log_{ \frac{1}{4}} \frac{2x-1}{x+1} < \cos \displaystyle \frac{2\pi}{3} \).

Determinați valorile parametrului real \(m\) pentru care matricea \[ A = \begin{pmatrix} 2 & x & 3 \\ m & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix} \] este inversabilă pentru orice \(x \in \mathbb{R}\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 2\log_3(x-2) + \log_3(x-4)^2 = 0 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{x^2 - 5x + 4} > x - 3\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{x-6}}{\log_2(x-5) - 1} \geq 0 \).

Determinați valorile reale ale lui \( x \), pentru care matricea \( A = \begin{pmatrix} \sqrt{5 - 3^x} & \sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} & \sqrt{5 + 3^x} \end{pmatrix} \) este inversabilă.

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \log_{1/4} \frac{2x - 1}{x + 1} < \cos \frac{2\pi}{3} \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\left(\frac{4}{9}\right)^{\sqrt{x}} = (2,25)^{\sqrt{x-1}}\).

Determinați soluțiile întregi ale inecuației \( (-3 + \sin x) \cdot (|3x - 2| - 4) \geq 0 \).

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația: \(\displaystyle \log_{5-x} \frac{1}{27} \geq -3 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația: \( \log_{6-x} \left(\frac{1}{16}\right) \leq 2.\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{1-2x}{6x^2 + 3x} + \frac{2x+1}{14x^2 - 7x} = \frac{8}{12x^2 - 3}\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_5 (2x^2 + 3x) - \log_5 (6x + 2) = 0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \( \displaystyle \frac{x \cdot 2^{1-x} - 16x}{(x+3)^2} \geq 0. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \log_3 x^2 - \log_3^2(-x) = -3 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\log_{2x+1} (2x^2 - 8x + 15) = 2\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\left(x^{2}-4\right)(x-4)}{\sqrt{x^{2}-7 x-8}}=0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{10x-x^2} \geq 3 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \sqrt{5x-x^2} \leq 2 \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\displaystyle \frac{x^2 - 6x + 9}{\,25^x \;-\; 6\cdot 5^x \;+\; 5\,} \;\le\; 0. \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) inecuația \( \displaystyle (x-3) \log _{2}^{2}(x-1) \geq 0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}+x-12}}{x-3}=0\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\sqrt{6 - x} < \sqrt{2x}\)

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(9^{-4x - 5} = 3^{-x} \cdot \frac{1}{27}\).

Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \(\displaystyle \frac{\sqrt{x-5}}{\log_{\sqrt{2}}(x-4) - 1} \geq 0 \).

Răspunsuri

Rezolvări

Condiții:
\( \displaystyle 4 - x > 0 \Rightarrow x < 4 \)
\( \displaystyle x^2 - 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq 2 \)
\( \displaystyle \log_{\frac{1}{3}}(4-x) = 0 \Rightarrow 4-x = 1 \Rightarrow x = 3 \)
Dacă \( x = 3 \), atunci \( \log _{\frac{1}{3}}^{2}(4-x) = 0 \), deci fracția este 0, ceea ce satisface inegalitatea.
Dacă \( x \in (0, 2) \), atunci \( x^2 - 2x < 0 \). Deoarece \( \log _{\frac{1}{3}}^{2}(4-x) > 0 \), fracția este negativă.

Pasul 1: Pentru ca o fracție să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero.
Deci, \( 2 + \log_3 x = 0 \) și \( \log_3^2 x - 4 \neq 0 \).
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( 2 + \log_3 x = 0 \):
\(\displaystyle \log_3 x = -2\)
\(\displaystyle x = 3^{-2} = \frac{1}{9}\)
Pasul 3: Verificăm condiția \( \log_3^2 x - 4 \neq 0 \), adică \( \log_3^2 x \neq 4 \), deci \( \log_3 x \neq \pm 2 \), adică \( x \neq 3^2 = 9 \) și \( x \neq 3^{-2} = \frac{1}{9} \).
Soluția \( x = \frac{1}{9} \) nu respectă această condiție, deci nu este validă.
Pasul 4: Condiția de existență a logaritmului: \( x > 0 \). Soluția \( x = \frac{1}{9} \) respectă această condiție.

Rezolvare:
Domeniul de valabilitate este dat de \( x^2 - 16 > 0 \), adică \( x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty) \). Pentru orice \( x \in DVA \), \( \sqrt{x^2 - 16} > 0 \Rightarrow x + 9 > 0 \), deci \( x > -9 \). Ţinând cont de DVA, obținem \( x \in (-9, -4) \cup (4, +\infty) \).

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 9x - 5x^2 \geq 0\)
\(\displaystyle x(9 - 5x) \geq 0\)
\(\displaystyle 5x(9/5 - x) \geq 0\)
Deci, \( x \in [0, \frac{9}{5}] \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 9x - 5x^2 \leq 4\)
\(\displaystyle 5x^2 - 9x + 4 \geq 0\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( 5x^2 - 9x + 4 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(5)(4)}}{2(5)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{10} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{10} = \frac{9 \pm 1}{10}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{9 - 1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{9 + 1}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută în afara rădăcinilor:
\(\displaystyle x \in (-\infty, \frac{4}{5}] \cup [1, +\infty)\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \in [0, \frac{9}{5}] \) și \( x \in (-\infty, \frac{4}{5}] \cup [1, +\infty) \)
Deci, \( x \in [0, \frac{4}{5}] \cup [1, \frac{9}{5}] \)

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 1 + 3x^2 \geq 0\). Această condiție este mereu adevărată.
Pasul 2: Cerința ca partea dreaptă să fie nenegativă:
\(\displaystyle 2x - 1 \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq \frac{1}{2}\)
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 1 + 3x^2 \leq (2x - 1)^2\)
\(\displaystyle 1 + 3x^2 \leq 4x^2 - 4x + 1\)
\(\displaystyle 0 \leq x^2 - 4x\)
\(\displaystyle x^2 - 4x \geq 0\)
\(\displaystyle x(x-4) \geq 0\)
Deci, \( x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) \)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \geq \frac{1}{2} \) și \( x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) \)
Deci, \( x \in [4, +\infty) \)

Rezolvare:
Împărțind fiecare membru al ecuației la \( 4^{x} \), obținem \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x}-2 \cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{2 x}+1=0 \).
Efectuăm substituția \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x}=t, t>0 \) și obținem ecuația \( 2 t^{2}-t-1=0 \) cu soluția \(\displaystyle \left[\begin{array}{c}t=1 \\ t=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \). Doar \( t=1 \) satisface condiția \( t>0 \).
Revenind la substituție, avem \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x}=1=\left(\frac{5}{2}\right)^{0} \Leftrightarrow x=0 \).

Rezolvare:
Matricea \(A\) este inversabilă pentru orice număr real \(x\) dacă și numai dacă \(\det A \neq 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\). Calculăm: \[ \det A = \begin{vmatrix} 2 & x & 3 \\ m & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix} = 2x(x-1) + x + 3m - 3(x-1) - mx^2 - 2 = (2-m)x^2 - 4x + 3m + 1 \] Astfel, \(\det A \neq 0 \Rightarrow (2-m)x^2 - 4x + 3m + 1 \neq 0\), adică această ecuație nu trebuie să aibă soluții reale, deci discriminantul trebuie să fie negativ: \[ \Delta = 16 - 4(2-m)(3m+1) = 12m^2 - 20m + 8 < 0 \] \[ 3m^2 - 5m + 2 < 0 \] Deci mulțimea soluțiilor este \( m \in \left( \frac{2}{3}, 1 \right) \).

Pasul 1: Pentru ca o fracție să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero.
Deci, \( (x^2 - 4)(x - 4) = 0 \) și \( \sqrt{x^2 - 7x - 8} \neq 0 \) și \( x^2 - 7x - 8 > 0 \).
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( (x^2 - 4)(x - 4) = 0 \):
\( (x-2)(x+2)(x-4) = 0 \)
Deci, \( x = 2 \), \( x = -2 \) sau \( x = 4 \).
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea \( x^2 - 7x - 8 > 0 \):
\( (x-8)(x+1) > 0 \)
Deci, \( x < -1 \) sau \( x > 8 \)
Pasul 4: Verificăm condițiile pentru fiecare soluție:
Pentru \( x = 2 \): nu respectă condiția \( x < -1 \) sau \( x > 8 \). Pentru \( x = -2 \): respectă condiția \( x < -1 \) sau \( x > 8 \).
Pentru \( x = 4 \): nu respectă condiția \( x < -1 \) sau \( x > 8 \).

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 10x - x^2 \geq 0\)
\(\displaystyle x(10-x) \geq 0\)
Deci, \( x \in [0, 10] \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 10x - x^2 \geq 9\)
\(\displaystyle x^2 - 10x + 9 \leq 0\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( x^2 - 10x + 9 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:
\(\displaystyle x \in [1, 9]\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \in [0, 10] \) și \( x \in [1, 9] \)
Deci, \( x \in [1, 9] \)

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 5x - x^2 \geq 0\)
\(\displaystyle x(5-x) \geq 0\)
Deci, \( x \in [0, 5] \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalității:
\(\displaystyle 5x - x^2 \leq 4\)
\(\displaystyle x^2 - 5x + 4 \geq 0\)
Pasul 3: Rezolvăm inegalitatea de gradul al doilea:
Găsim rădăcinile ecuației \( x^2 - 5x + 4 = 0 \):
\(\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
Deoarece coeficientul lui \( x^2 \) este pozitiv, parabola este orientată în sus, deci inegalitatea este satisfăcută în afara rădăcinilor:
\(\displaystyle x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)\)
Pasul 4: Intersectăm soluțiile:
\( x \in [0, 5] \) și \( x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty) \)
Deci, \( x \in [0, 1] \cup [4, 5] \)

Pasul 1: Analizăm factorii inegalității:
Factorul \( (x-3) \) și factorul \( \log_2^2(x-1) \)
Pasul 2: Pentru ca inegalitatea să fie adevărată, trebuie ca ambii factori să fie pozitivi sau nuli, sau ambii să fie negativi sau nuli.
Dar \( \log_2^2(x-1) \) este întotdeauna pozitiv sau nul, deci trebuie ca \( (x-3) \) să fie pozitiv sau nul.
\( x - 3 \geq 0 \)
\( x \geq 3 \)
Pasul 3: Condiția de existență a logaritmului: \( x - 1 > 0 \), deci \( x > 1 \).
Pasul 4: Totuși, trebuie să excludem cazul în care \( \log_2(x-1) = 0 \), pentru că atunci am avea \( (x-3) \cdot 0 \geq 0 \), care este adevărat.
\( \log_2(x-1) = 0 \)
\( x - 1 = 1 \)
\( x = 2 \)
Dar \( x \) trebuie să fie mai mare sau egal cu 3, deci \( x = 2 \) nu este o soluție.
Pasul 5: Intersectăm soluția cu domeniul de definiție: \( x \geq 3 \) și \( x > 1 \), deci \( x \geq 3 \).

Pasul 1: Pentru ca o fracție să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero.
Deci, \( \sqrt{x^2 + x - 12} = 0 \) și \( x - 3 \neq 0 \).
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( \sqrt{x^2 + x - 12} = 0 \):
\(\displaystyle x^2 + x - 12 = 0\)
\(\displaystyle (x+4)(x-3) = 0\)
Deci, \( x = -4 \) sau \( x = 3 \).
Pasul 3: Verificăm condițiile:
Pentru \( x = -4 \): \( -4 - 3 = -7 \neq 0 \). Deci, \( x = -4 \) este o soluție.
Pentru \( x = 3 \): nu respectă condiția \( x - 3 \neq 0 \).

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări